une question de geometrie

[Astro_Romain]

Bonjour à tous.

 

Aujourd'hui sortez vos livres de géométrie

J'ai eu un raisonnement hier soir. Vous me direz s'il est fondé.

 

Les prof de math disent 'Un point n'a pas de taille' (du moins les miens)

Or un segment a une taille et c'est un ensemble de points.

Toutefois n x 0 = 0

 

Donc les point n'auraient pas plutôt une taille de 1,616 x 10^(-35) soit la taille de Planck ?

Vous repondrez à cette question d'un point de vue mathématique puis physique. Vous avez deux heures (moi, un futur prof ?)

Merci de vos réponses à tous.

[sonata31]

Je dirais plutôt qu'un segment est constitué d'une infinité de points, alors l'infinix0 = ?

[Sobiesky]

Je dirais plutôt qu'un segment est constitué d'une infinité de points, alors l'infinix0 = ?

 

Le point est il de taille zero ou de taille infiniment petite ? ici, on peut enchainer sur la taille de Planck si on veut

[sonata31]

Un point est un objet mathématique, à priori les grandeurs physiques n'ont pas à y être mêlées

[popov]

Or un segment a une taille et c'est un ensemble de points.

Toutefois n x 0 = 0

La longueur d'un segment, c'est la distance entre ses deux extrémités. Ce ne sont pas des petits points qui se suivent à la queue leu-leu et qui forment un train de points, vu que justement ces points, eux, n'ont pas de taille. C'est d'ailleurs pour ça qu'on peut coller une infinité de point sur un segment, il y restera toujours de la place

 

Donc les point n'auraient pas plutôt une taille de 1,616 x 10^(-35) soit la taille de Planck ?

Le point mathématique est un concept, c'est pas la peine de vouloir lui trouver une taille dans la réalité. S'il devait avoir une taille aussi petite soit elle, le point ne répondrai plus à sa propre définition.

[pascal_meheut]

Je confirme ce qui a été dit : on parle de maths, pas de physique et il ne faut pas mélanger, surtout dans ce sens là.

 

Et ta multiplication n x 0 = 0 ne marche pas pour les infinis.

[Astro_Romain]

Daccord.

 

Pascal_meheut et sonata31 : si l'on consoit que n/0 = l'infini,

0 x l'infini = 1

 

De plus :

-l'infini = +l'infini

(Ça peut se démonter avec de la géométrie projective.)

[Astrofloflo]

n/0 = infini, c'est très dur à concevoir, étant donné qu'en mathématique il est totalement proscrit de diviser par 0 !

 

Et 0 X infini = 0 également.

 

Mais tu as un peu raison car si on divise n'importe qu'elle nombre différent de 0 par un nombre proche de 0 mais lui aussi différent de 0 : on se rapproche de l'infini.

 

En gros la suite a/n est divergente vers l'infini quand n->0. avec a un réel non nul.

 

Et je suis d'accord, un point mathématique n'a pas de taille, c'est conceptuel.

Il a une taille sur la feuille de papier, due à l'encre de ton stylo .

 

Et plus général les tailles en mathématique dépendent de l'espace topologique dans lequel on travail. La taille d'un segment est par définition finie. Un segment est une distance (ça doit se démontrer facilement en partant des définitions).

 

Mais il n'est pas question en mathématiques d'un nombre de pixels ou de points pour le remplir, cela dépend plutôt du domaine de la définition de l'image à mon sens.

Modifié 23 juillet 2014 par Astrofloflo

[pascal_meheut]

En fait, c'est plus compliqué que cela parce que tu n'as pas un seul infini, etc.

 

Il faut définir le concept nettement plus rigoureusement pour pouvoir le manipuler mathématiquement.

[Astrofloflo]

Mes souvenirs de sup et spé ne sont plus très frais mais il me semble bien qu'il n'y ait qu'un seul infini, ou bien je me trompe ?

 

L'infini est une quantité pour moi. On peut l'imager par le fait d'avoir une quantité toujours plus grande.

