Aidez moi : calcul d'une limite assez complexe.

[RayonZ]

Ma prof m'a donné une prépa en math avec de nombreux exercices sur les limites. Je les ai tous réussi sauf un C'est un truc de fou mais on sait jamais si y a un prof de math qui passerait par ici, ce serait gentil de m'aider. Alors voici le problème :

 

Calculez la limite de... x tendant vers + ou - l'infini de la fct suivante :

 

[x-V(x^2 + x - 1)] / [2x - V(4x^2 + 3x)]

 

Voilà notez bien que mes "V" représentent des racines carrées portant sur la parenthèse qui suit.

Les "^" veulent dire "exposant... le nombre qui suit !" désolé, mais je n'ai pas trouvé les bonnes touches sur mon clavier, voilà, @++

[Bleu]

2/3, d'après Maple, pas regardé plus loin, la synthèse d'histoire m'appelle.

[Astro-Pépito]

D'après le ClassPad 300, 1/2 en -infini et 2/3 en +infini

Pour les calculs intermédiaires, je n'ai pas le temps

[DavidG]

t'as pas de calculatrice scientifique...???

 

[Bleu]

(texte cité)

D'après le ClassPad 300' date=' 1/2 en -infini et 2/3 en +infini

Pour les calculs intermédiaires, je n'ai pas le temps

[/quote']

 

Woops, oublié le -inf. Je confirme ce que pépito raconte.

[Newton]

C'est pour quel niveau: lycée ? Prépa ? (parce que la méthode peut changer...)

[Poussin38]

ahhh Newton, le taux d'accroissement d'une fonction ya que ça de vrai (après c'est trop facile)

 

n'empèche, utiliser une calcu pour le trouver ça me semble un peu léger (mais je suis de l'ancienne école ) quelle société ! tout se perd ma brave dame

[Newton]

Bon... Pas de réponse... Alors je me lance en prenant l'hypothèse lycée...

En fait, on a plein de formes indeterminées donc faut trouver un autre moyen..

 

D'abord en -inf, c'est plus facile

La notation sqr(x) correspond à la racine

 

f(x) = (x-sqr(x²+x-1))/(2x-sqr(4x²+3x)

On met x² en facteur dans les racines

= (x-sqr(x²(1+1/x-1/x²)/(2x-sqr(x²(4+3/x))

Comme on cherche la limite en -inf, x est <0 donc sqr(x²)=-x

=(x+xsqr(1+1/x-1/x²))/(2x+xsqr(4+3/x))

Or x<>0 donc on simplifie par x

=(1+sqr(1+1/x-1/x²))/(2+sqr(4+3/x))

Cette limite est facile car

lim en -inf de sqr(1+1/x-1/x²)=1 et lim en -inf de sqr(4+3/x)=2

Donc la limite en -inf est

= (1+1)/(2+2) = 1/2

 

En +inf, c'est plus coton... J'ai trouvé une méthode mais il y a peut être plus simple

Le principe est de décomposer en petits bouts dont on connait la limite finie

f(x) = (x-sqr(x²+x-1))/(2x-sqr(4x²+3x)

= (x-sqr(x²(1+1/x-1/x²)/(2x-sqr(x²(4+3/x))

Comme on cherche la limite en +inf, x est >0 donc sqr(x²)=x

=(x-xsqr(1+1/x-1/x²))/(2x-xsqr(4+3/x))

Or x<>0 donc on simplifie par x

=(1-sqr(1+1/x-1/x²))/(2-sqr(4+3/x))

On multiplie par haut et bas par l'expression conjuguée de (2-sqr(4+3/x))

= ( (1-sqr(1+1/x-1/x²)) * (2+sqr(4+3/x)) ) / ( (2-sqr(4+3/x)) * (2+sqr(4+3/x)) )

Je pose A (x) = ( (1-sqr(1+1/x-1/x²)) * (2+sqr(4+3/x)) ) (le numérateur)

B(x) = ( (2-sqr(4+3/x)) * (2+sqr(4+3/x)) )

f(x)= A(x) / B(x)

 

On trouve facilement B(x) = -3/x, d'où f(x) = -xA(x)/3

xA(x) = (x-xsqr(1+1/x-1/x²) * C(x) avec C(x) = (2+sqr(4+3/x))

Or en +inf C(x) tend vers 2 + 2 = 4

Reste donc à trouver la limite de (x-xsqr(1+1/x-1/x²) = D(x)

 

D(x) = x - sqr(x² +x -1)

Multiplions haut et bas par l'expression conjuguée de x - sqr(x² +x -1)

D(x) = (x - sqr(x² +x -1)) * (x + sqr(x² +x -1))/(x + sqr(x² +x -1))

Comme x>0

= (x²-x²-x+1)/(x+sqr(x² +x -1)

= (-x+1)/(x+sqr(x²+x-1))

On met x en facteur en haut et en bas

D(x) = x(-1+1/x) / x(1+sqr(1+1/x-1/x²)

x<>0 donc

D(x)= (-1+1/x) / (1+sqr(1+1/x-1/x²)

En + inf, on a donc une limite de D(x)

= (-1 + 0) / (1 + sqr(1 + 0 + 0) = -1/2

 

Or f(x) = -xA(x)/3 = -C(x).D(x)/3

 

Nous avons vu que en +inf, lim D(x) = -1/2 et lim C(x) = 4

 

Donc lim f(x) en +inf = (- 4 X -1/2)/3 = 2/3

 

J'avais que ça à foutre ce soir.... Ca fait bien 10 ans que j'avais pas pratiqué...

