Blueshift gravitationnel

[Tupac.Shakur]

Bonjour, je suis en première et j'ai un petit calcul qui me pose problème pour mon TPE.

J'ai reçu de la part d'un chercheur une feuille qui expliquait les effets relativiste que le GPS prenait en compte pour pas se tromper.

 

Jusqu'ici tout va bien, mais à un moment, je tombe sur une formule qui traite du blueshift: Delta f/f= Delta Phi/c². Sur ma feuille, il y a écrit "Cette correction fait que les horloges au sol sont environ 5.5*10^-10 fois plus lente, soit une avance de 45 Microsseconde/jour

 

Un autre chercheur m'a donné une formule similaire: Delta f/f=GMH/R² c², en effectuant ce calcul, j'ai trouvé un truc différent ce qui est normal: 9.1*10^-11.

 

Voila, je voudrais savoir comment de ça 9.1*10^-11 on passe a une durée comme pour le cas de la feuille où de 5.5*10^-10 on passe a 45

microseconde par jour. Je voudrais savoir comment on a fait si possible merci, j’espère que vous m'aurez compris car moi même en me relisant ça me parait pas très explicite

 

Et, est-ce que Delta f/f=GMH/R² c² est la même chose que Delta f/f= Delta Phi/c²

 

ps: quand j'écrit phi, c'est la lettre grecque

Modifié 21 janvier 2014 par Tupac.Shakur

[Fitz]

ton c² il est sous la barre du f/f=GMH/R² c²? Si oui les deux équations peuvent être équivalentes en posant Delta Phi=GMH/R²

[Tupac.Shakur]

Oui, le c² est avec le R² sous la barre donc Delta f/f=GMH/R² c² est égal Delta f/f= Delta Phi/c²

Merci beaucoup pour la réponse car là je suis bloqué

[Tupac.Shakur]

Donc, vous savez comment passer de 9.1*10^-11 à une durée ?

[bb98]

en multipliant par le nombre de nano secondes dans une journée

 

On a là une erreur "relative"

 

Bons calculs

[Tupac.Shakur]

Je vais essayer, je vais voir si ça marche^^ Merci beaucoup

[Tupac.Shakur]

apparemment c'est pas ça, (5*10^-10)*86400^9= 190 000

Modifié 21 janvier 2014 par Tupac.Shakur

[Tupac.Shakur]

Si il y a quelqu'un qui s'y connait beaucoup en RG, ce serait bien d'avoir son mail pour que je puisse lui poser quelques questions

[brice974]

Hmmm viens me réveiller et pas trop suivi le fil mais à mon avis :

86400^9 est faux

c'est plutôt 86400x10^9

[Tupac.Shakur]

Hmmm viens me réveiller et pas trop suivi le fil mais à mon avis :

86400^9 est faux

c'est plutôt 86400x10^9

Oui, j'ai rectifié hier mais je suis toujours bloqué, si un chercheur passe par la, cela m'aiderait beaucoup

[jarnicoton]

Dites donc, c'est coton d'être en première de nos jours.

[mono]

"Cette correction fait que les horloges au sol sont environ 5.5*10^-10 fois plus lente, soit une avance de 45 Microsseconde/jour

1jour=86400000000 microsec ( 24h*60min*60sec*1000 *1000 )

Ecart = 5.5*10^-10

 

l'avance = 86400000000* 5.5*10^-10 = 47,52 microsec

 

 

Voila, je voudrais savoir comment de ça 9.1*10^-11 on passe a une durée comme pour le cas de la feuille où de 5.5*10^-10 on passe a 45

microseconde par jour.

9.1*10^-11 * 86400000000 = 7,8624

[Tupac.Shakur]

Merci , je précise que 9.1*10^-11, je l'ai trouvé avec Delta f/f=GMH/R² c² où G est la constante de gravitation, M la masse de la terre et H l'altitude du satellite soit 20 200km environ pour les NAVSTAR. Voila donc je voudrais savoir si avec Delta f/f= Delta Phi/c² j'aurais trouver la même chose. Sur mon document, ils disent que Delta phi et la variation du potentiel gravitationnel(me demander pas c'est quoi )

, en tout cas merci car je suis totalement novice sur les calculs en RG

Modifié 22 janvier 2014 par Tupac.Shakur

[jarnicoton]

Je croyais les satellites GPS en orbite géostationnaire, afin qu'en cas de panne on puisse continuer à s'en servir, en y allumant des loupiottes, pour déterminer sa position avec un sextant.

[Tupac.Shakur]

ça je sais pas^^

[Tupac.Shakur]

Pourriez vous me dire pourquoi il faut multiplié le résultat que l'on trouve par une durée ( par exemple, le nombre de microseconde dans une journée) et quel est l’unité du résultat trouvé

par exemple, c'est 5.5*10^-10 quoi ?

