une question de geometrie

[Astro_Romain]

Alors je n'ai pas tout compris mais Astrofloflo et Fred_76, pourquoi vous ne prenez pas l'intervalle ]-1,0[ U ]0,+1[ ?

Et Leimury, ça ne serait pas plutôt 'on' (sur) que 'one' (un) ?

[Astrofloflo]

J'ai repris l'intervalle de Fred_76. Tu parles de l'intervalle de départ (les antécedents) ou d'arrivée (les images) ?

 

On peut très bien prendre ]-1,0[ U ]0,+1[.

 

Mais si je prend la fonction TRUC :

 

TRUC : ]-inf,-1] U [+1,+inf[ -> ]-1,0[ U ]0,1[

: X -> 1/X

 

Elle est parfaitement définie, mais non bijective pour le coup.

 

Sinon la seul fonction divisé par X qui est définie par continuité sur {0} reste la fameuse Sin(x) / x.

 

 

Là on atteint le 0 .

 

Grosso modo, ça provient du fait que Sin (x) ----> 0 pour x---->0 (Sin(x) tend vers 0 pour x tend vers 0). Et qu'elle se comporte comme la fonction X->X dans une "échelle microscopique" vers la région de 0.

Ainsi on terme mathématique, on dit que Sinus est équivalente à X->X en 0 quand x tend vers 0 soit Sin(x) ~ x pour x -----> 0.

 

Voilou, j'espère que je vous ai pas trop embrouillé .

Modifié 25 juillet 2014 par Astrofloflo

[Leimury]

Alors je n'ai pas tout compris mais Astrofloflo et Fred_76, pourquoi vous ne prenez pas l'intervalle ]-1,0[ U ]0,+1[ ?

Et Leimury, ça ne serait pas plutôt 'on' (sur) que 'one' (un) ?

 

Your riyte, aiyme spiking indy inglish

 

It's phiyxed

Modifié 25 juillet 2014 par Leimury

[Astro_Romain]

Là on atteint le 0 .

 

Pas vraiment, non ?

Et tu dis qu'elle se comporte de manière microscopique comme f:x ==> x

Mais cela n'est valable que dans les négatifs, dans les positifs, ce serait plus f1:x ==> -x ,non ?

Modifié 25 juillet 2014 par Astro_Romain

[Astro_Romain]

Your riyte, aiyme spiking indy inglish

 

It's phiyxed

 

Tu sais, je suis un peu dans ton cas

[Astrofloflo]

Pas vraiment, non ?

Et tu dis qu'elle se comporte de manière microscopique comme f:x ==> x

Mais cela n'est valable que dans les négatifs, dans les positifs, ce serait plus f1:x ==> -x ,non ?

 

Non pas vraiment, seulement définie par continuité. Mais c'est très puissant car cela la rend intégrable (mesurable) sur [0,1] par exemple.

 

C'est une bonne question.

En fait se comporte comme f : x -> x quand x est dans la région de 0. C'est bien la fonction f : x -> x et non f1 : x-> -x.

 

En effet, exemple concret : sin(0.000001) = 0.000001 et sin(-0.000001)=-0.000001.

 

Et f(0.000001)=0.000001 ; f(-0.000001) = -0.000001.

 

On parle donc bien de la fonction x->x

 

Sinon on aurait f1(0.000001)=-0.000001 ; f1(-0.000001) = 0.000001. Elle ne se comporte pas comme sinus mais -sinus d'ailleurs -sin(x) ~ -x quand on x---->0.

 

Cela vient du fait (le tout quand x---->0) que sin(x) ~ x donc sin(-x) ~ -x et donc -sin(x) ~ -x car sinus est impaire ie sin(-x) = - sin(x).

Modifié 25 juillet 2014 par Astrofloflo

[Gontran]

Daccord.

 

Pascal_meheut et sonata31 : si l'on consoit que n/0 = l'infini,

0 x l'infini = 1

(Ça peut se démonter avec de la géométrie projective.)

 

:o:o:o

 

Je passe en 1ère S.

 

Tu verras bientôt que 0 x infin (quand on parle de limites) est une forme indéterminée.

[Astro_Romain]

Gontran tu as mal cité,

De plus :

-l'infini = +l'infini

(Ça peut se démonter avec de la géométrie projective.)

Et ça change tout, je ne prétend pas démontrer que 0 x l'infini = 1.

