Les conséquences de l'infini

[Kelthuzad]

Bonjour,

 

Si les points suivants sont vérifiés :

- L'univers est plat

- L'univers est infiniment grand

- Un évènement ayant une probabilité non nul d'arriver, arrivera une infinité de fois dans un espace infini.

 

Alors peut-on conclure qu'il existe (par exemple) une infinité de Terres identiques à la notre à l'atome près (avec nous faisant les même mouvements etc.) séparées par des distances colossales vu la proba mais qui existent tout de même ?

 

Peut-être qu'une bonne réponse serait de se dire "oui et alors ?" mais ceci serait valable pour tout ce qu'on observe, il y aurait une infinité d'étoiles, une infinité de supernovae, une infinité de Kelthuzad postant ce message etc.

 

Qu'en pensez-vous ? Ai-je fait une erreur de raisonnement ?

 

A+ !

[pascal_meheut]

L'univers n'a pas besoin d'être plat, juste infini. Après, pour que tout soit reproduit une infinité de fois, il faudrait un temps infini, une quantité d'énergie infinie. Après, l'expansion et l'entropie viennent compliquer les choses.

 

Mais l'idée existe avec le concept d'Univers-iles et avec l'interprétation d'Everett de la mécanique quantique notamment.

['Bruno]

Alors peut-on conclure qu'il existe (par exemple) une infinité de Terres identiques à la notre à l'atome près (avec nous faisant les même mouvements etc.) séparées par des distances colossales vu la proba mais qui existent tout de même ?

Non, car la probabilité d'apparition de la Terre n'est peut-être pas non nulle.

 

Par exemple, si tu choisis un nombre au hasard parmi l'infinité des nombres entiers, la probabilité de choisir un 5 est nulle (1 nombre parmi une infinité, ça fait 0). Et pourtant il est fort possible de choisir un 5.

 

Pour le moment on sait qu'il existe une Terre, donc rien ne permet d'exclure l'hypothèse que la probabilité d'apparition de la Terre soir nulle (ça se trouve c'est comme le tirage du 5). Peut-être que la Terre est unique, tout comme le nombre 5.

[Kelthuzad]

Intéressant. J'ai du mal avec ton raisonnement car un évènement qui est effectivement arrivé a (par définition pour moi) une proba non nulle d'arriver puisqu'il s'est produit dans le passé. La probabilité de tirer 5 n'est pas nulle mais infiniment faible ce qui est un autre sens à mes yeux.

 

Edit : lors du tirage, la probabilité de tirer un entier est 1, donc la probabilité de tirer 5 ne peut pas être nul bien que ce soit une limite 1 / infini (les matheux ne regardez pas !)

Modifié 28 décembre 2013 par Kelthuzad

['Bruno]

Non, la probabilité de tirer 5 est nulle (si on suppose que c'est équiprobable).

[GiiGii]

Du fin fond de mes souvenirs dire que P(A)= Card(A)/n c'est se placer dans la théorie des proba discrètes donc d'avoir un univers sigma fini et dénombrable. Ce qui n'est pas le cas ici je pense.

 

Du coup de dire que la mesure de proba de tirer un 5 sur une infinité d'entier est 1/infini n'a pas de sens je pense.

[megapter]

On part plutôt du principe que l'univers est fini mais on ne sait pas quand s'arrêtera son expansion.

Et il est pas plat. c'est plutot une bulle.

Modifié 29 décembre 2013 par megapter

['Bruno]

GiiGii : les nombres entiers forment un ensemble infini dénombrable, donc la probabilité de tirer 5 est nulle. Par contre, si tu parles de l'univers et l'existence de la Terre, ce n'est de toute façon pas un phénomène probabiliste (ou pas entièrement). Parler de probabilités peut juste servir d'analogie.

 

Megapter : ici c'est la discussion de Kelthuzad et il a explicitement dit qu'il se plaçait dans l'hypothèse d'un univers infini.

[megapter]

Megapter : ici c'est la discussion de Kelthuzad et il a explicitement dit qu'il se plaçait dans l'hypothèse d'un univers infini.