[jarnicoton]

C'est 5,5.10^-10 de temps en moins ! C'est un pourcentage, si tu préfères ! Relis le message 12.

[Tupac.Shakur]

Aussi, pourquoi je trouve un résultat aussi différent: Sur internet, les mecs trouvent 5.5*10^-10 ce qui correspond a environ 45Microseconde. Moi, pour un gps à 20 200km ce qui correspond a environ a 26500km (du centre de la terre a l'espace), je trouve environ avec cette formule Deltaf/f=GMH/(r²c²) 2.89*10^-9 donc si je suit la logique, je multiplie par le nombre de microseconde dans une journée ce qui donne : 249.696 microseconde de décalage par jour et ensuite avec d=v*t, 249.696*10^-6 * 3.8*10^8= 74 900. Je trouve que c'est assez bizarre étant donner que eux trouvent 11km/jour et 74km/jour d'erreur. Je suis dans une impasse :/

[Tupac.Shakur]

Je vois toujours pas pourquoi il faut multiplié par le nombre de microseconde dans une journée ( je suis soulant XD )

[Tupac.Shakur]

Aussi, pourquoi je trouve un résultat aussi différent: Sur internet, les mecs trouvent 5.5*10^-10 ce qui correspond a environ 45Microseconde. Moi, pour un gps à 20 200km ce qui correspond a environ a 26500km (du centre de la terre a l'espace), je trouve environ avec cette formule Deltaf/f=GMH/(r²c²) 2.89*10^-9 donc si je suit la logique, je multiplie par le nombre de microseconde dans une journée ce qui donne : 249.696 microseconde de décalage par jour et ensuite avec d=v*t, 249.696*10^-6 * 3.8*10^8= 74 900. Je trouve que c'est assez bizarre étant donner que eux trouvent 11km/jour et 74km/jour d'erreur. Je suis dans une impasse :/

[bongibong]

Et si tu utilisais plutôt :

GM/rc²

 

parce que la formule que tu utilises est valable seulement au voisinage de la terre (c'est en fait un développement limité à l'ordre 1 du facteur de Schwarzschild) : racine (1-2GM/rc²)

 

Si tu compares le temps qui s'écoule pour un point à la surface de la terre, et un point à une altitude h donnée cela correspond à faire le rapport suivant :

racine(1-2GM/rc²)/racine(1-2GM/(r+h)c²) ~= 1 + GM/(r+h)c² - GM/rc²

 

Dans l'hypothèse où h est très petit devant le rayon de la terre :

1 + GM/(r+h)c² - GM/rc² ~= 1-GMh/r²c²

Ce qui veut dire que l'horloge au sol retarde par rapport à l'horloge à une altitude h plus élevée.

 

Ici ton problème est le fait que h = 22 600 km, n'est absolument pas négligeable par rapport à R=6370 km.

 

Donc tu ne peux pas utiliser la deuxième formule.

Tu dois garder celle-ci :

1 + GM/(r+h)c² - GM/rc² = 1 + GM/c² * ( 1/(r+h) - 1/r )

Donc l'écart que tu dois trouver est :

Delta t / t = GM/c² * ( 1/(r+h) - 1/r )

[Fred_76]

Merci , je précise que 9.1*10^-11, je l'ai trouvé avec Delta f/f=GMH/R² c² où G est la constante de gravitation, M la masse de la terre et H l'altitude du satellite soit 20 200km environ pour les NAVSTAR. Voila donc je voudrais savoir si avec Delta f/f= Delta Phi/c² j'aurais trouver la même chose. Sur mon document, ils disent que Delta phi et la variation du potentiel gravitationnel(me demander pas c'est quoi )

, en tout cas merci car je suis totalement novice sur les calculs en RG

 

Il semble cette formule ne soit pas complète. La formule serait plutot :

 

Delta f/f = GMH/[R²c² x (1 + H/R)] --- edit --- grillé par bongibong !!!

 

Voir section IV.3 dans ce document.

 

Ici en page 177, une expression plus complète encore.

 

La variation du potentiel gravitationnel vient du fait que la Terre n'est pas une sphère parfaite, mais un patatoide ce qui induit des fluctuations de son champs gravitationnel.

Modifié 24 janvier 2014 par Fred_76

[bongibong]

En fait tout part de la métrique de Schwarzschild, qui dérive des équations d'Einstein dans le vide à symétrie sphérique :

 

ds² = (1-R_S/r)c²dt² - dr²/(1-R_S/r) -r²(dtheta² + sin² theta dphi²)

où R_S = 2GM/c².

 

ds représente ce que l'on appelle en relativité le temps propre (à un facteur c près), c'est-à-dire l'écoulement du temps pour une ligne d'univers donnée (pas besoin d'entrer dans les détails, le cas que l'on va traiter est particulièrement simple).

