Calcul des heures de lever et de coucher du Soleil

Bonjour je suis nouveau sur le forum, j'aurais besoin de quelqu'un à l'aise en maths pour m'aider à résoudre un problème : Avec des formules de trigonométrie je suis parvenu à calculer les heures de lever et de coucher du Soleil en fonction de la lattitude et de l'angle de l'axe de rotation de La Terre mais quand je compare avec le logiciel Stellarium, j'ai soit 1h de plus au lever soit 1h de plus au lever. Je vais tenter de vous expliquer comment je procède pour les calculs, désolé si on distingue pas grand-chose sur les schémas mais j'ai dû les redimensionner.

(Section de La Terre vue de dessus à la hauteur du parallèle où se situe l'observateur, à gauche l'hémisphère nord est proche du solstice d'été et inversement à droite, r représente le rayon de La Terre)

Le but est de calculer le temps écoulé pendant que La Terre pivote de θ degrés, pour cela je procède par trigonométrie en calculant D.

(Section de La Terre à la hauteur de l'axe de rotation, la partie grise représente la nuit)

β représente l'angle d'inclinaison de l'axe nord-sud, pour calculer D connaissant β je m'intéresse d'abord à d (La distance entre l'équateur et le parallèle), donc encore une section (C'est la dernière promis )

(Section par l'axe nord-sud mais face au Soleil)

L est la latitude de l'observateur, je peux ici écrire sin(L)=d/r => d=r.sin(L), je reviens alors à la section précédente.

Maintenant que j'ai une expression de d, je peux écrire tan(β)=D/d => D=d.tan(β)

Je remplace ensuite d par son expression : D=r.sin(L).tan(β) puis je reviens à la 1ère section.

Encore par trigonométrie j'écris : cos(θ)=D/r => θ=arccos(D/r)

Je remplace ensuite D par son expression : θ=arccos(r.sin(L).tan(β)/r) => θ=arccos(sin(L).tan(β))

Je convertis ensuite θ en heures en le divisant par 15 puisque La Terre pivote de 360°/24h=15°/h et selon l'heure repère (0h ou 12h), j'exprime les heures de lever et de coucher :

Lever du Soleil lorsque l'observateur est proche du solstice d'été, La Terre pivote de θ entre 0h et le moment du lever ce qui donne : Heure lever=0h+ θ/15 TU

Pour le coucher c'est le même principe sauf que La Terre pivote de θ du moment du coucher jusqu'à 0h, il faut donc soustraire le nombre d'heures : Heure coucher=24h- θ/15 TU

Pour le cas où l'observateur est proche du solstice d'hiver, je prends 12h comme repère, je soustrais θ/15 pour l'heure du lever et j'ajoute θ/15 pour l'heure du coucher.

Heure lever=12h- θ/15 TU

Heure coucher=12h+ θ/15 TU

Je compare ensuite mes résultats avec Stellarium et je constate que pour le cas où on est proche du solstice d'hiver j'obtiens 1h de trop à l'heure du coucher et pour l'autre cas c'est 1h de trop à l'heure du lever. J'ai revu plusieurs fois les formules mais en vain, je ne vois vraiment pas où est l'erreur.

Désolé pour toutes ces formules et merci par avance

Section dessus parallèle2.bmp

Section axe NS 2.bmp

Section axe NS 1.bmp

Section face Soleil.bmp

Je ne m'y connais pas en trigo (j'ai jamais été bon) mais je pense que c'est dû à un souci d'heure d'été et d'heure d'hiver...

En heure d'été, tu as deux heure de plus que l'heure universel de dernier dimanche du mois de mars au dernier dimanche du mois d'octobre.

En heure d'hiver, tu dois enlever une heure du dernier dimanche d'octobre au dernier dimanche du mois de mars. Peut-être est-ce cette heure en trop qui n'a pas été décompté?

Bonne journée.