 

A l'image des suites divergentes vers +inf dans R :

 

(Un) suite divergente dans R vers +inf :

 

Pour tout epsilone dans R, il existe T appartenant à N (entiers naturels) tel que pour tout a appartenant à N on a : a>T => Ua>epsilone

 

Après, il y a des espaces mathématiques finis et d'autres infinis.

 

Mais comme je le dis tout ça n'est plus très frais dans mon esprit, je peux largement me tromper.

Modifié 23 juillet 2014 par Astrofloflo

['Bruno]

Astrofloflo : il y a plusieurs infinis.

 

Quand on dit qu'un segment est composé d'une infinité de points, il s'agit de l'infini des réels (*), pas de l'infini des entiers : on ne peut pas numéroter les points en question (quelle que soit la numérotation choisie, on trouvera au moins un point (en fait une infinité) qui n'est pas numéroté.

 

------

(*) Normalement. On pourrait essayer de faire de la géométrie avec des nombres rationnels seulement, les segments auraient toujours une infinité de points, mais numérotables cette fois. Par contre la plupart des distances n'existeraient plus, ce qui n'est pas très pratique (du fait que les distances se définissent par une racine carrée et que la racine carrée d'un rationnel n'est pas, en générale, rationnelle).

Modifié 23 juillet 2014 par 'Bruno

[stefg1971]

Effectivement le point est un concept mathématique (donc purement théorique)

Là tu parles de physique et de mesure et je rajoute simplement la longueur de Planck est la plus petite longueur mesurable. Pour un mathématicien, ça ne lui pose pas de problème de définir des longueurs aussi petites qu'il veut.

 

Les frères Bogdanoff sortez de mon corps !

[Leimury]

Les prof de math disent 'Un point n'a pas de taille' (du moins les miens)

Or un segment a une taille et c'est un ensemble de points.

Toutefois n x 0 = 0

 

Donc les point n'auraient pas plutôt une taille de 1,616 x 10^(-35) soit la taille de Planck ?

 

Si ton point a une taille ça signifie que le segment est un ensemble fini.

Hors, un segment est un ensemble infini.

 

Combien de réels entre 0 et 1,616 x 10^(-35) ?

Une infinité: les maths c'est pas de la physique

[Astrofloflo]

Combien de réels entre 0 et 1,616 x 10^(-35) ?

Une infinité: les maths c'est pas de la physique

 

Haha, bien vu .

 

@Bruno : merci, je vais me renseigner car j'aimerais en savoir un peu plus .

[Astro_Romain]

Merci de vos participations , même si je n'ai pas tout compris surtout dans le post 10

[Astrowan Kenobi]

ces posts de questions d'astro_romain sont très intéressants, parce que l'air de rien ce sont des questions qu'on se pose tous à un moment donné.

 

bravo pour les réponses !

[Astrofloflo]

Merci de vos participations , même si je n'ai pas tout compris surtout dans le post 10

 

Oui désolé, je ne sais pas trop quel niveau d'étude tu es ou tu as fais, mais on voit ça après le bac .

[jgricourt]

En math il y a même des infinis plus grand (cardinalité) que d'autre et cela se démontre (ex l'ensemble des réels est plus grand que celui des rationnels). De même qu'il y a des infinis dénombrables et d'autres non (voir la définition de Cantor)

['Bruno]

En fait il y a une hiérarchie infinie d'infinis. Cette hiérarchie infinie, elle est de quel infini ? Il me semble que l'hypothèse comme quoi il n'y a pas d'infinis entre l'infini des nombres entiers et l'infini des nombres réels doit être un postulat qu'on peut admettre ou non, au même titre que le postulat d'Euclide en géométrie. Si on l'admet, la hiérarchie des infinis est un infini dénombrable, sinon c'est un infini du type réel je suppose (non ?).

