TIPE : Position relative de la Lune / Terre

[wildiwas]

Bonjour à tous,

 

Je suis élève de prépa PSI et j'aurais besoin d'aide pour mon TIPE, ce qui est en bref un projet à préparer sur logiquement un an et demi. J'espère être dans la bonne rubrique.

 

J'ai pour projet de trouver par des calculs la position de la lune dans le ciel à tous moment et donc sa trajectoire de la où je peux l'observer (mes calculs se feront donc avec une position prédéterminée). Vu la complexité de ces calculs je devrais peut-être me résoudre à devoir les simplifier à rajoutant des hypothèses, ce qui amène à la deuxième partie de mon TIPE : la confrontation de ce modèle théorique avec le réel. Je pense donc me servir d'un APN sur un trépied pour prendre des séries de photos pour mesurer la position de la lune.

 

Mon problème réside principalement dans les calculs. Je sais que je dois résoudre les équations de Kepler et me ramener dans le référentiel terrestre de mon jardin. Mais avant de me lancer tête baissé dans les calculs, j'aimerais savoir si à mon niveau, ce projet est réalisable, et si vous pouviez corriger ou me proposer une autre procédure.

 

Merci d'avoir pris le temps de lire mon message.

 

Wildiwas

[ChiCyg]

wildiwas,

S'il s'agissait de résoudre les équations de Kepler et de changer de référentiel, ce serait assez facile. Mais on ne peut pas négliger l'influence du Soleil, ni la forme de la Terre. Exit les équations de Kepler qui sont faites pour seulement deux corps assimilés à des points.

 

Regarde par exemple : http://www.ensta-paristech.fr/~perez/cours/corrigelune/corrigelune.html

[wildiwas]

Oui, je savais bien que l'influence du Soleil ne pouvait surement pas être négligée. Mais je ne savais point que la forme de la terre était si importante. Ferait-je une grosse erreur qi je ne le prenais pas en compte la forme de la Terre ?

Je vais prendre connaissance de l'exemple que vous m'avez fourni.

Merci beaucoup de m'avoir répondu

[ChiCyg]

wildiwas, il me semblait me souvenir que le bourrelet équatorial terrestre exerçait un couple sur le mouvement orbital de la lune autour de la terre, mais peut-être est-ce faux ou d'un effet très faible. Les marées aussi ont un effet sur le mouvement de la lune, mais très faible et si on finasse les autres planètes devraient aussi être prises en compte .

[wildiwas]

C'est sur le modèle que je compte utiliser sera loin d'être parfait, mais d'après les textes décrivant les TIPE, cela suffit car il est question d'émettre des hypothèses et de les valider ou non par l'expérience. À la vu de ce que vous m'avez montré, je pense que ce projet est réalisable à mon échelle, en limitant mon étude à la Terre, au Soleil et à la Lune, tous trois assimilés à des sphères. Montrer les limites de ce modèles est également très appréciable, donc encore une fois, merci !

[Chtit Bilou]

Hello Wildiwas!

 

Demande, envoie un ptit mail à gglagreg. Il devrait te filer de bons conseils.

 

Bon courage, bon ciel!

[jarnicoton]

S'il faut confronter le calcul à l'observation personnelle, je présume qu'il faut commencer par déterminer la précision de la mesure personnelle avec l'appareillage disponible, et estimer d'abord quelle influence de quel astre ou de quel bourrelet sera décelable avec cet appareillage ? Et qu'au-dessous, il est inutile de prendre en compte ?

[Jean-ClaudeP]

Mon problème réside principalement dans les calculs. Je sais que je dois résoudre les équations de Kepler et me ramener dans le référentiel terrestre de mon jardin

 

Comme tu n'as que quelques heures par semaine à consacrer à ce travail, je pense qu'il faut en rester au mouvement purement elliptique de la lune puis, faire le changement de référentiel coordonnées célestes, coordonnées locales. Quant à considérer l'influence du soleil ou la forme de la terre cela devient carrément compliqué à moins que tu aies du temps à investir dans l'étude de notions complexes ou à recopier bêtement des formules qui bien sûr existent. (Duriez, chap 5 et 6). Voici une proposition, elle vaut ce qu'elle vaut:

1) Déterminer dans un référentiel lié au plan de la trajectoire lunaire le mouvement elliptique de la lune. .

2) Deux possibilités ensuite : soit utiliser un logiciel tel Maple pour résoudre par itération l'équation de Kepler et déterminer l'anomalie vraie de la lune pour toute valeur quelconque du temps.

Soit utiliser le développement en série de Fourier du mouvement de la lune pour aboutir à une valeur de l'anomalie vraie en fonction du temps (Duriez, p 152).

