"Opération mystérieuse"

Ah, mais je ne me fous pas qu'on me corrige, au contraire. C'est généralement constructif et j'en tire très souvent un enseignement pour mon expression française (je suis un tantinet perfectionniste...) que je veux aussi "académique" que possible, enfin j'essaie.... Vive le français !

Ce n'est pas faut. C'est jgricourt qui m'avait mis sur une fausse piste...

Hérétique ! Si tu t'y mets toi aussi, où va le forum !!!

Je vous propose un petit problème intéressant. En voici l'énoncé :

 

Si * désigne une certaine opération satisfaisant les deux égalités suivantes :

a * a = a

a * 0 = 2a

 

et si, de plus, étant donné quatre nombres a, b, c, d, on sait que :

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d)

 

Questions :

• Combien vaut (2 + 3) * (0 + 3) ?

• De même, combien vaut 1024 * 48 ?

 

Bonne réflexion et bon amusement

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d) => (2 + 3) * (0 + 3) = (2 * 0) + (3 * 3)

a*0=2a => (2 * 0) = 4

a*a=a => (3*3) = 3

D'ou

(2 + 3) * (0 + 3) = (2 * 0) + (3 * 3)

= 4 + 3

= 7

Oui mais non.

Pourquoi non ?

Déjà parce que si a*a=a on ne sait absolument pas ce que vaut c*d

En effet, 3*3 ressemble à a*a mais non : c'est c*d qui n'est pas défini.

Une première ébauche voudrait qu'on définisse c*d

Ensuite 2*0 ressemble à a*0 mais en fait c'est a*b qui lui n'est pas défini.

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d) ne réagit pas en suivant la règle de développement et on est pas du tout dans un espace vectoriel.

Donc rien ne garantit que le '+' soit une addition.

D'ailleurs rien ne garantit non plus le fonctionnement des parenthèses et rien ne garantit non plus que le '0' soit l'élément neutre en addition ( '0' devient un nombre comme les autres qui pourrait valoir 11, 2048 ou 17 dans certains cas)

En fait le résultat énoncé qui ne répond absolument à aucune règle connue pose plus de variables à l'ensemble.

Si vous cherchez à parler mathématiques ce problème n'a soit absolument aucune logique, soit on manque d'informations car il n'y a pas assez d'éléments pour déduire ce qu'est '+', le '(' ou le ')' dans cet espace sémantique.

C'est un problème insoluble en l'état.

Même pas besoin de Dirac pour le démontrer car

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d)

n'est ni une distribution ni quoi que ce soit de connu.

'*' n'est défini que pour deux opérations précises et si a * a = a rien ne garantit que c * c est également nul.

D'ailleurs quand on refuse l'espace vectoriel rien ne garantira non plus que le 0 soit un élément neutre pour l'addition.

Cette énigme ne peut pas être mathématique, elle s'en exclut de par ses contradiction.

Bon ciel

Merci Leimury, il y avait un truc qui me chagrinait depuis le début et je ne savais pas quoi, l'opérateur + joue un rôle ambiguë ici, il se comporte à la fois comme un nouvel opérateur et à la fois comme l'opérateur classique car si c'était le dernier cas on aurait pas besoin de cette pirouette (la 3eme définition) pour arriver au résultat final.

Quant à la compréhension de l'énoncé, je précise que c'est un problème du niveau de la classe de 4ème...!

Si tu donnes pas le millésime, ça veut rien dire... :D:be:

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d) => (2 + 3) * (0 + 3) = (2 * 0) + (3 * 3)

 

a*0=2a => (2 * 0) = 4

 

a*a=a => (3*3) = 3

 

D'ou

 

(2 + 3) * (0 + 3) = (2 * 0) + (3 * 3)

= 4 + 3

= 7

 

Oui mais non.

Pourquoi non ?

 

Déjà parce que si a*a=a on ne sait absolument pas ce que vaut c*d

En effet, 3*3 ressemble à a*a mais non : c'est c*d qui n'est pas défini.

Une première ébauche voudrait qu'on définisse c*d

 

Ensuite 2*0 ressemble à a*0 mais en fait c'est a*b qui lui n'est pas défini.