 

Toutes ces remarques n'ont pour but que d'embrou.... heu... de donner le vertige au lecteur intéressé. Et aussi de mieux comprendre pourquoi Cantor, qui a découvert tout ça, est devenu fou...

Modifié 23 juillet 2014 par 'Bruno

[Astrofloflo]

Effectivement ça doit rendre fou à force .

 

C'est vrai que tout marche mieux dans les espaces finis, notamment les théorèmes qui simplifient les choses.

[pascal_meheut]

C'est vrai que tout marche mieux dans les espaces finis, notamment les théorèmes qui simplifient les choses.

 

En fait, c'est plutôt l'inverse.

[Astro_Romain]

Oui désolé, je ne sais pas trop quel niveau d'étude tu es ou tu as fais, mais on voit ça après le bac .

 

Je passe en 1ère S.

 

En fait il y a une hiérarchie infinie d'infinis. Cette hiérarchie infinie' date=' elle est de quel infini ? Il me semble que l'hypothèse comme quoi il n'y a pas d'infinis entre l'infini des nombres entiers et l'infini des nombres réels doit être un postulat qu'on peut admettre ou non, au même titre que le postulat d'Euclide en géométrie. Si on l'admet, la hiérarchie des infinis est un infini dénombrable, sinon c'est un infini du type réel je suppose (non ?).

 

Toutes ces remarques n'ont pour but que d'embrou.... heu... de donner le vertige au lecteur intéressé. Et aussi de mieux comprendre pourquoi Cantor, qui a découvert tout ça, est devenu fou... [/quote']

 

:cry:

'faut s'accrocher !

Sinon je suis d'accord avec toi.

P.S. : pour ça :

Si on l'admet' date=' la hiérarchie des infinis est un infini dénombrable, sinon c'est un infini du type réel je suppose (non ?).[/quote']

Et ça évidement

Toutes ces remarques n'ont pour but que d'embrou.... heu... de donner le vertige au lecteur intéressé. Et aussi de mieux comprendre pourquoi Cantor' date=' qui a découvert tout ça, est devenu fou... [/quote']

[Leimury]

n/0 = infini, c'est très dur à concevoir, étant donné qu'en mathématique il est totalement proscrit de diviser par 0 !

 

Oui mais ce qui n'est pas trop dur à concevoir c'est que quand on divise par 0,1 on multiplie par 10

0,01: 100

0,001: 1000

Par analogie on en arrive à l'infini mais ça n'est qu'une vue de l'esprit.

Je ne crois pas qu'on parle égalité, pas plus que de 0 tout court.

 

Zéro tout court me choque, je préférerais un n/0+ ou n/0-

Et c'est là que tu bascules joyeusement d'un infini négatif à un infini positif sans aucune transition autour du point zéro !

 

Si par une vue de l'esprit on relie les deux infinis du 0+ et 0- et qu'on fait une moyenne on devrait tomber sur 0 non ?

Pour rigoler on pourrait faire du zéro un ensemble des définitions du zéro dans tous les ensembles, une sorte de point d'ancrage, une auberge espagnole inter-ensembles.

 

Allez, autant éviter de marcher dedans

 

Je n'arrive pas à concevoir le cas du zéro tout court, c'est tabou, il y'a une asymptote pour sauvegarder ma santé mentale et je ne dois pas être le seul.

C'est une façon élégante de dire qu'on ne sait pas, qu'on ne veut pas savoir et que jusqu'ici on vit très bien sans ça

 

Dans pas mal de cas d'asservissement mécanique la machine doit faire face au fait que ça tende vers l'infini mais sans tenter d'y aller !

Par exemple en méca un outil a une vitesse de coupe linéaire suivant le matériau.

Quand tu utilises un tour à commande numérique pour dresser une face il adapte la vitesse de rotation au fur et à mesure qu'il approche du centre.

Si le bazard n'était pas limité il exploserait en essayant de produire une vitesse de rotation théorique.

[Lolo]

Les prof de math disent 'Un point n'a pas de taille' (du moins les miens)

Or un segment a une taille et c'est un ensemble de points.