C'est vrai j'y ai pensé mais le problème n'est pas là, par exemple je prends le 21 Décembre, à ce moment-là La Terre est inclinée à son maximum ce qui donne β =23° environ, j'effectue ensuite les calculs avec une latitude de 43° ce qui me fait : θ=arccos(sin(43°).tan(23°))=73,198°

Puis θ/15=4,8

Heure de lever : 12-4,8=7,2 soit 7h12 TU donc 8h12 heure locale

Heure du coucher : 12+4,8=16,8 soit 16h48 TU donc 17h48 heure locale

Sous Stellarium j'ai : Lever à 8h12 heure locale et coucher à 17h heure locale

Problème inverse pour le 21 Juin : J'obtiens une heure de lever à 4h48 TU soit 6h48 heure locale et une heure de coucher à 19h12 TU soit 21h12 heure locale.

Sous Stellarium : Lever à 6h03 heure locale et coucher à 21h16 heure locale

Bref merci pour ta réponse en tout cas

Bonjour, j'ai un peu de mal à suivre votre raisonnement, vous ne définissez pas tout à fait vos notations.

Je note une imprécision dans le schéma 1. Vous dites que r est le rayon de la terre, alors que je crois comprendre que r est le rayon du cercle que parcourt un point à la surface de la terre en 24 heure.

En d'autres termes, r doit valoir 0 au pôle nord, et 6370 km à l'équateur.

r = R * cos lambda

Avec lambda latitude du point.

Peut-être que je n'ai vraiment rien compris ?

Fais aussi attention à l'équation du temps... Tu peux avoir des variations pouvant être de 15 minutes aussi...

Sauf que le 21 juin, et le 21 décembre, l'équation du temps est faible.

C'est vrai bongibong, r n'est pas le rayon de La Terre au parallèle où se situe l'observateur, j'ai fait une erreur sur ce point, merci pour le coup de pouce

(Attention : la précision suivante :

à gauche l'hémisphère nord est proche du solstice d'été et inversement à droite

figure dans la légende du 1er schéma, alors qu'elle décrit le 2è et le 3è schémas ! Et ça m'a bien embrouillé. D'autant que le solstice d'été au nord, c'est sur le dessin de droite, pas de gauche. Bon, je reprends la lecture...)

Finalement je butte dès le premier dessin, qui me paraît douteux. Le point de départ du rayon r (est-il sensé être le rayon du parallèle où se situe l'observateur ?), c'est le pôle nord terrestre ou le point de la Terre dirigé vers le pôle nord écliptique ? En tout cas ce rayon n'en est pas un si ton dessin est juste puisqu'il ne part pas du centre du cercle. Ou alors s'il part du centre du cercle, c'est la coloriage du jour et de la nuit qui est faux...

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Autre chose : l'angle thêta correspond à la longueur de l'arc parcouru par un astre entre son lever et son passage au méridien (ou de l'arc entre son passage au méridien et son coucher), qui est appelé le semi-arc diurne (SAD) et se calcule ainsi :

cos(SAD) = -tan(lat).tan(déc)

où lat est la latitude, déc est la déclinaison de l'astre (cette formule ne tient pas compte de la réfraction, et considère le lever du Soleil comme le moment où le centre du disque solaire est à l'horizon).

On sait qu'un astre parcourt 360° en 23h56m et quelques (durée du jour sidéral) ; une règle de trois permet alors de passer de la longueur du SAD, exprimée a priori en degrés, à la durée mise par l'astre pour parcourir cette longueur, exprimée a priori en heures. Si on connaît l'heure du passage au méridien (elle dépend de la longitude et de l'équation du temps), on en déduit le lever et le coucher en retranchant et en ajoutant cette durée.

Pour démontrer la formule, il faut utiliser de la trigonométrie sphérique. Apparemment tu essaies de la retrouver avec de la trigonométrie plane, mais j'ai peur que le problème dont je parlais plus haut soit lié au fait que la trigonométrie sphérique est probablement indispensable.

le solstice d'été au nord, c'est sur le dessin de droite, pas de gauche

Non sur le dessin de gauche l'hémisphère nord est vue de dessus et on voit que la partie plongée dans la nuit est plus petite que celle dans le jour.

En tout cas ce rayon n'en est pas un si ton dessin est juste puisqu'il ne part pas du centre du cercle.

Il ne part pas du centre du cercle car le dessin n'est pas exact et c'est la rayon du parallèle et non de La Terre (C'est une erreur de ma part, la longueur que j'ai désignée par r vaut en fait : r.cos(L) avec r étant le rayon de La Terre cette fois et L la latitude de l'observateur)

Non sur le dessin de gauche l'hémisphère nord est vue de dessus et on voit que la partie plongée dans la nuit est plus petite que celle dans le jour.