 

Pour un corps au repos, dr=dtheta=dphi=0.

 

Donc le temps propre dtau s'écrit :

dtau² = ds²/c² = (1-R_S/r)dt²

 

Avant de pouvoir se raccrocher à mon premier poste, il faut interpréter les grandeurs (surtout t). t est ici une coordonnée. En l'infini r=infini, on voit que le facteur 1-R_S/r = 1. Donc :

dtau = dt

Donc le temps coordonnée t c'est le temps qui s'écoule à l'infini. Lorsque r est fini, on voit que 1-R_S/r < 1 ceci veut dire que le temps s'écoule plus lentement qu'à l'infini. Donc en présence de champ gravitationnel, le temps s'écoule plus lentement, d'autant plus lentement que le potentiel de gravitation est petit.

 

Donc quand tu compares l'écoulement du temps à une altitude r et une altitude r+h, il faut comparer des rapports de temps propre :

dtau® / dtau(r+h) = racine(1-2GM/rc²)/racine(1-2GM/(r+h)c²)

 

Et donc tu peux raccrocher les wagons avec mon précédent poste

 

Et pour le développement limité à l'ordre 1, tu as dû étudier en 1ère ce que l'on appelle les dérivées.

Donc pour une fonction f, continue, on peut définir une fonction f' qui est la dérivée de f. Le développement limité de f autour d'une valeur x0 s'écrit :

f(x) = f(x0) + f'(x0)*(x-x0) + f''(x0)*(x-x0)²/2 + ...

Quand x est très très proche de x0, les termes en (x-x0)^n deviennent vraiment négligeables, et donc on peut dire qu'au voisinage de x0 :

f(x) ~= f(x0) + f'(x0)*(x-x0)

 

Peut-être dans ton cours de maths ou de physique tu as vu :

sin x ~= x pour x << 1

 

Donc dans l'exemple :

racine(1+epsilon) ~= 1 + epsilon/2

1 / racine(1+epsilon) ~= 1 - epsilon/2

pour epsilon << 1

Modifié 25 janvier 2014 par bongibong
Développement limité

[Tupac.Shakur]

Honnêtement, je comprend quedal, autant me parler russe donc bongibong, j'ai compris que j'utilisais la mauvaise formule car l'altitude du satellite n'était pas négligeable par rapport au rayon de la terre. Je dois donc utiliser cette formule: Delta t / t = GM/c² * ( 1/(r+h) - 1/r ) ? Après, la métrique de Schwarzschild, j'y capte rien xD. J'ai besoin de ces calculs juste pour montrer qu'il y a des effets de RG et qu'avec une formule on peut les calculer. Pa besoin de démontrer la formule mais la comprendre, ce serait bien. Donc si j'ai bien compris, je dois utiliser cette formule Delta t / t = GM/c² * ( 1/(r+h) - 1/r ), multiplier le résultat trouvé par le nombre de microseconde dans une journée puis convertir avec D= v*t. En tout cas merci beaucoup pour vos réponses j'imagine que ça doit être compliqué d'expliquer a un élève de premiere des truc comme ça^^

[Tupac.Shakur]

avec r rayon de la terre et h hauteur du satellite depuis le centre de la terre?

[pascal_meheut]

Normal, parler de développements limités et équations différentielles à un élève de 1ère est l'équivalent de lui parler russe avec l'accent chinois tout en machant ses mots

[Tupac.Shakur]

donc avec cette formule Delta t / t = GM/c² * ( 1/(r+h) - 1/r ) je trouve donc

 

Delta t/t= [(6.67*10^-11) * (5.97*10^24)/300 000 000²] *(1/26500 - 1/6370) = -5.276*10^-7

Je multiplie ce que je trouve par le nombre de microseconde dans une journée pour trouvée de combien les horloge vont se décaler chaque jour donc:

 

-5.276*10^-7 * 86400*10^6 = -45 584

 

Maintenant, d=|v*t|

 

donc d=13675200000000m ou 13675200000km ce qui est évidemment faux. J'ai fait une erreur c'est sur mais je vois pas ou

[Tupac.Shakur]

Là je suis perdu xD, la personne qui me débloque je lui file un nobel

[jarnicoton]

Normal, parler de développements limités et équations différentielles à un élève de 1ère est l'équivalent de lui parler russe avec l'accent chinois tout en machant ses mots

 

Je crois que c'est confondre "parler entre ses dents" et "parler sans mâcher ses mots".

[jarnicoton]

Là je suis perdu xD, la personne qui me débloque je lui file un nobel

 

Tu t'es gouré d'un facteur 1 million.

Ca rend fou, hein, ce truc ?