Toutefois n x 0 = 0

Attention : quand tes professeurs disent certaines choses, ils le font dans un cadre précis. Ils disent pour tout n appartenant à R ou un truc du genre. Cela dit, on peut aussi définir des « nombres infinis » (tu peux regarder « nombres ordinaux » et « nombres cardinaux » sur Wikipedia) et la multiplication sur ceux-ci, mais cela demande beaucoup de rigueur. À titre indicatif, n x 0 = 0 aussi dans ce cadre-là.

 

Par contre, on ne divise jamais par 0. En effet, la division est avant toute chose l'inverse de la multiplication : quand on divise A par B, c'est dans l'idée d'obtenir la quantité qui multipliée par B donnerait A. Mais que se passe-t-il quand B vaut 0. Soit A est non nul et cela n'a pas de solution. Soit A est nul et n'importe quoi est solution. On ne définit donc pas la division par 0 car cela ne rimerait à rien et ne serait pas cohérent avec le reste.

 

Donc les point n'auraient pas plutôt une taille de 1,616 x 10^(-35) soit la taille de Planck ?

La notion mathématique de point ne prétend pas représenter le monde physique. Dans le monde physique, il existe peut-être une taille minimale (en fait, personne n'en sait rien... et personne ne sait d'ailleurs ce qu'est réellement la notion de taille dans le monde physique... on se fait juste des idées, et on élabore des modèles à partir d'hypothèses).

 

Vous repondrez à cette question d'un point de vue mathématique puis physique.

En mathématique, on construit les choses : on donne des définitions, on s'assure que les définition sont licites (qu'elles ont un sens) et on regarde leurs propriétés. Mais le fait de définir un objet ne signifie pas qu'il existe dans la réalité et qu'on peut tout dire de celui-ci. Bien souvent, il faut définir une autre notion pour pouvoir qualifier cette objet par rapport à celle-ci. En particulier, la mesure d'un point (le mot « mesure » est préférable au mot « taille» ) n'est pas une notion automatique en ayant défini ce qu'est un point, mais elle demande d'être elle-même définie grâce à la notion de mesure d'un ensemble (dans un cadre bien particulier).

 

Prends bien conscience qu'il y a une différence entre compter les éléments d'un ensemble et mesurer sa taille. D'ailleurs, une mesure est sigma-additive, c'est-à-dire que si on considère un nombre dénombrable d'ensembles mesurables deux à deux disjoints dont l'union est aussi mesurable, alors la mesure de cette union vaut la somme dénombrable des mesures de ces ensembles (lien externe : « http://fr.wikipedia.org/wiki/Sigma_additivit%C3%A9 »). Le mot « dénombrable » est essentiel dans cette définition. Or, ton segment contient un nombre non dénombrable de points : on ne peut pas les mesurer un par eux et prétendre calculer la mesure du tout à partir de la somme de celle des parties. Derrière cette définition se cache une idée de limite (une somme dénombrable peut-être vue comme la limite d'une suite de sommes partielles finies, tout comme une union dénombrable peut être vue comme la limite d'une union finie d'ensembles). Quand on quitte, le cadre dénombrable, on ne peut plus voir les choses aussi simplement, tout se complique et cela ne marche plus aussi bien. On se contente donc de la sigma-additivité dans la définition d'une limite.

 

Avec le caractère sigma-additif de la mesure, on peut déjà faire beaucoup de chose. Par exemple, calculer la mesure de l'ensemble des nombres entiers ou encore celle des nombres rationnels : ils sont de mesure nulle car ils sont une union dénombrable de points. Mais un simple segment, bien que limité dans l'espace, n'est pas une union dénombrable de points. On définit la mesure d'un segment comme étant la distance entre ses extrémités. C'est tout à fait licite et n'entre pas en contradiction avec la notion de sigma-additivité. Ce n'est pas une preuve, mais voici un exemple qui l'illustre : je considère le segment [0,1[ et je le partitionne en l'union dénombrable d'ensembles disjoints [0,1/2[, [1/2,3/4[, [3/4,7/8[, [7/8,15/16[,... La mesure de l'union vaut 1 et la somme des mesures des parties vaut 1/2+1/4+1/8+1/16+... (qui vaut aussi 1, heureusement).