 

Ok j'ai mal compris que c'etait une hypothese ! l'infini me depasse:)

['Bruno]

En tout cas tu fais erreur si tu penses que l'univers est forcément une bulle finie. C'est possible, mais ce n'est pas sûr : les observations ont montré que l'univers était plat aux erreurs de mesure près, ce qui n'exclue aucune hypothèse : il est peut-être effectivement une sorte de bulle finie, mais il est peut-être au contraire infini, pour l'instant rien ne permet de trancher.

[pascal_meheut]

+1 : on ne sait pas s'il est fini et pas grand chose sur sa forme. Mais ça n'est pas une bulle parce que quand on parle de "forme", cela n'est pas dans ce sens là.

 

P.S : pour les proba, c'est bien 0 le résultat. Simplement l'énoncé "je tire un nombre dans les entiers" n'est pas intuitif pour pas mal de monde qui si on leur demande un exemple vont en fait "prendre un entier entre 1 et 4/5 chiffres". Personne ne va nous sortir l'entier composé de Fibonacci(1000) chiffres du développement décimal de PI, pris à partir de la position 10^(exp(pi*racine(163)). Et pourtant, il a autant de chances de sortir que 5.

[Jean-ClaudeP]

Si les points suivants sont vérifiés :

- L'univers est plat (...) Alors peut-on conclure qu'il existe (par exemple) une infinité de Terres identiques à la notre à l'atome près

 

C'est un des arguments avancés par les tenants des univers multiples (cf Everett). Comme parmi les univers possibles, plat ou euclidien, hyperbolique et enfin sphérique, seul le dernier est limité, donc il y a pas mal de chance pour que l'univers soit infini. L'argument est plus philosophique que scientifique.

Lisez à ce sujet ce joli texte d'Aurélien Barreau

Quelques éléments de physique et de philosophie du Multivers

[Jean-ClaudeP]

Du fin fond de mes souvenirs dire que P(A)= Card(A)/n c'est se placer dans la théorie des proba discrètes donc d'avoir un univers sigma fini et dénombrable. Ce qui n'est pas le cas ici je pense.

C'est exactement cela. Nous sommes dans la cas d'un univers de probabilité non fini. Il faut obligatoirement préciser ce qu'on appelle tirer au hasard un entier dans IN (ensemble des entiers naturels).

Modifié 29 décembre 2013 par Jean-ClaudeP

[Kelthuzad]

Merci pour vos réponses.

 

si tu parles de l'univers et l'existence de la Terre' date=' ce n'est de toute façon pas un phénomène probabiliste (ou pas entièrement)[/quote']

 

J'ignore exactement ce que ça veut dire mais ça me plait dans le sens où sinon ça voudrait dire que la Terre avait une probabilité nulle d'être comme elle est aujourd'hui. Univers fini ou infini, un phénomène observé avait (j'espère) une proba non nulle d'arriver, sinon je fais un blocage ici.

 

J'avoue que tout ça n'est pas clair, je vais essayer de le formuler autrement.

 

Plaçons-nous à l'âge de l'univers = 1 seconde, je rappelle qu'on se place dans un univers infini. Si j'ai bien compris s'il est infini aujourd'hui, il l'était aussi à cet époque...

La probabilité d'apparition de la Terre (telle qu'elle est aujourd'hui) est-elle strictement nulle à ce moment ?

- Si oui, comme vous l'avez compris j'ai du mal à concevoir un évènement ayant une probabilité nulle se produire, à moins que sa proba change au cours du temps mais bon là je m'évade dans des balivernes.

- Si la réponse est non, l'univers infiniment grand implique une infinité d'essais et implique l'apparition d'une infinité de Terres (et tout autre objet que l'on observe)

 

J'imagine qu'il y a déjà des éléments de réponses que je n'ai pas réussi à discerner plus haut ! Merci de votre patience.

 

Lisez à ce sujet ce joli texte d'Aurélien Barreau

Quelques éléments de physique et de philosophie du Multivers

 

Merci, c'est justement suite à une des ses conférences à l'IAP (il y a longtemps maintenant) que ces questions me sont venues.