Sur le dessin de gauche, dans l'hémisphère nord la nuit est plus longue que le jour : c'est l'hiver. (On parle vraiment du même dessin )

et c'est la rayon du parallèle et non de La Terre

J'avais bien compris puisque j'avais dit, je me cite : « est-il sensé être le rayon du parallèle où se situe l'observateur ? ». Il me semblait bien que c'était le cas, mais je voulais en être sûr car du coup la figure me semble fausse. La confusion entre rayon de la Terre et rayon du parallèle de l'observateur, dont tu parles, n'as pas d'importance, on avait rectifié de nous même...

Je pense en effet qu'on parle pas du même dessin, dans le 1er schéma l'hémisphère nord est plus proche du solstice d'été et dans le schéma juste à droite c'est l'inverse. Je crois que tu confonds avec les 2 schémas suivants où là le schéma de gauche montre l'hémisphère nord proche du solstice d'hiver.

J'avais bien compris puisque j'avais dit, je me cite : « est-il sensé être le rayon du parallèle où se situe l'observateur ? ». Il me semblait bien que c'était le cas, mais je voulais en être sûr car du coup la figure me semble fausse. La confusion entre rayon de la Terre et rayon du parallèle de l'observateur, dont tu parles, n'as pas d'importance, on avait rectifié de nous même...

On est d'accord sur ce point.

Le 1er schéma montre la Terre vue de dessus. Si le point de départ du rayon r est le pôle nord, alors l'hémisphère nord est en hiver (puisque le pôle nord est dans la nuit). De plus la précision « à gauche l'hémisphère nord est proche du solstice d'été et inversement à droite » est inadéquate puisqu'il n'y a pas de gauche et de droite sur ce dessin.

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Mais soyons plus précis, et commençons par le premier dessin. Il montre la Terre vue de haut. Mais vue de haut par rapport au pôle nord terrestre, ou au pôle nord écliptique ? Question équivalente : la coupe se fait parallèlement au plan équatorial de la Terre ou parallèlement au plan de l'écliptique ? En fait, j'ai l'impression que la coupe se fait parallèlement à l'écliptique (vu le dessin) or tu dis qu'elle est faite par rapport au parallèle qui passe par l'observateur...

Quand tu dis le 1er schéma tu parles bien de :

Parce qu'à gauche (Le dessin de gauche), le point de départ du rayon (Le pôle nord terrestre et non écliptique) est dans le jour, donc il s'agit bien du cas où l'hémisphère nord est proche du solstice d'été.

A droite c'est le contraire : Le pôle nord terrestre est dans la nuit donc l'hémisphère nord est proche du solstice d'hiver.

Section dessus parallèle1.bmp

Section dessus parallèle2.bmp

Et avec la correction de r, est-ce que tu trouves le bon résultat ?

Le 1er schéma de ton message initial correspond au schéma de droite. Je ne sais pas si ça vient de mon ordinateur, mais je n'ai pas le schéma de gauche (toi tu le vois ?). Du coup ça explique que je ne comprenais pas...

Bref, le point de départ de r, c'est le pôle terrestre, OK. Donc les deux schémas (gauche et droite) sont vus au-dessus du pôle terrestre (le pôle terrestre est au centre de la vue). Dans ce cas, il s'agit bien d'une section selon le parallèle qui passe par l'observateur. Le rayon r est donc correctement dessiné. Mais pas la séparation jour/nuit : elle doit former une portion d'ellipse partant à 90° à gauche et à droite, et passant en-dessous ou au-dessus du pôle terrestre selon la saison (*), et l'angle Thêta fera obligatoirement 90°. (Si c'était une section parallèle au plan de l'écliptique, la séparation jour/nuit formerait un diamètre et je croyais que c'était ce que tu avais fait.)

Ah non, c'est seulement si l'observateur est sur l'équateur que la ligne de séparation part de deux points situés à 90°. Par rapport à un parallèle quelconque, c'est différent. En tout cas la ligne de séparation jour/nuit est une courbe, donc l'angle Thêta est mal dessiné et la suite des calculs a peu de chance d'être juste.

