Acrobaties "mathématiques" dans les trous noirs

[jarnicoton]

Le docteur Eric Simon a fait dernièrement faire connaissance à plusieurs d'entre nous, dont moi-même, avec l'hypothèse du trou noir dans lequel la singularité choquante pour le bon sens est remplacée par une étoile de Planck.

 

Une étoile de Planck est une étoile effondrée en une masse de taille infime, mais non nulle, de densité de Planck.

 

Pour mémoire (voir l'intéressant article de Wikipédia "les grandeurs de Planck") la densité de Planck est celle d'une masse de Planck entassée dans une sphère de rayon égal à la distance de Planck. Cette densité vaut 5,1.10^96 kg/m3. Excusez du peu.

 

La gravitation tout près de l'étoile de Planck est vertigineuse, très supérieure à celle qui suffit à empêcher la lumière de s'échapper ; cela veut dire qu'à bonne distance de l'étoile de Planck, là où sa gravité a assez diminué pour ne plus être qu'à peine celle qui empêche la lumière de s'échapper, on n'est ni plus ni moins que sur l'horizon, au rayon de Schwarzschild du trou noir au fond duquel se tapit l'étoile de Planck.

 

Mais l'étoile de Planck ne serait pas stable. Aussitôt formée par l'effondrement de l'étoile réelle, elle verrait sa matière rebondir en se dispersant. Du coup le trou noir disparaît dès que la matière en rebond franchit de bas en haut l'horizon. Or entre le moment où la matière stellaire en effondrement pour former le trou noir passe l'horizon et atteint le centre du trou noir, trajet effectué tout près de la vitesse de la lumière, il ne se passe qu'une infime fraction de seconde pour une masse de par exemple 10 masses solaires. Le rebond prend le même temps.

 

Ainsi le trou noir ne devrait vivre qu'un temps infime, ce qui est évidemment incompatible avec des objets qu'on observe durablement pour leur conférer le statut de trou noir probable.

 

Pour rétablir cette compatibilité, on avance la dilatation relativiste du temps dans les champs gravitationnels puissants. Puisque la gravitation est vertigineuse aux abords de l'étoile de Planck, loin dans les profondeurs du trou noir, le temps vu de loin y est vertigineusement ralenti. Dès lors, la matière qui dans son temps propre ne séjourne dans son rebond qu'un temps infime dans le trou noir, semble pour un observateur extérieur y passer un temps astronomique.

 

Est-ce plausible ? Faisons un "calcul naïf". En physique un "calcul naïf" consiste à traiter par exemple les phénomènes quantiques ou relativistes comme s'ils étaient newtoniens, et à voir ce que ça donne. Souvent, on n'est pas loin de la vérité, et on s'est épargné des années d'études de toute façon inaccessibles.

 

Considérons une étoile de 10 masses solaires, ou 2.10^31 kg, qui s'effondre en étoile de Planck. Quel sera son rayon ? Nous avons vu plus haut la valeur de la densité de Planck ; un calcul que je ne détaille pas aboutit à un rayon de 1,5.10^-22 mètre.

 

Avec la formule newtonienne habituelle, calculons la vitesse de libération à la surface d'un tel astre. On trouve 1,78.10^43 m/s. C'est celle qu'il va falloir à sa matière pour rebondir.

 

Vous allez dire que ça ne va pas, parce que c'est supérieur à la vitesse de la lumière. Oui, mais c'est un "calcul naïf" et on fait comme si on ne voyait rien.

 

Quelle est l'énergie cinétique d'un kg de matière à cette vitesse ? 1/2 mv², et sans mollir on trouve 1,58.10^86 joules/kg.

 

Le rapport (énergie cinétique/énergie de masse) vaut 1,58.10^86 / 9.10^16 = 1,76.10^69.

 

Or ce rapport est tout justement le même qu'entre temps pour un observateur au repos et temps propre du corps en mouvement.

 

Ainsi, la milliseconde (ordre de grandeur) que met dans son temps propre la matière de l'étoile en effondrement pour entrer et ressortir du trou noir est-elle multipliée, pour un observateur extérieur, par 1,76.10^69, ce qui en fait une durée quasi-éternelle.

 

En réalité, 1,76.10^69 n'est pas le facteur réel. Le facteur réel est plus faible, parce 1,76.10^69 ne vaut qu'au ras de l'étoile de Planck tandis qu'il est beaucoup moindre quand la matière en rebond se rapproche de l'horizon. Cependant, notre calcul naïf a quand même suggéré la plausibilité de l'hypothèse initiale.

 

A présent je passe le relais à celui qui saura déterminer si ce temps énorme de rebond a quelque chose à voir avec la durée d'évaporation quantique d'un trou noir.