 

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d) ne réagit pas en suivant la règle de développement et on est pas du tout dans un espace vectoriel.

Donc rien ne garantit que le '+' soit une addition.

D'ailleurs rien ne garantit non plus le fonctionnement des parenthèses et rien ne garantit non plus que le '0' soit l'élément neutre en addition ( '0' devient un nombre comme les autres qui pourrait valoir 11, 2048 ou 17 dans certains cas)

En fait le résultat énoncé qui ne répond absolument à aucune règle connue pose plus de variables à l'ensemble.

 

Si vous cherchez à parler mathématiques ce problème n'a soit absolument aucune logique, soit on manque d'informations car il n'y a pas assez d'éléments pour déduire ce qu'est '+', le '(' ou le ')' dans cet espace sémantique.

 

C'est un problème insoluble en l'état.

Même pas besoin de Dirac pour le démontrer car

(a + c) * (b + d) = (a * + (c * d)

n'est ni une distribution ni quoi que ce soit de connu.

'*' n'est défini que pour deux opérations précises et si a * a = a rien ne garantit que c * c est également nul.

D'ailleurs quand on refuse l'espace vectoriel rien ne garantira non plus que le 0 soit un élément neutre pour l'addition.

 

Cette énigme ne peut pas être mathématique, elle s'en exclut de par ses contradiction.

 

Bon ciel

Peut-être (encore que...) mais tu n'as donné que la moitié de la réponse...:D:D

Cet exercice serait donné pour des élèves de secondes aujourd'hui et non aux 4eme.

Et aussi pour Bruno :

Comme je l'ai précisé au post #20, ce problème est au programme actuel de la classe de quatrième

Ah bon ????? C'est drôlement ambitieux...

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Leimury : je ne suis pas d'accord. L'opérateur + et les parenthèses sont ceux habituels. Les deux règles de départ permettent de déterminer entièrement l'opération :

c * d = 2c - d

De plus Moot a prouvé qu'il n'y avait pas de contradiction interne : cette opération est parfaitement définie.

Cette opération ne possède pas les propriétés d'associativité et de commutativité (j'ai vérifié) et probablement pas de distributivité (je n'ai pas vérifié). Et alors ? L'opération puissance non plus.

+ 1

Ok c'est bien l'opérateur habituel

(2 + 3) * (0 + 3) = 5 * 3 et sachant que a*b = 2a-b (démontré plus haut) alors

(2 + 3) * (0 + 3) = 2x5-3

(2 + 3) * (0 + 3) = 7

ouf ...

Quant à la compréhension de l'énoncé, je précise que c'est un problème du niveau de la classe de 4ème...!

Bon soit. j'ai besoin d'une petite update.

Maintenant j'aimerai bien avoir une méthode de résolution, et pas seulement "c'est ça la réponse". Dire il fallait trouver ceci ou cela n'apprend rien et fait juste passer pour un con ceux qui n'ont pas la réponse évidente pour les autres.

c'est justement ce qu'il y a entre les 2 qui est intéressants. c'est là qu'on va voir la qualité du prof!

s'il fallait reconnaître une équation du 1er degré et que je suis passé à coté j'ai un peu les boules...

Je redis que ce petit problème est donné en 4ème et qu'il est donc (relativement) simple de répondre aux deux questions posées initialement. Il suffit juste d'un peu d'observation et de bon sens pour aboutir "logiquement" aux deux réponses demandées .

Mais je pourrais détailler, si nécessaire, le raisonnement qui conduit aux résultats .

charpy la démonstration a déjà été donnée, il faut comprendre d'abord que l'opérateur * n'est pas la multiplication ordinaire, peut être que l'utilisation d'un autre symbole ici aurait été plus claire ? Ensuite il faut s'en débarrasser dans l'équation en utilisant les définitions données dans l'énoncé, et une fois qu'on a plus que des + ou des x alors on simplifie l'équation comme d'habitude pour arriver au résultat. Après je ne sais pas si c'est du niveau de 4eme, ce genre de pb risque d'être un peu déroutant pour des élèves de ce niveau (on est en plus dans les années 70/80).