3) Faire les changements de référentiel de celui lié à la trajectoire lunaire, vers celui des coordonnées équatoriales (Ascension droite et déclinaison), puis vers le référentiel des coordonnées locales. (Duriez, p35)

4) On pourra constater des différences importantes entre la position réelle de la lune et la position elliptique calculée. Ces différences sont essentiellement dues aux inégalités du mouvement lunaire causées en grande partie par l'influence gravitationnelle du soleil. Un certain nombre de ces inégalité étaient connues des anciens (Ptolémée, Tycho Brahé). Je pense qu'il serait intéressant de les faire apparaitre ou d'imaginer toute autre problématique la-dessus.

 

Bibliographie succincte:

Duriez Luc, Cours de Méca Céleste

Obspm : outils mathématiques en astronomie

[Gontran]

Bonjour,

Quant à considérer l'influence du soleil ou la forme de la terre cela devient carrément compliqué à moins que tu aies du temps à investir dans l'étude de notions complexes ou à recopier bêtement des formules qui bien sur existent

 

Je pense qu'il est important de le mentionné dans l'étude: Tu pars du problème intégrant toutes les données et tu expliques lesquelles tu ne prendras pas en compte et pourquoi (ex: précision de la mesure)

[wildiwas]

Bonjour, et merci pour vos réponses.

 

Il est vrai que la précision du matériel utilisé ne sera pas extraordinaire et que je pourrais d'autant plus l'améliorer si le temps ne me manquait pas.

Je ne pense donc pas pouvoir prendre en compte la forme de la Terre mais je vais tout de même tenter une approche en prenant en compte les influences gravitationnelles de le Terre et du Soleil. Si cela reste trop complexe, je pense et j'espère que l'analyse des erreurs de trajectoire et leurs explication suffiront.

Je vais prendre connaissance de la bibliographie que vous avez posté.

 

Encore merci de l'aide que vous m'apportez.

[Jean-ClaudeP]

mais je vais tout de même tenter une approche en prenant en compte les influences gravitationnelles de le Terre et du Soleil.

Remarque qu'une approche classique du mouvement des trois corps (Terre, Soleil, Lune) est très compliquée, 3 siècles de générations d'astronomes se sont cassés les dents dessus. Il existe, cependant, une possibilité d'étudier globalement le mouvement des trois corps qui consiste à intégrer numériquement les équations générales des trois corps en interaction. On peut utiliser pour cela des méthodes d'intégration numérique telle Runge-Kuta, l'affaire est un peu compliquée par le fait que le système d'équations différentielles est du second ordre, mais je pense que c'est accessible à votre niveau et au temps qui vous est imparti.

Quant à confronter avec des données réelles, le plus simple consiste à les obtenir avec un logiciel tel Stellarium (libre sur internet) ou avec le générateur d'éphéméride de l'IMCC (Institut de mécanique céleste et de calcul des éphémérides).

Modifié 29 août 2012 par Jean-ClaudeP

[wildiwas]

J'ai pensé à Stellarium pour obtenir les données simplement, mais je pense que mon TIPE manquerait d'une expérience faite par mes propres moyens pour valider ou non le modèle théorique. De plus vu la simplicité du modèle que j'adopterais, je n'aurais pas besoin de mesures très précises, du moins je pense...

Le fait de garder ces 3 corps dans le modèle pourrait faire la différence dans la dure sélection qu'est la prépa, donc je vais tout faire pour ne pas me restreinte à la Terre et la Lune... Donc merci pour ces indices de résolution !

[Jean-ClaudeP]

Alors bonnes recherches et tiens nous au courant des choix que tu fais.

[wildiwas]

Je reviens presque un an plus tard pour vous faire vent du résultat.

 

J'ai en quelque sorte laissé de côté la détermination théorique de la trajectoire de la Lune dans le cadre du problème à 3 corps car cela dépassait un peu trop le programme de prépa.

 

Pour ce qui est des mesures, j'ai eu un peu de mal vu le sale temps que nous avons eu. En effet, j'ai utilisé un simple appareil photo en prenant la Lune dans un champ d'étoile. J'ai donc utilisé le plupart du deux photo pris successivement (ce qui réduit la précision) avec un temps d'exposition long pour avoir (souvent inférieur à 10s) et un temps d'exposition très court pour avoir les contour nets de la Lune. En déterminant le centre de la Lune via 3 points de la périphérie, j'ai pu faire une sorte de triangularisation qui me ramène dans le meilleur des cas à 1' d'écart sur la longitude et latitude écliptique. La parallaxe aplatissant légèrement la Lune, le centre devenait approximatif, et donc la détermination du diamètre apparent par la méthode des trois points ne donnait pas de bon résultats. Je n'ai donc pas pu remonter à la distance Terre-Lune (en connaissant le diamètre réel et le grandissement de l'APN), et je ne me suis pas trop attardé dessus, car j'aurais pu essayer de déterminer le centre et le diamètre apparent de la Lune à la main.