[Poussin38]

La durée d'évaporation d'un TN de Schwarzschild de quelques Mo est d'environ 10^75s dans le calcul "naïf" présenté par wiki donc un milliard de fois plus long que le calcul du rebond ci dessus.

[jarnicoton]

Beaucoup plus qu'un milliard ! Voir mon avant-dernier paragraphe.

Il ne suffit donc pas de diviser 10^75 par 10^69 x 10^-3.

Modifié 21 février 2014 par jarnicoton

[pascal_meheut]

Réfléchir sur des chiffres trouvés en faisant du calcul newtonien sur des phénomènes massivement relativistes et alors qu'on "fait comme si on ne voyait pas qu'on dépasse la vitesse de la lumière" me semble un peu hasardeux...

 

Dire que l'énergie cinétique est 1/2 mv² dans ce contexte aussi...

[jarnicoton]

Si, 1/2 mv² reste dans le référentiel du mobile correct à toute vitesse.

Ensuite, la conversion en "masse supplémentaire" de l'énergie cinétique acquise, donne l'apparition d'un rapport m / m0 vu d'un observateur au repos ; et le résultat du calcul est le bon du point de vue relativiste.

C'est normal puisque 1/2 mv² newtonien peut être regardé comme relativiste ; il n'est qu'une formule simplifiée quand la vitesse tend vers zéro.

[pascal_meheut]

Mon objection était plus générale :

 

Réfléchir sur des chiffres trouvés en faisant du calcul newtonien sur des phénomènes massivement relativistes et alors qu'on "fait comme si on ne voyait pas qu'on dépasse la vitesse de la lumière" me semble un peu hasardeux...

 

Et j'ai un peu de mal à comprendre tes explications :

 

Si, 1/2 mv² reste dans le référentiel du mobile correct à toute vitesse.

 

Si on est dans le référentiel du mobile, v = 0 normalement et oui la formule est valide mais on n'y trouve pas ton chiffre.

 

Ensuite, la conversion en "masse supplémentaire" de l'énergie cinétique acquise, donne l'apparition d'un rapport m / m0 vu d'un observateur au repos ; et le résultat du calcul est le bon du point de vue relativiste.

 

J'ai autant de mal à comprendre et je ne vois pas par quel miracle on trouve un chiffre correct en utilisant une formule newtonienne quelque soit l'argumentaire développé.

 

C'est normal puisque 1/2 mv² newtonien peut être regardé comme relativiste ; il n'est qu'une formule simplifiée quand la vitesse tend vers zéro.

 

Ben oui mais c'est vrai pour pratiquement toutes les formules sinon la physique newtonienne ne marcherait pas. Dans le cas présent, on n'a pas la vitesse négligeable par rapport à celle de la lumière.

[jarnicoton]

Je répondrai plus tard ; là, je suis fatigué.

[Poussin38]

Beaucoup plus qu'un milliard ! Voir mon avant-dernier paragraphe.

Il ne suffit donc pas de diviser 10^75 par 10^69 x 10^-3.

si, ça suffit pour dire qu'il n'y a pas de rapport et de fermer le ban (oupss)...

[jarnicoton]

Mais si : prendre en compte l'avant-dernier paragraphe te donne encore plus raison !!!

Et puis, si ça écarte encore plus un possible lien entre le mécanisme de l'étoile de Planck et l'évaporation déjà connue, précisons pour ne pas égarer un lecteur distrait, que ça ne change rien à tout le texte sauf la dernière ligne, indépendante du reste.

[Poussin38]

Ben les remarques de Pascal restent justes : les approximations grossières newtoniennes ne sont absolument pas adaptées pour faire de la physique avec les mains, même avec une métrique discrète, le proto TN reste un objet physique relativiste.

D'ailleurs l'article de Rovelli qui présente l'étoile de Planck ne cesse d'utiliser les notions de métriques de la RG pour les étudier (normal, sa gravitation quantique a boucles est une RG généralisée).

[julon2000]

En physique un "calcul naïf" consiste à traiter par exemple les phénomènes quantiques ou relativistes comme s'ils étaient newtoniens, et à voir ce que ça donne. Souvent, on n'est pas loin de la vérité, et on s'est épargné des années d'études de toute façon inaccessibles.

 

Quand tu as un pépin de santé, tu vas chez quelqu'un qui s'est "épargné des années d'études de toute façon inaccessibles"? Et si par «inaccessibles» tu entends trop difficiles, je ne comprend pas l'objectif de ce post portant précisément sur un sujet particulièrement difficile de la physique...

[jarnicoton]

Dis donc, je m'amuse comme je veux ?

[moonmaniac]

mais oui hein, m'fi...

[Dr Eric Simon]

Dis donc, je m'amuse comme je veux ?

 

C'était donc ça ! Moi aussi je me demandais quel était le but de ce fil...