['Bruno]

Merci Lolo pour les précisions (en bas de la page précédente...) !

 

Quand je disais que la hiérarchie des infinis avait l'air d'être un infini dénombrable, c'est parce que je pensais à leur notation : aleph 0 (l'infini dénombrable), aleph 1 (les réels), aleph 2 (le suivant) et ainsi de suite. Vu qu'il y a une numérotation, ça suggère qu'il y en a une infinité dénombrable (à condition qu'il n'y ait rien entre 0 et 1, et justement je me plaçais dans cette hypothèse). Mais en fait je ne connais pas cette théorie...

 

----

Concernant une fonction bijective qui transforme l'ensemble des réels en un simple intervalle, pensez à la fonction arc tangente, bien connue de tous ceux qui font des calculs astronomiques !

[Gontran]

Gontran tu as mal cité,

Pas tout à fait. J'ai recopié ce qui est marqué mais j'ai rajouté une ligne sans le vouloir. Donc je recite:

Pascal_meheut et sonata31 : si l'on consoit que n/0 = l'infini,

0 x l'infini = 1

Cette conclusion n'est pas correcte. Ou alors il manque quelque chose car effectivement certaines fonction, produit de deux autres fonctions dont la limite est 0 et infini ont une limite de 1.

Modifié 26 juillet 2014 par Gontran

[Lolo]

Petit bug, désolé.

Modifié 27 juillet 2014 par Lolo

[Lolo]

F(x) = 1/x

permet de concentrer de façon bijective les nombres réels de ]-inf ; -1] et [+1 ; +inf[ dans le segment [-1 ; +1].

Tu peux faire encore plus joli avec la fonction x→arctg(x) qui est une bijection entre ]-infini;+infini[ et ]-π/2;π/2[.

 

Sinon la seul fonction divisé par X qui est définie par continuité sur {0} reste la fameuse Sin(x) / x.

Attention ! La fonction f(x)=sin(x)/x n'est absolument pas définie en 0. Par contre, il existe une autre fonction qui lui est égale sur ]-∞;0[∪]0;+∞[ et qui est en plus définie et continue en 0. On dit que f admet un prolongement continu en 0, mais il faut être conscient que ce prolongement continu n'est pas la fonction f en elle-même, quitte à néanmoins tolérer un raccourcis d'écriture en le désignant quand même par f.

 

Par ailleurs, ce n'est pas la seule fonction à avoir cette propriété. Il en existe une infinité d'autres.

 

Quand je disais que la hiérarchie des infinis avait l'air d'être un infini dénombrable' date=' c'est parce que je pensais à leur notation : aleph 0 (l'infini dénombrable), aleph 1 (les réels), aleph 2 (le suivant) et ainsi de suite. Vu qu'il y a une numérotation, ça suggère qu'il y en a une infinité dénombrable (à condition qu'il n'y ait rien entre 0 et 1, et justement je me plaçais dans cette hypothèse). Mais en fait je ne connais pas cette théorie..[/quote']

Oui, c'est vrai qu'il y a une telle suite d'infinis : aleph (n+1) correspondant à l'ensemble des parties de aleph n, quel que soit l'entier naturel n. Mais je crois que cette suite ne se limite pas à des indices finis. À mon avis, l'union de tous les aleph n pour n entier naturel donne aleph aleph et on doit sûrement pouvoir faire une récurrence transfinie pour continuer de la sorte avec n'importe quel ordinal comme indice. Du coup, on ne peut même plus parler de l'ensemble de tous les infinis ; c'est sûrement une classe propre (trop vaste pour être considérée comme un ensemble).

Modifié 27 juillet 2014 par Lolo

[Fred_76]

Daccord.

 

Pascal_meheut et sonata31 : si l'on consoit que n/0 = l'infini,

0 x l'infini = 1

 

De plus :

-l'infini = +l'infini

(Ça peut se démonter avec de la géométrie projective.)

 

Inf. X 0 est égal à tout ce qu'on veut.

 

Démonstration :

 

a est un nbre quelconque (entier, réel, complexe...)

x est un réel

 

On défini les deux fonctions F et G telles que :

 

F(x)=a.x, qui tend vers un infini quand x tend vers l'infini

G(x)=1/x, tend vers 0 quand x tend vers l'infini

 

F(x).G(x) tend donc vers infini x 0 quand x tend vers l'infini et aussi est égal à a.x/x = a.