[megapter]

Un phénomene etrange de reproductibilité dans le domaine de la vie c'est le cas des jumeaux monosigote qui partage le meme patrimoine genetique. bien qu'il s'agisse de clones au sens biologique du terme, ils ont des empreintes digitales et des constantes biologiques différentes. c'est aussi de l'ordre de la création.

Modifié 29 décembre 2013 par megapter

[philou31]

Un phénomene etrange de reproductibilité dans le domaine de la vie c'est le cas des jumeaux monosigote qui partage le meme patrimoine genetique. bien qu'il s'agisse de clones au sens biologique du terme, ils ont des empreintes digitales et des constantes biologiques différentes. c'est aussi de l'ordre de la création.

 

Ce n'est absolument pas étrange.

Pour simplifier un individu est la résultante de son patrimoine génétique + interaction avec son environnement.

Si les empreintes digitales des jumeaux sont différentes, c'est que les empreintes digitales ne sont pas à 100% dues aux seuls gênes.

[megapter]

Ce n'est absolument pas étrange.

Pour simplifier un individu est la résultante de son patrimoine génétique + interaction avec son environnement.

Si les empreintes digitales des jumeaux sont différentes, c'est que les empreintes digitales ne sont pas à 100% dues aux seuls gênes.

 

Je voulais dire que c'est tout de meme surprenant ce que la vie est capable de faire. je pense aussi qu'il y a toujours une interaction avec l'environement que ce soit pour les choses ou les etres bien sur.

[Kelthuzad]

Essayez de ne pas dériver svp.

[Fred_76]

Petite digression biologique dans ce topic céleste :

 

Un phénomene etrange de reproductibilité dans le domaine de la vie c'est le cas des jumeaux monosigote qui partage le meme patrimoine genetique. bien qu'il s'agisse de clones au sens biologique du terme, ils ont des empreintes digitales et des constantes biologiques différentes. c'est aussi de l'ordre de la création.

 

Ils ne sont pas des clones au sens biologique. On considère que le patrimoine génétique n'est porté que par les chromosomes. C'est une grave erreur. Il ne faut pas oublier le patrimoine mitochondrial, qui n'est transmis que par la mère et qui est nécessairement différent entre les jumeaux, même monozygotes.

C'est de lui que provient l'essentiel des différences qu'on remarque sur les jumeaux (empreintes digitales, grains de beauté, tâches de rousseur, implantation des cheveux, iris...).

['Bruno]

J'ignore exactement ce que ça veut dire mais ça me plait dans le sens où sinon ça voudrait dire que la Terre avait une probabilité nulle d'être comme elle est aujourd'hui.

Quand je disais que l'apparition de la Terre n'est pas un phénomène probabiliste (ou pas entièrement), je voulais dire qu'elle n'était pas soumise uniquement au hasard. En effet, l'univers obéit à des lois physiques, pas seulement au hasard. Donc modéliser un phénomène par le hasard est certainement très approximatif.

 

j'ai du mal à concevoir un évènement ayant une probabilité nulle se produire

La difficulté à comprendre ça est liée à l'infini. Souvent, quand il y a l'infini, les choses se passent de façon pas très intuitives...

[Smith]

La difficulté à comprendre ça est liée à l'infini. Souvent' date=' quand il y a l'infini, les choses se passent de façon pas très intuitives...[/quote']

comme le fait qu'il y ait des infinis plus grands que d'autre...je pense en particulier en théorie des nombres.

[pas03410]

comme le fait qu'il y ait des infinis plus grands que d'autre...je pense en particulier en théorie des nombres.

 

Il me semblait bien qu'il y avait eu une petite série sur la thématique des "infinis" sur France Culture, voilà:http://www.franceculture.fr/theme/moduletheme-culture-academie/sciences/sciences-fondamentales/les-deux-infinis

[schnappi]

Il me semblait bien qu'il y avait eu une petite série sur la thématique des "infinis" sur France Culture, voilà:http://www.franceculture.fr/theme/moduletheme-culture-academie/sciences/sciences-fondamentales/les-deux-infinis

 

L'émission podcastique "podcast science" a fait un épisode sur les infinis et ceux plus grands que d'autres : https://soundcloud.com/podcastscience/74-l-infini-quand-il-n-y-en-a

[Jean-ClaudeP]

L'hôtel de Hilbert, ou hôtel infini de Hilbert, illustre une propriété paradoxale des ensembles infinis en mathématique.