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(*) Voir par exemple ça : http://farm4.staticflickr.com/3448/3701532093_c32de1e169.jpg . La séparation jour/nuit part de deux points diamètralement opposés, et forme une sorte de courbe (en fait une portion d'ellipse) qui contourne le pôle terrestre.

C'est peut-être ton navigateur, moi je vois le schéma de gauche avec Firefox mais pas avec IE.

La limite jour/nuit n'est pas une portion d'ellipse sur mon schéma car c'est une section mais vue par le haut et non La Terre vue de dessus comme sur la photo donc je pense pas que theta soit mal dessiné mais je peux me tromper.

bongibong, la correction de r ne m'a pas beaucoup aidé, je me suis demandé si l'heure du zénith était bien exactement 12h TU et dans Stellarium j'ai vu que Le Soleil cessait quasiment de monter à partir d'une certaine heure, par exemple pour un observateur proche du solstice d'hiver j'ai constaté dans le logiciel que la hauteur du Soleil variait très peu de 11h11 TU à 12h TU environ. J'ai constaté que les résultats étaient bien meilleurs (3° d'écart environ) en prenant comme heure repère 12h pour le lever et 11h11 pour le coucher, seulement j'ignore pourquoi ça marche avec ces horaires-là et non avec une heure fixe du zénith.

J'avais déjà travaillé sur ce sujet, et je me suis focalisé sur la durée du jour :

T = T_0 * [1/2 + 1/pi * arccos(tan lambda / tan(arccos(theta_0 * cos \Omega(t))))]

Avec T_0 la durée du jours (24h)

lambda la latitude

theta_0 = 23°

Omega(t) = fonction modélisant le mouvement de la terre autour du soleil (365 jours périodique pour simplifier).

Le modèle que j'ai coïncide bien avec la durée du jour. La piste d'amélioration est sur la fonction Omega(t) (qui ne prend pas en compte la loi de Kepler).

Kevin, je ne connais pas ton modèle, mais la première chose à varier est :

- est-ce que la durée du jour calculé correspond bien à la réalité ?

- quelle est la définition opérationnelle du levé et coucher de soleil ? (il me semble que c'est quelque chose comme le soleil en dessous de quelques degrés de l'horizon, c'est un recalage à faire)

Ensuite dans ton modèle, est-ce que tu prends bien en compte ta longitude ? Est-ce que c'est la même dans les données du stellarium ??

Ma méthode de calcul est plus simplifiée, notamment parce que je prends pas en compte le déplacement de La Terre sur son orbite.

- Je ne calcule pas la durée d'un jour mais le temps écoulé pendant que La Terre pivote d'un angle theta entre un repère et le moment du lever/coucher du Soleil.

- J'ai pris comme lever du Soleil le moment où l'observateur sort de la partie de La Terre plongée dans la nuit et comme coucher le moment où l'observateur retourne dans cette zone.

Je ne prends pas en compte la longitude, je raisonne en heure universelle puis je convertis en heure locale selon si le logiciel est en heure d'été ou en heure d'hiver (Stellarium se met tout seul en heure locale en tenant compte de la date).

C'est peut-être ton navigateur, moi je vois le schéma de gauche avec Firefox mais pas avec IE.

Le 1er schéma du message initial n'apparaît ni avec K-Meleon, ni avec Chrome. Avec Chrome, j'ai toutefois le symbole qui apparaît quand une image ne se charge pas (ou est mal définie...) Par contre, le 1er schéma apparaît dans tous les cas dans ton message n°12 : ça prouve que c'est toi le fautif, pas mon navigateur. Tu as fait quelque chose dans le message initial que tu n'as pas refait dans le message n°12.

(Au passage, vu qu'il faut trouver une erreur de calcul, tu devrais adopter une démarche de remise en question, donc par exemple te demander si le fait qu'une image ne s'affiche pas vienne peut-être de toi plutôt que d'affirmer que c'est la faute du navigateur.)

La limite jour/nuit n'est pas une portion d'ellipse sur mon schéma car c'est une section mais vue par le haut et non La Terre vue de dessus comme sur la photo

Il faudrait être clair...