 

Donc infini x 0 = a, a étant quelconque (entier, réel, complexe...).

[Lolo]

Inf. X 0 est égal à tout ce qu'on veut.

 

Démonstration :

 

a est un nbre quelconque (entier, réel, complexe...)

x est un réel

 

On défini les deux fonctions F et G telles que :

 

F(x)=a.x, qui tend vers un infini quand x tend vers l'infini

G(x)=1/x, tend vers 0 quand x tend vers l'infini

 

F(x).G(x) tend donc vers infini x 0 quand x tend vers l'infini et aussi est égal à a.x/x = a.

 

Donc infini x 0 = a, a étant quelconque (entier, réel, complexe...).

Tu as juste démontré que si une fonction tend vers l'infini et si une autre tend vers 0, alors leur produit pouvait tendre vers n'importe quel nombre selon le choix des fonctions de départ. Mais tu n'as nullement démontré que « l'infini x 0 = a ». En fait, la façon la plus naturelle d'étendre la multiplication aux nombres ordinaux infinis conduits à « l'infini x 0 = 0 », mais l'« infini » n'est pas un nombre réel.

[pascal_meheut]

+1. C'est amusant de voir dans ce fil un mélange de maths rigoureuses et d'autres totalement non maitrisées...

['Bruno]

Oui, c'est vrai qu'il y a une telle suite d'infinis : aleph (n+1) correspondant à l'ensemble des parties de aleph n, quel que soit l'entier naturel n. Mais je crois que cette suite ne se limite pas à des indices finis. À mon avis, l'union de tous les aleph n pour n entier naturel donne aleph aleph et on doit sûrement pouvoir faire une récurrence transfinie pour continuer de la sorte avec n'importe quel ordinal comme indice. Du coup, on ne peut même plus parler de l'ensemble de tous les infinis ; c'est sûrement une classe propre (trop vaste pour être considérée comme un ensemble).

OK, je n'avais pas pensé à un aleph aleph et, du coup, à tout ce qui pouvait suivre...

[Astrofloflo]

Attention ! La fonction f(x)=sin(x)/x n'est absolument pas définie en 0. Par contre, il existe une autre fonction qui lui est égale sur ]-∞;0[∪]0;+∞[ et qui est en plus définie et continue en 0. On dit que f admet un prolongement continu en 0, mais il faut être conscient que ce prolongement continu n'est pas la fonction f en elle-même, quitte à néanmoins tolérer un raccourcis d'écriture en le désignant quand même par f.

 

Par ailleurs, ce n'est pas la seule fonction à avoir cette propriété. Il en existe une infinité d'autres.

 

Oui, tu fais bien de me rectifier, j'ai utilisé quelques abus de language. J'aurais du dire prolongement par continuité. Merci de m'avoir rectifié les choses dans ma tête .

 

En effet, elle est donc définie sur ]-inf,0[ U ]0,+inf[.

 

Il y a toujours ce grand classique en exercice avec la l'intégrale de sin(x)/x de 0 à 1.

Et là effectivement on utilise la propriété de prolongement par continuité en la démontrant avec des équivalents (par exemple).

 

tu peux faire encore plus joli avec la fonction x→arctg(x) qui est une bijection entre ]-infini;+infini[ et ]-π/2;π/2[.

 

Nice

[Zod]

Pour donner d'autres pistes:

 

-Il existe plusieurs sortes "d'infinis", qu'on appelle "nombre transfinis", en particulier en peut montrer que l'ensemble des nombres réels et plus grand que celui des entiers naturels, je crois qu'on dit qu'un ensemble a la puissance du continu si il existe au moins un de ses sous-ensemble qui ne soit pas lui même qui ait un cardinal égal à lui même. On peut démontrer que l'ensemble des réels a la puissance du continu (entre 0 et 1, y'a autant de nombre que dans R), tandis que l'ensemble des entiers naturels n'a pas de sous-ensemble associé qui ait le même cardinal que N, on peut ainsi comparer des infinis entre eux, et ce qui caractérise une droite, -la droite des réels accessoirement-, c'est la puissance du continu contenue dans l'ensemble des réels.

 

-Il existe cependant d'autres nombres appelés "nombres hyperréels" qui sont définis rigoureusement dans le modèle non-standard de l'analyse comme pouvant être considéré comme des infinitésimaux, on s'affranchit ici du calcul des limites pour ne plus considérés ces objets là:

x est hyperréel si x est différent de 0 et si pour tout y, x est inférieur à y, je crois.