 

Supposons qu'un hôtel (fictif !) possède un nombre infini de chambres toutes occupées. Malgré cela, l'hôtelier peut toujours accueillir un nouveau client.

En effet supposons que les chambres soient numérotées par tous les nombres entiers (à partir de 1). Il suffit que l'hôtelier demande à l'occupant de la première chambre de s'installer dans la seconde, à celui de la seconde de s'installer dans la troisième, et ainsi de suite. Les clients déjà logés le restent. La première chambre est libre et peut accueillir le nouveau client.

Mais l'hôtelier peut aussi accueillir une infinité de nouveaux clients. Pour ce faire il faut que le client occupant la chambre no 1 prenne la chambre no 2, l'occupant de la no 2 la no 4, celui de la no 3 la no 6, et ainsi de suite. Chacun occupe une chambre de numéro double de celui de sa chambre précédente, de telle sorte que toutes les chambres de numéro impair deviennent libres. Et puisqu'il existe une infinité de nombres impairs, l'infinité de nouveaux clients pourra occuper les chambres correspondantes.

Source Wikipedia

['Bruno]

Puisqu'on a parlé de probabilités dans cette discussion, je pense utile d'expliquer ce qui suit.

 

Pour estimer des probabilités, on a deux méthodes :

- la théorie ;

- l'expérience.

 

Par exemple lorsqu'on jette un dé, on sait qu'il y aura 1 chance sur 6 d'obtenir un Six par un raisonnement théorique (si on suppose le dé non pipé, chaque face a autant de chances de tomber, donc 1 sur 6).

 

Mais souvent, on estime une probabilité par l'expérience. Par exemple si le dé est pipé, qu'il a une forme bizarre, que sa masse est répartie n'importe comment, etc. on ne peut pas savoir à l'avance quelle sera la probabilité d'obtenir un Six. Ce qu'on fait, c'est qu'on jette le dé un millier de fois (par exemple) et on note les résultats obtenus. Si on a obtenu 196 fois un Six, on dira que la probabilité d'obtenir un Six est d'environ 0,2.

 

La deuxième méthode consiste en fait à utiliser les statistiques pour estimer les probabilités. Conséquence : elle n'est possible que si on utilise de nombreuses données. Ainsi, il est complètement absurde de vouloir estimer la probabilité d'apparition d'une planète semblable à la Terre en se basant sur le fait que la Terre existe (ce n'est pas ce que Kelthuzad faisait, mais j'en parle quand même) car ça reviendrait à faire des statistiques avec un échantillon de 1 donnée. Ce genre de probabilité doit s'estimer par la théorie, c'est-à-dire en utilisant nos connaissances sur la formation des planètes, sur la chimie, etc.

 

Mais l'existence de la Terre ne prouve rien quant aux probabilités :

- on ne peut rien estimer, comme je viens de l'expliquer ;

- et on ne peut même pas dire que la probabilité est non nulle puisqu'un événement peut très bien être possible tout en ayant une probabilité nulle.

Modifié 29 décembre 2013 par 'Bruno

['Bruno]

Du coup ça m'a donné une idée pour expliquer pourquoi le possible peut avoir une probabilité nulle. Je le fais dans un nouveau message parce que ça va me permettre d'expliquer quelque chose de peut-être pas évident.

 

Supposons que la propriété suivante est vraie : un événement possible a toujours une probabilité non nulle. (En fait c'est faux.) Supposons que l'univers est infini.

 

Tout d'abord, il faut bien comprendre qu'un univers infini ne contient pas forcément tout ce qui est possible d'imaginer. C'est l'hypothèse de départ du roman L'univers en folie de Fredric Brown, mais elle est fausse, je vais l'expliquer à la fin.