[RayonZ]

Arf, c'est bien de le faire avec un programme mais bon j'aimerais bien qu'on m'explique comment je dois faire

D'habitude on multiplie par le binôme conjugué du numérateur mais là Ca marche pas trop

Si vous pouviez me mettre sur une piste

 

EDIT : merci Newton

[Newton]

tu regardes au dessus ....

[GéGé]

Ah Newton, tu mérites ton pseudo, ce soir!

 

 

[RayonZ]

Me revoilà, oui je sais j'ai changé de nom car j'ai oublié mon mot de passe et mon ancienne adresse email

hé oui, ca arrive ces choses là !

 

Encore merci pour vos explications qui m'ont été trèze trèze utile

Mais voilà que ma prof remet ça et je bloque encore une fois sur un exercice aussi sympathique qui a l'air simple au début puis... Pour info, je suis élève en 5ème années secondaire (j'crois que c'est l'équivalent de la 1ère en France ).

 

lim x qui tend vers "pi" de...

 

2sinx / (1-sin(x/2)) (brrrrr' ca fait froid dans le dos pas vrai !)

 

j'ai trouvé qu'on arrivait au cas d'indétermination zéro sur zéro, juste ?

Mais maintenant il me faut factoriser cette horreur pour trouver la limite (méthode pour les fractions rationnelles et le cas 0/0) mais là je commence à patiner dans la choucroute...

 

Aidez moi ou je risque de me retrouver avec un vrai zéro/10

[Newton]

Euuuhh? t'es pas un peu en vacances ?

 

Mais bon... Voici une piste:

on sait que sin 2a = 2 sin a . cos a.

 

Il suffit donc de remplacer sin x/2 par une autre valeur. Ensuite, on divise haut et bas par sin 2x et ça devient tout simple.

 

Il faut quand même faire attention: prendre les limite en Pi+ et Pi+ car les 2 valeurs sont différentes. (+ et - inf)

 

Allez, à toi !

[RayonZ]

Euuuhh? t'es pas un peu en vacances ?

Bouhouhou en théorie Newton, en théorie !

 

Mais grâce à toi (et à cette satané formule que j'avais complètement oublié) j'vais peut être m'en sortir

 

Reprenons : je remplace mon dénominateur "1 - sin (x/2)" avec les formules de duplications, ce qui donne :

 

2sinx / (1 - (sinx / 2cos(x/2))) juste ? (j'l'ai vérifiée 3fois glups !)

 

Après désolé mais je vois pas comment tu te débarrasse du 1 qui m'empêche de simplifier le sinx du dénominateur... Pourtant j'ai tout essayé mais soit j'arrive à de monstrueuses et abominomâbles tangentes, soit je retombe sur un terme qui gêne la simplification.

 

Que dois-je faire après cette ligne ?

Faut-il touché au numérateur ?

 

Je cherche...

 

Mais ne trouve toujours pas...

[Newton]

Non, pas bon !!!

 

je viens de me rendre compte que je n'ai pas tapé ce qu'il fallait ! Honte à moi.

Je recommence...

[Newton]

Bon, j'ai regardé à nouveau. Le principe est le même

 

En fait, tu remplaces sin x au numérateur par 2 sinx/2 . cosx/2

 

Ensuite tu multiplies haut et bas par l'expression conjuguée (1 + sin x/2). Tu pourras alors transformer le dénominateur en cos (car cos²a + sin²a = 1).

 

Puis tu simplifies un peu le bazar et tu obtiendras des tangeantes x/2. Et là c'est facile car tan x/2 tend vers + ou - inf suivant que x approche de pi en valeurs < ou > (pi+ et pi-).

[RayonZ]

Ouep, on s'en approche, j'arrive à [4sin(x/2) + 4sin²(x/2)] / cos(x/2)

 

Soit 4tg(x/2) + 4tg(x/2).sin(x/2) , est-ce exact ?

 

Enfin d'un coté j'ai une chance sur deux (+ ou - infini), nan j'déconne !

Pour finir, j'remplace les x par pi et je trouve... suspense...heu... attendez...

 

-inf quand x tend vers pi ... en étant plus grand ! Et donc l'inverse quand x tend vers pi - ! YES !!! Merchi beaucoup Newton ! :laughing:

 

En fait, tu remplaces sin x au numérateur par 2 sinx/2 . cosx/2

Nondidju Newton ! C'est 2sinx au numérateur Essayes pas de m'embrouiller non plus...

[Newton]

bah non... je t'embrouille pas. Faut bien remplacer sin x par 2sinx/2 cosx/2 ! Et après, faut faire 2 sinx. D'ailleurs, je me demande ce que vient faire ce 2 car il "n'apporte rien" au calcul.

 

Sinon, je préfère la notation 4 tan x/2 (1 + sin x/2). Ca simplifie le calcul car (1 + sin x/2) tend vers 2 quand x tend vers pi. Reste donc la limite de tan x/2

[RayonZ]

La formule de dupli :

on sait que sin 2a = 2 sin a . cos a.

 

ce que tu me dis de faire :

Faut bien remplacer sin x par 2sinx/2 cosx/2 !

Impossible, manque un 2 devant le x !

D'ailleur le numérateur de mon calcul c'est 2sinx !!!

 

bah non... je t'embrouille pas.

Si, si

[Newton]

Re-erreur de frappe de ma part... Corrigée dans mon post et dans ton quote.... J'ai mis "Faut bien remplacer sin x par 2sinx/2 cosx/2 "