- Si la section est vue de haut, c'est-à-dire vue depuis le pôle nord écliptique, effectivement la séparation jour/nuit est une droite. Mieux : c'est un diamètre (ce n'est pas le cas sur ta figure) : elle doit passer par le centre. Par contre le pôle nord terrestre n'est pas au centre du cercle (sauf aux équinoxes) et le rayon r n'est pas (sur cette section) une droite mais un arc.

- Si la section est vue depuis le pôle nord terrestre, celui-ci est au centre du cercle, le rayon r est un rayon de la section, par contre la ligne de séparation jour/nuit est une portion d'ellipse (comme sur la photo).

Est-ce que tu pourrais clarifier ça : c'est quelle vue exactement ? Est-ce que tu pourrais aussi vérifier tes dessins (car pour moi , dans les deux cas l'angle thêta n'est pas correct).

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Bongibong : pour moi Kévin adopte la bonne démarche, c'est le détail des calculs qui cloche. Je crois donc que tu l'envoies sur une fausse piste. (Ce que cherche Kévin, c'est calculer combien de temps le Soleil est visible entre son lever et son passage au méridien à l'aide de l'angle thêta (qui est égal au semi-arc diurne). Ce calcul ne dépend pas de la longitude, juste de la latitude et de la saison (plus précisément de la déclinaison du Soleil) et j'ai donné plus haut la formule, mais je crois que Kévin souhaite la redémontrer (ça expliquerait pourquoi il fait semblant de ne pas s'être rendu compte que je lui ai donné la solution ).)

Tu as fait quelque chose dans le message initial que tu n'as pas refait dans le message n°12.

Peut-être, j'ai eu du mal à mettre les images dans mon message, tu m'excuseras mais je suis nouveau sur le forum.

(Au passage, vu qu'il faut trouver une erreur de calcul, tu devrais adopter une démarche de remise en question, donc par exemple te demander si le fait qu'une image ne s'affiche pas vienne peut-être de toi plutôt que d'affirmer que c'est la faute du navigateur.)

En règle générale ce problème vient du navigateur.

Est-ce que tu pourrais clarifier ça : c'est quelle vue exactement ? Est-ce que tu pourrais aussi vérifier tes dessins (car pour moi , dans les deux cas l'angle thêta n'est pas correct).

C'est une vue depuis le pôle nord terrestre (Ce qui explique que la limite jour-nuit ne soit pas un diamètre), je pense pas que la section soit un arc mais admettons que tu aies raison, dans ce cas ce qui m'intéresse ce sont les extrémités de l'arc qui seraient situées au même endroit que les extrémités du segment que j'ai représenté sur mon dessin et l'angle thêta serait donc correct.

Si tu vois le dessin :

je crois que Kévin souhaite la redémontrer

Je ne connaissais pas la formule du semi arc diurne quand j'ai établi mes formules et puis je préfère toujours essayer de trouver par moi-même plutôt que d'aller chercher directement la solution

Section arc-segment copie.bmp

Finalement je me rends compte que l'inexactitude du dessin de la ligne jour/nuit n'est pas la cause de ton erreur. En effet, j'ai tout refait avec des dessins exacts, et en fait ça donne la même chose. (Et tu as raison : c'est parce que seul compte l'extrémité de cette ligne, c'est elle qui définit thêta.)

Voici en fait l'erreur :

Encore par trigonométrie j'écris : cos(θ)=D/r

Non, il ne faut pas utiliser r mais r.cos(L), comme l'avait d'ailleurs fait remarquer Bongibong (surtout qu'il a insisté en te demandant ce qu'a donné la correction...) En effet, sur la dernière figure, qui est une section vue du pôle nord à hauteur de l'observateur, le rayon de cette section n'est pas le rayon de la Terre r, mais le rayon de la section donc r.cos(L).

Du coup tu obtiens :

cos(θ) = [ r.sin(L).tan(β) ] / [ r.cos(L) ] = tan(L).tan(β)

qui est la formule bien connue du semi-arc diurne puisque β est égal à la déclinaison du Soleil. (En fait il manque le signe moins, probablement parce que tu n'as pas fait attention à l'orientation des angles.)

Génial : tu as trouvé ça sans trigonométrie sphérique ! J'ai eu tort de ne pas y croire : bravo !