 

Donc il est possible d'ajouter dans l'univers des trucs inédits. Mettons que j'ajoute dans l'univers un objet qui n'y était pas (c'est une expérience de pensée, donc je me prends pour dieu...). On va appeler ça un schmilblick. J'ajoute donc un schmilblick. Eh bien en vertu de la propriété ci-dessus, l'existence du schmilblick entraîne que sa probabilité est non nulle, donc puisque l'univers est infini, il y a désormais une infinité de schmilblicks dans l'univers. Pourtant, j'en ai introduit un seul, ils se sont donc multipliés tout seul... Bref, c'est absurde, la propriété était donc fausse. (Ce n'est pas une démonstration, juste une explication qui est peut-être plus simple à comprendre que l'exemple du tirage au sort de nombre.)

 

Reste à expliquer pourquoi l'hypothèse de Fredric Brown est fausse. Je vais revenir aux nombres entiers. Notons leur ensemble N. Il existe une infinité de nombres entiers. Maintenant, intéressons-nous aux ensembles de nombres entiers. Il en existe aussi une infinité, forcément. L'ensemble des ensembles de nombres entiers se note N^N. Eh bien l'infini de N^N est plus grand que l'infini de N, et même infiniment plus grand. Et c'est général : si E est un ensemble infini, alors E^E (l'ensemble des ensembles d'éléments de E) est d'un infini encore plus grand, et même infiniment plus grand ("infiniment" au sens de l'infini de N^N). Il existe donc une hiérarchie d'infinis et quel que soit l'infini considéré, il existera toujours un infini plus grand.

 

En particulier si on s'intéresse à l'ensemble U des objets de l'univers, alors l'ensemble U^U des combinaisons d'objets de l'univers est infiniment plus grand. À partir d'une infinité d'atomes, on peut construire une infinité plus grande d'objets. À partir d'une infinité de positions, on peut construire une infinité encore plus grande de répartitions de ces positions. On pourrait dire, en quelque sorte, que le potentiel est infiniment plus grand que le possible. Voilà pourquoi je sais qu''un univers infini ne contient pas tout ce qu'on peut imaginer.

 

(Finalement j'aurais pu expliquer ça plus simplement en disant que l'ensemble des nombres pairs est infini, et pourtant il ne contient aucun nombre impair. Mais je ne sais pas si ça aurait été convaincant vu que l'ensemble des nombres pairs reste un ensemble un peu particulier...)

Modifié 29 décembre 2013 par 'Bruno

[Kelthuzad]

Je comprends un peu mieux ce que tu penses Bruno. Seulement ceci me gène :

 

Mettons que j'ajoute dans l'univers un objet qui n'y était pas

 

Tu n'as pas le droit, c'est comme dire "admettons une particule se déplaçant plus vite que c", tu obtiendras forcément une conclusion fausse. Dans mon raisonnement une conséquence est qu'il n'existe pas de structure unique.

 

Tout d'abord, il faut bien comprendre qu'un univers infini ne contient pas forcément tout ce qui est possible d'imaginer.

 

Ça oui, je parle seulement de tout ce qu'on observe.

['Bruno]

Alors je remplace « mettons que j'ajoute dans l'univers un objet qui n'y était pas » par « mettons qu'apparaisse dans l'univers un truc qui n'y était pas » (par exemple une toute nouvelle forme de vie). Du coup, instantanément, ce truc apparaîtra dans l'univers en une infinité d'exemplaires.

[Dr Eric Simon]

Discuter de l'infini, c'est sans fin ...

 

Moi, j'ai remarqué une chose, j'ai l'impression que notre cerveau a beaucoup plus de facilité à se représenter l'infini temporel que l'infini spatial.

Non ?

[pascal_meheut]

Discuter de l'infini, c'est sans fin ...

 

Moi, j'ai remarqué une chose, j'ai l'impression que notre cerveau a beaucoup plus de facilité à se représenter l'infini temporel que l'infini spatial.

Non ?

 

Oui, les différentes cultures ont d'ailleurs intropduit beaucoup plus l'existence de l'éternité que celle d'un espace infini.