L'enseignement des variables au sens général pour résoudre un problème ne se fait plus au collège mais au lycée, en seconde (sauf pour ceux qui ont la chance d'avoir des profs téméraires qui osent affronter Terrific NVB ). En 4ième les élèves abordent juste la notion de calcul littéral et à faire des applications numériques.

Sur le calcul literral : Les situations proposées doivent exclure tout type de virtuosité et viser un objectif précis (résolution d’une équation, gestion d’un calcul numérique, établissement d’un résultat général).

- Développer une expression de la forme (a + (c + d).

L’objectif reste de développer pas à pas puis de réduire l’expression obtenue. Les identités remarquables ne sont pas au programme. Les activités de factorisation se limitent aux cas où le facteur commun est du type a, ax ou x2.

Voir la source de la citation dans le programme officiel : en page 30

Bon soit. j'ai besoin d'une petite update.

 

Maintenant j'aimerai bien avoir une méthode de résolution, et pas seulement "c'est ça la réponse". Dire il fallait trouver ceci ou cela n'apprend rien et fait juste passer pour un con ceux qui n'ont pas la réponse évidente pour les autres.

 

c'est justement ce qu'il y a entre les 2 qui est intéressants. c'est là qu'on va voir la qualité du prof!

 

s'il fallait reconnaître une équation du 1er degré et que je suis passé à coté j'ai un peu les boules...

Comme Charpy je trouve cette discussion volontairement élitiste et par conséquent peu sympathique.

Je n'y comprends absolument rien.

Pour moi signe * veut dire "multiplié par", c'est aussi le cas ici ou pas ?

Dire que ce problème est resolvable par des enfants de quatrième c'est du grand n'importe quoi

Sauf évidemment si on les y a préparé(s?) avant, dans ce cas là ils peuvent aussi écrire des poésies en chinois.

charpy la démonstration a déjà été donnée, il faut comprendre d'abord que l'opérateur * n'est pas la multiplication ordinaire, peut être que l'utilisation d'un autre symbole ici aurait été plus claire ? Ensuite il faut s'en débarrasser dans l'équation en utilisant les définitions données dans l'énoncé, et une fois qu'on a plus que des + ou des x alors on simplifie l'équation comme d'habitude pour arriver au résultat. Après je ne sais pas si c'est du niveau de 4eme, ce genre de pb risque d'être un peu déroutant pour des élèves de ce niveau (on est en plus dans les années 70/80).

Ah merci

Bon bin j'apprendrai tout ça en quatrième alors, d'ici là...

yui (et certains autres),

1) Je l'ai déjà dit, ce petit problème est donné en 4ème cette année, et non pas dans les années 70/80.

2) yui, le problème a été clairement énoncé et il n'y a pas d'ambiguïté sur la définition de l'opérateur "*". Il suffit de prendre son temps et de savoir lire un énoncé (ce qu'en principe savent faire des élèves de 4ème...)

Jgricourt : jusqu'à preuve du contraire, je n'ai vu qu'une seule chose qui ressemblait à une démonstration, par Moot. Le reste n'est qu'affirmation.

Bref sur la démonstration de Moot qui dit que a@b=2a-b, on peut calculer que 1024@48=2*1024-48=2048-48=2000. J'ai utilisé le signe @ pour l'opération spéciale afin de ne pas la confondre avec la multiplication conventionnelle.

yui (et certains autres),

 

1) Je l'ai déjà dit, ce petit problème est donné en 4ème cette année, et non pas dans les années 70/80.

2) yui, le problème a été clairement énoncé et il n'y a pas d'ambiguïté sur la définition de l'opérateur "*". Il suffit de prendre son temps et de savoir lire un énoncé (ce qu'en principe savent faire des élèves de 4ème...)

Et prendre les gens pour des cons , c'est inné chez toi ou c'est des années de travail ?

Se rendre antipathique à ce point , c'est vraiment tout un art ...

Et prendre les gens pour des cons , c'est inné chez toi ou c'est des années de travail ?