 

Il me semble que l'hypothèse comme quoi il n'y a pas d'infinis entre l'infini des nombres entiers et l'infini des nombres réels doit être un postulat qu'on peut admettre ou non.

Je confirme : cela s'appelle l'hypothèse du continu. On ne peut ni la démontrer (à partir des axiomes classiques)' date=' ni démontrer sa négation. Du coup, on peut tout aussi bien l'admettre qu'admettre sa négation. C'est la même chose que pour l'axiome du choix.

 

Si on l'admet, la hiérarchie des infinis est un infini dénombrable

Sauf erreur de ma part, cette hiérarchie est non dénombrable (indépendamment de l'hypothèse du continu). Mais à mon avis, ce n'est pas de cela que tu voulais parler.

Modifié 25 juillet 2014 par Lolo

[Astro_Romain]

Merci de vos réponses très complètes.

[Leimury]

Les prof de math disent 'Un point n'a pas de taille' (du moins les miens)

Or un segment a une taille et c'est un ensemble de points.

Toutefois n x 0 = 0

 

Bonjour,

 

Tu demanderas au même prof de maths combien il y'a de points dans un segment.

Il te répondra une infinité.

 

Et oui, rien n'interdit d'avoir un infini contenu dans quelque chose de fini.

Oui mais infini x 0 serait donc égal à kekchose ? Non, c'est plutôt le concept de point qu'il faudrait revoir.

 

Ta mesure de taille montre qu'en fait le point n'existe pas en soi.

Là ça rejoint la physique quantique: le point existe parce qu'on l'observe, il n'a pas d'existence propre.

Si tu préfères ça n'est pas quelque chose mais c'est un enregistrement de mesures à un certain endroit.

 

En astro on a Le Point Vernal: impossible à matérialiser, une pure vue de l'esprit.

Ce serait un gus à un certain endroit une certaine date qui voit toutes les étoiles et mesure à quelle heure elles arrivent au zénith.

Le point vernal est comme un lien internet qui permet d'accéder à une idée.

 

En maths quand on veut mesurer à partir de tout petits éléments on utilise la notation d que tu as peut être déjà vue en calcul d'intégrale

dx, dy.

Là oui c'est un tout petit kekchose qui a une taille.

 

Bon ciel

[pascal_meheut]

Soit je n'ai rien compris soit c'est totalement faux...

[Fred_76]

Ce qui est intéressant, c'est que la fonction :

 

F(x) = 1/x

 

permet de concentrer de façon bijective les nombres réels de ]-inf ; -1] et [+1 ; +inf[ dans le segment [-1 ; +1].

 

Bref l'infini tient dans un segment !

[Astrofloflo]

Ce qui est intéressant, c'est que la fonction :

 

F(x) = 1/x

 

permet de concentrer de façon bijective les nombres réels de ]-inf ; -1] et [+1 ; +inf[ dans le segment [-1 ; +1].

 

Bref l'infini tient dans un segment !

 

Elle n'est pas bijective si tu prends ces ensembles, en gros si tu la définis comme ça :

 

F : ]-inf ; -1] U [+1 ; +inf[ -> [-1,1]

X->1/X

 

En effet {0} n'a pas d'antécédent dans ton ensemble d'arrivé. Par contre celle-ci est bien bijective :

 

F1 : ]-inf,-1] U [+1,+inf[ -> [-1,0[ U ]0,1]

: X->1/X

 

En gros, même ensemble d'arrivé mais privée de 0.

Modifié 25 juillet 2014 par Astrofloflo

[Leimury]

 

0! It's on the line ! 1/0=Ace !

Modifié 25 juillet 2014 par Leimury