 

En effet même à 1' d'arc près ce n'était pas suffisant pour la suite de mon TIPE. Je suis donc aller puiser directement dans les éphémérides de l'IMCCE les positions relatives de la Lune, dans le but de mettre en évidence les variations de son orbite comme décrite dans un article de Patrick Rocher présent sur le site de l'IMCCE, à savoir les variations périodique de la ligne des noeuds, de l'inclinaison du plan de l'orbite par rapport à l'écliptique, de l'excentricité, périgée et demi grand-axe de l'ellipse.

 

Pour cela j'ai donc utiliser plus de 540 mesures avec un tableur grâce auxquelles je suis revenus aux paramètres précédents avec les formules de changement de repère et l'étude d'ellipses tangentes à la trajectoire de la Lune (pas si simple que ça en a l'air car il n'y avait pas vraiment de résolution littérale possible).

 

Au final je trouve des résultats corrects en me limitant généralement à deux perturbations lorsque je décompose les courbes en fonction du temps en série de Fourier, sauf en ce qui concerne les perturbations du demi-grand axe qui sont incompréhensiblement 2 fois trop élevées ...

 

Je suis passé à l'oral la semaine dernière, cela s'est relativement bien passé, mais j'attends ma note. Merci à vous de m'avoir aidé a démarré ce projet ! J'espère n'être pas trop rentré dans les détails, aussi barbant que cela puisse paraître !

 

Wildiwas

Modifié 11 juillet 2013 par wildiwas

[Jean-ClaudeP]

Merci d'avoir pris la peine de nous donner des nouvelles.

 

Pour cela j'ai donc utiliser plus de 540 mesures avec un tableur grâce auxquelles je suis revenus aux paramètres précédents avec les formules de changement de repère et l'étude d'ellipses tangentes à la trajectoire de la Lune (pas si simple que ça en a l'air car il n'y avait pas vraiment de résolution littérale possible).

Au final je trouve des résultats corrects en me limitant généralement à deux perturbations lorsque je décompose les courbes en fonction du temps en série de Fourier, sauf en ce qui concerne les perturbations du demi-grand axe qui sont incompréhensiblement 2 fois trop élevées ...

Si tu as l'occasion de nous donner quelques détails, je suis intéressé par la façon dont tu as procédé. C'est par simple curiosité personnelle, je n'ai pas l'intention de diffuser ces travaux ni d'en faire une publication à mon nom.

[wildiwas]

J'utilise donc dans un premier temps les coordonnées écliptiques de la Lune. Les formules de changement de repère lient la longitude et latitude écliptique à la longitude dans le plan orbital de la Lune (sa latitude dans ce plan étant donc nulle), à l'inclinaison de se plan par rapport à l'écliptique et à la position du nœud ascendant de l'orbite (par rapport au point vernal).

 

Ces formules donnent donc un système de 3 équations trigonométriques donc non linéaires à 3 inconnues. Il ne peut se résoudre littéralement. Cependant la rotation de la ligne des nœuds étant relativement lente par rapport aux autres paramètres, j'ai pu la déterminer d'une façon moins orthodoxe. En épluchant les éphémérides j'ai relevés un certains nombres de valeurs de cette position. En effet lorsque la latitude écliptique de la lune est nulle, sa longitude écliptique est confondu avec la position du nœud ascendant. J'ai pu donc remonter à une première loi de variation , celle de la position de la ligne des nœuds en fonction du temps.

 

Ensuite en supposant l'inclinaison comprise entre -90° et 90°, j'ai pu déterminer sa forme littérale en fonction des coordonnées écliptiques et de la position de la ligne des noeuds grâce à une des 3 équations. Grâce à Excel et Regressi j'ai pu déterminer sa loi de variation . J'accède ensuite au valeurs littérales des sinus et cosinus de la longitude de la Lune dans son plan d'orbite. Grâce à un petit algorithme tout simple j'en déduit les valeurs de cette longitude sur Excel.

 

Au final j'ai les valeurs de la longitude dans le plan orbital lunaire toutes les 12h entre début septembre et début juin. En prenant trois points, j'en déduit une ellipse tangente au point central. En effet l'équation polaire d'une ellipse (conique en général) ne faisant intervenir que 3 paramètres, il m'a été possible de résoudre un nouveau système d'équations non linéaires en supposant logiquement l'excentricité positive (à l'aide de Maple). Je tiens à préciser que ces solutions littérales furent très indigestes. Je suis donc parvenue à une succession de paramètres d'ellipses sur Excel, j'ai ensuite pu tenter de déterminer les 3 autres loi de variation sous Regressi.

 

J'espère que cela est compréhensible, je n'ai voulu ennuyer personne en donnant les formules et équations.

[Jean-ClaudeP]

Merci pour ces détails