[Poussin38]

Je souligne juste l'intérêt d'une des références de l'article de Rovelli http://arxiv.org/abs/gr-qc/0506126 qui explique un peu d'où sort le terme de correction de la métrique un peu spéciale qu'il utilise pour obtenir une gravitation répulsive à courte (quantique) échelle.

Si j'ai bien compris, ça ressemble un peu au raisonnement utilisé pour les métriques de Kerr où des termes supplémentaires aux métriques usuelles (i.e. schwarshild) émergent de propriétés particulières de l'espace temps (ici l'énergie du vide comme facteur d'incompressibilité de la matière). Si quelqu'un pouvait sortir les articles de Sakharov ou Markov cités ça permettrait d'aller un peu loin (je vais zieuter de mon côté).

[julon2000]

C'était donc ça ! Moi aussi je me demandais quel était le but de ce fil...

 

C'était donc une embuscade? J'ai connu des trolls moins velus et plus paresseux!

[Poussin38]

Ben pour une fois qu'il poste en dehors dOfup je ne lui jetterai pas un pavé ukrainien au visage...

 

Qui sait comment s'appellent les métriques présentées par Rovelli ?

[Dr Eric Simon]

C'était donc une embuscade? J'ai connu des trolls moins velus et plus paresseux!

 

Disons que vouloir vérifier des résultats de gravité quantique en utilisant la mécanique newtonienne, je ne suis pas sûr que le terme naïf soit adéquat malheureusement c'est en tout cas un amusement étrange...

Modifié 22 février 2014 par Dr Eric Simon

[jarnicoton]

Si mon calcul naïf vous a plu, vous allez pouvoir bientôt en lire un autre.

S'il ne vous a pas plu, il vous suffira de ne pas lire l'autre.

[Bison]

Une question "naïve" à mon tour, tes calculs, pourquoi ne les publies-tu pas plutôt sur ton blog au lieu de polluer la planète entière?

[kiwi74]

Dis donc, je m'amuse comme je veux ?

 

C'était donc ça ! Moi aussi je me demandais quel était le but de ce fil...

 

Bah voui, c'est juste pour qu'il puisse dire que de temps en temps il quitte OFUP

 

Jarni : t'es davantage "crédible" dans OFUP que dans les autres rubriques du forum

[syncopatte]

Qui sait comment s'appellent les métriques présentées par Rovelli ?

 

Des alexandrins?

 

Patte.

[jarnicoton]

Une question "naïve" à mon tour, tes calculs, pourquoi ne les publies-tu pas plutôt sur ton blog au lieu de polluer la planète entière?

 

Plaisanterie :

Parce que mon blog est sérieux.

 

Sérieusement :

Les calculs naïfs sont parfaitement sérieux. Seulement, pour le comprendre il faut avoir le don d'imagination.

Modifié 23 février 2014 par jarnicoton

[Bison]

Je ne doute pas que tu aies de l'imagination...c'est même ce qui chez toi remplace la rigueur quelle qu'elle soit (de la science à l'humour) et va de pair avec la pédanterie

[kiwi74]

Plaisanterie :

Parce que mon blog est sérieux.

 

Sérieusement :

Les calculs naïfs sont parfaitement sérieux. Seulement, pour le comprendre il faut avoir le don d'imagination.

 

Chez toi ce don semble inné

[prospectix]

Bonsoir les filles,

 

Eh ben ... ça envoie du lourd ce soir !!!

 

Amicalement,

[Invité]

C'est quoi ce "jarnibashing"? Il publie un petit exercice mathématique, certes simple,mais sans prétention, et "on" lui tombe dessus.....comprend pas....

[Ygogo]

(...) comprend pas....

 

c'est pourtant simple : son grand plaisir étant de déclencher des discussions vaseuses, nous lui donnons ce qu'il cherche, et nous en remettons une couche à chaque fois

['Bruno]

Je suis d'accord avec Dynt. On dirait presque un règlement de compte.

[Ygogo]

(...) Il publie un petit exercice mathématique, certes simple,mais sans prétention,(...).

 

Sans prétention ? ça reste à démontrer, puisque :

 

(...)Sérieusement :

Les calculs naïfs sont parfaitement sérieux. Seulement, pour le comprendre il faut avoir le don d'imagination.

 

il me semble surtout comprendre que

- si je n'ai pas perçu le sérieux de la chose,

- si je trouve que l'application des formules newtoniennes à des vitesses proches de c est douteuse,

c'est que je suis plutôt borné et pas doué... et je remercie Maître Jarnicoton de cette salutaire leçon d'humilité

 

Je suis d'accord avec Dynt. On dirait presque un règlement de compte.

 

Eh bien je fais mes plus plates excuses pour avoir osé mettre en doute la bonne foi proverbiale de Maître Jarnicoton, et