Se rendre antipathique à ce point , c'est vraiment tout un art ...

Il est comme ça Toutiet... assez pédant mais intéressant dans certaines de ses interventions.

yui (et certains autres),

 

1) Je l'ai déjà dit, ce petit problème est donné en 4ème cette année, et non pas dans les années 70/80.

2) yui, le problème a été clairement énoncé et il n'y a pas d'ambiguïté sur la définition de l'opérateur "*". Il suffit de prendre son temps et de savoir lire un énoncé (ce qu'en principe savent faire des élèves de 4ème...)

Voir ma réponse :

http://www.webastro.net/forum/showpost.php?p=2376703&postcount=44

Cela dit rien n'empêche les profs de lancer des "défis" aux élèves, ce que faisait la prof de maths de 3ième à un de mes fils. Ces exercices étaient facultatifs et permettaient aux enfants (et à leurs parents) de se creuser le ciboulot. Par exemple, quelle est la somme des nombres entiers de 0 à 10000. Ou encore quelle est la 10000ième décimale de 37/17. Ou encore quelle est l'épaisseur d'une feuille de papier A4 120 gr pliée 50 fois sur elle même (ils avaient mesuré en cours l'épaisseur d'une ramette de 500 feuilles et trouvé 66 mm) ? Et bien d'autres.

Jgricourt : jusqu'à preuve du contraire, je n'ai vu qu'une seule chose qui ressemblait à une démonstration, par Moot. Le reste n'est qu'affirmation.

 

Bref sur la démonstration de Moot qui dit que a@b=2a-b, on peut calculer que 1024@48=2*1024-48=2048-48=2000. J'ai utilisé le signe @ pour l'opération spéciale afin de ne pas la confondre avec la multiplication conventionnelle.

Oui je suis d'accord avec toi c'est bien Moot qui a démontré le résultat de a@b qui permet de résoudre le pb simplement je crois que toute la confusion que ressente certains vient du fait qu'on a utilisé le signe * pour une opération qui n'est pas la multiplication mais tout autre chose.

Effectivement, Moot a bien généralisé le résultat, mais on pouvait très bien y arriver simplement en restant observateur, logique et respectueux des consignes données.

En résumé, l'opération mystère * appliquée entre deux grandeurs A et B est égale à 2A - B (mais ce n'était pas la question de départ)

Ainsi, 1024 * 48 = 2 x 1024 - 48 = 2000

Je confirme, une fois de plus, que ce problème figure bien dans le manuel de Maths de la classe de 4ème de cette année, et que sa résolution n'implique que des réflexions logiques et de bon sens.

Merci à tous ceux qui ont participé et à qui j'ai parfois donné du fil à retordre...

Effectivement, Moot a bien généralisé le résultat, mais on pouvait très bien y arriver simplement en restant observateur, logique et respectueux des consignes données.

 

En résumé, l'opération mystère * appliquée entre deux grandeurs A et B est égale à 2A - B (mais ce n'était pas la question de départ)

 

Ainsi, 1024 * 48 = 2 x 1024 - 48 = 2000

 

Je confirme, une fois de plus, que ce problème figure bien dans le manuel de Maths de la classe de 4ème de cette année, et que sa résolution n'implique que des réflexions logiques et de bon sens.

 

Merci à tous ceux qui ont participé et à qui j'ai parfois donné du fil à retordre...

1. Toutiet, tu te la joues à la Fermat avec ta phrase "mais on pouvait très bien y arriver simplement en restant observateur..." ? Car dans ce que tu appelles la solution, tu appliques le résultat de Moot sans expliquer comment tu t'en tires sans l'appliquer.

Passer directement de 1024@48 à 2x1024-48 n'est pas trivial et n'est certainement pas le résultat d'un raisonnement observateur, logique et respectueux des consignes données.

Donc explicite ton raisonnement.

2. Peux tu donner la référence du livre en question et, si possible, le n° de la page où le problème est posé ?

Pas de problème, je vais m'expliquer... simplement, logiquement et en bon observateur

Mais là, je dois m'absenter un moment ...

Patience donc.