[pascal_meheut]

je crois qu'on dit qu'un ensemble a la puissance du continu si il existe au moins un de ses sous-ensemble qui ne soit pas lui même qui ait un cardinal égal à lui même.

 

Pas vraiment : parce que Q a la même cardinal que N qu'il contient, N a le même cardinal que n'importe lequel de ses sous-ensembles infinis, les nombres pairs par ex, ou les nombres premiers bien que ceux ci soient de densité nulle...

[Lolo]

je crois qu'on dit qu'un ensemble a la puissance du continu si il existe au moins un de ses sous-ensemble qui ne soit pas lui même qui ait un cardinal égal à lui même.

Par définition, on dit qu'un ensemble a la puissance du continu s'il existe une bijection entre lui et l'ensemble des nombres réels.

 

 

l'ensemble des entiers naturels n'a pas de sous-ensemble associé qui ait le même cardinal que N

Si : il suffit de retirer un seul élément à l'ensemble des nombres naturels, ou encore de considérer l'ensemble des nombres pairs.

 

Mais effectivement, l'ensemble des nombres naturels n'a pas la puissance du continu.

 

Il existe cependant d'autres nombres appelés "nombres hyperréels" qui sont définis rigoureusement dans le modèle non-standard de l'analyse comme pouvant être considéré comme des infinitésimaux, on s'affranchit ici du calcul des limites pour ne plus considérés ces objets là

 

On a besoin de l'axiome du choix pour les définir car leur construction repose sur l'existence d'un ultrafiltre libre. De plus, leur structure dépend alors de l'ultrafiltre choisi, sauf si on accepte l'hypothèse du continu.

[Eric89]

Une lecture de ce post + une tentative de comprendre ce qui se dit = une infinité de cachets d'Aspirine

Cdt.

Eric

[Lolo]

N'hésite pas à poser des questions si tu désires de plus amples explications sur l'une ou l'autre partie.

[stefg1971]

Je reconnais que je je n'avais pas lu la suite du fil....

La question de départ était intéressante mais c'est bien parti en sucette après, sur la première page j'ai fait une référence aux frères Bogdanoff et pour cause : ils ont (avaient) le chic de rendre des choses parfois simples très compliquées en interview. c'est pareil sur ce fil.

 

pourtant ce qui se conçoit bien, s'énonce .......

[Lolo]

La question de départ était intéressante mais c'est bien parti en sucette après

Je dirais plutôt que la conversation a évolué et qu'elle a été assez bien maîtrisée techniquement lorsqu'elle a failli dérailler dans le flou.

 

pourtant ce qui se conçoit bien, s'énonce .......

Mais justement, le fil est plutôt clair : avec Pascal_Meheut et Bruno, on est au moins trois à maîtriser son contenu (peut-être même d'autres personnes aussi, mais je n'ai pas retenu leur nom de tête). Donc on n'est pas du tout dans le domaine du flou mal énoncé. Et donc, n'hésite pas à poser des questions supplémentaires si tu ne comprends pas certaines choses.

[pascal_meheut]

Pour une fois, je suis tout à fait d'accord avec Lolo et j'ai un peu de mal à comprendre l'intérêt de se pointer à postériori pour faire la promo du seul message posté alors qu'il ne disait rien qui n'ait pas été expliqué avant.

 

Méthode coué sans doute...

[pascal_meheut]

Pour une fois, je suis tout à fait d'accord avec Lolo et j'ai un peu de mal à comprendre l'intérêt de se pointer à postériori pour faire la promo du seul message posté alors qu'il ne disait rien qui n'ait pas été expliqué avant.

 

Méthode coué sans doute...

[Ahenima]

Pour une fois, je suis tout à fait d'accord avec Lolo et j'ai un peu de mal à comprendre l'intérêt de se pointer à postériori pour faire la promo du seul message posté alors qu'il ne disait rien qui n'ait pas été expliqué avant.

 

Méthode coué sans doute...

 

Exactement.

[Ahenima]

Pour une fois, je suis tout à fait d'accord avec Lolo et j'ai un peu de mal à comprendre l'intérêt de se pointer à postériori pour faire la promo du seul message posté alors qu'il ne disait rien qui n'ait pas été expliqué avant.

 

Méthode coué sans doute...

 

Exactement.