Ben tient, tu dois t'absenter.

Pas de problème, je vais m'expliquer... simplement, logiquement et en bon observateur

Mais là, je dois m'absenter un moment ...

Patience donc.

Mince, Fermat a fait pareil... il est mort juste après avoir écrit sa remarque Tu ne nous fais pas le même coup, hein ?

Ce qu'a dit Fermat, en 1670 dans un livre publié par son fils, 5 ans après la mort du papa, cette note a donc été écrite au plus tard en 1665 :

« Au contraire, il est impossible de partager soit un cube en deux cubes, soit un bicarré en deux bicarrés, soit en général une puissance quelconque supérieure au carré en deux puissances de même degré : j'en ai découvert une démonstration véritablement merveilleuse que cette marge est trop étroite pour contenir. »

La démonstration n'a pu être faite dans le cas général qu'en 1994, soit 329 ans après sa mort... elle s'étend sur des centaines de pages dans un raisonnement faisant intervenir des courbes elliptiques, la courbe de Frey-Hellegouarch, la conjecture de Shimura-Taniyama-Weil et la conjecture ε, les fonctions L, les groupes de Galois absolus, la théorie des déformations des représentations galoisiennes, les formes modulaires... donc Fermat ne pouvait effectivement pas avoir la place pour l'écrire dans la marge, d'autant plus qu'aucun de ces outils mathématiques n'existait à son époque.

Bon, dans notre cas présent, Moot a donné la démonstration générale du vivant de Toutiet, mais Toutiet doit encore nous expliquer sa méthode simple, logique de bon observateur avant de trépasser

Je me demande dans quel pays il va demander l'asile !

Bon, de toute façon, ce n'est pas parce que l'on a résolu le problème dans le cas général, ce qui n'est pas à la portée d'un élève de quatrième, surtout avec les programmes actuels qui les traitent comme s'ils étaient stupides, que l'on ne l'a pas fait aussi sans chercher ledit cas général.

Pour la première question, il suffit d'appliquer les règles, ça "tombe" tout seul, d'autres que moi l'ont expliqué plus haut.

Pour trouver 1024*48, on cherchera à faire apparaître quelque chose qui ressemble au (2+3)*(0+3) de la première question, soit de la forme (a+*(0+. Déjà, on mettra 48 pour b (à la place du 3 si on veut dire cela sans formaliser, puisqu'un élève de quatrième n'est sans doute pas bien habitué à le faire), et il faut a+48 = 1024, donc a = 1024-48 = 976 (en ajoutant 48 au nombre que l'on met à la place du 2, il faut que ça fasse 1024). On arrive alors à (976+48)*(0+48) = (976*0)+(48*48) = 2x976 + 48 = 2000.

Quant à invoquer des espaces vectoriels, on se demande pourquoi, les mathématiciens n'ont pas besoin même des nombres pour parler de lois de composition interne (LCI), groupes, anneaux, corps, etc. La seule précision à ajouter à l'énoncé consisterait à dire que la LCI s'applique à des nombres réels, et que l'addition est notée comme d'habitude. Ici, le pire n'est pas la non-commutativité, mais l'absence d'élément neutre. En effet, a*b = a => b = a, donc tout nombre est potentiellement neutre, mais uniquement pour lui-même, aucun ne l'est pour tout nombre. On ne peut donc pas construire de groupe (et encore moins d'anneau avec la distributivité) avec cette LCI.

Ouf, même si Toutiet décide de manger une salade de racines de pissenlits pour l'éternité, Moot nous a donné la solution !

Cela dit, très peu d'élèves de 4ieme seront capable de faire cet exercice...

On risque peut-être d'attendre longtemps.

Un jour il a voulu "sortir des sentiers battus" on l'attend encore !

Ouf, même si Toutiet décide de manger une salade de racines de pissenlits pour l'éternité, Moot nous a donné la solution !

 

Cela dit, très peu d'élèves de 4ieme seront capable de faire cet exercice...

C'est vrai que ça semble "ambitieux" pour des élèves de 4ième. Je serais vraiment curieux de savoir le taux de réussite.