Orbite de la Lune autour..... du Soleil!

[Lolo]

Je vous propose une question colle. :? Le premier qui trouve la bonne réponse avec un raisonnement suffisant pour la justifier gagne le petit défi.

 

Vous savez tous que la Terre tourne autour du Soleil et que la Lune tourne autour de la Terre. Ces orbites ne sont pas dans un même plan. Supposons cependant qu'elle le soit. On peut alors consider que la Lune tourne autour du Soleil selon une trajectoire plane. La question est la suivante: la trajectoire de la Lune autour du soleil est-elle convexe ou pas? :roll:

 

NB: Une orbite convexe est une orbite telle que si on trace un segment entre deux points quelquonques de l'orbites, alors le segment est entièrement à l'intérieur de l'orbite.

 

N'hésiter pas à donner votre avis, même si vous n'avez pas d'argument.

Je donnerai la solution samedi soir, sauf si quelqu'un donne une réponse complète avant. :wink:

[Gaétan]

Je suppose les orbites circulaires. Il ne faut réfléchir qu'en un seul point, là où il y a éclipse de Soleil. Il y en a une à chaque révolution de la Lune par hypothèse. Si la trajectoire est convexe en ce point, elle le sera pour tout les point de l'orbite.

Il faut faire une composition de rotation. Pour que l'orbite soit convexe, il faut que le centre instentané de rotation soit à l'intérieur de l'orbite. Pour celà, il faut que la vitesse d'entrainement de la Lune du au mouvement de la Terre autour du Soleil (on suppose la Lune fixe par rapport à la Terre)soit supérieur à la vittesse de la Lune autour de la Terre (on suppose la Terre fixe).

Voilà, y a plus qu'à remplacer par les nombres.

Pour la vitesse de rotation de la Lune, il faut prendre la vitesse de rotation sidérale, c-à-d entre deux paphases.

Il faut,

vitesse révolution de la Lune autour de la Terre X distance Terre-Lune < vitesse révolution de la Terre autour du Soleil X distance Terre-Soleil.

 

Je crois que c'est bon, mais je connais pas les valeurs. ;-)

J'ai peut-être été un peu vite.

[_Lune_]

J'adore ce mec il a reponse a tout!

 

Mais je comprend pas souvent quelque chose a ce qu'il dit....... lol

[Gaétan]

J'aurais bien voulu faire un dessin pour être plus clair, mais chaipô comment on fait. Et chuis même pas sûr que ce soit correct. Et j'ai pas mis les valeurs

[Lolo]

Tu as bien cerné le problème: il suffit de regarder ce qui se passe losque la Lune est entre le Soleil et la Terre, c'est-à-dire lors des éclipses solaires. :idea:

 

D'accord aussi pour la composition de rotations et le fait qu'il suffit de montrer que le centre instentanné de rotation doit être à l'intérieure de l'orbite. :idea:

 

Ensuite, j'ai un peu du mal à te suivre avec la vitesse d'entraînement...: Pourquoi cela suffit-il?

Et comment passes-tu d'une comparaison de vitesses à une comparaison de produits (vitesse X distance)?

 

Je t'ai peut-être mal compris...

[Gaétan]

J'ai pas écirt vitesse X distance = vitesse, mais vitesse de rotation X distance = vitesse. La vitesse de rotation, dont je parle, est une vitesse angulaire, des radians par seconde. Il faut donc la multiplier par une distance pour obtenir une vitesse. Par exemple, x rad/s fois le rayon R = xR/s.

Pour bien faire, il faudrait écrire des équations, mais c'est pas beau sur un forum. :-(

Comme j'ai pas fais de dessin et que j'ai pas écirt de formules, j'ai pas tenu compte des signes. Il suffit de prendre les valeurs absolues et c'est bon.

 

Pour le centre instantanné, soit C ce centre définit par,

(finalement je vais quand même mettre des formules )

 

a X TC + b X SC = 0,

 

où a, b, TC, SC sont des vecteurs.

a est la vitesse angulaire autour de la Terre,

b est la vitesse angulaire autour du Soleil,

T est la position de la Terre,

S est la position du Soleil,

C est la position du centre instantanné de rotation,

et X est le produit vectoriel.

 

ou encore, a X TC = - b X SC.

 

On veut que la Lune L soit comprise entre T et C. Il faut noter que T, L, et S sont fixe vu qu'on regarde uniquement le mouvement instantané. C'est très petit, même infinitésimal.

 

=> a X TC = a X ( TL + LC ) > a X TL

vu que TL et LC ont même sens et sont positif.

de même,

 

=> - b X SC = - b X ( SL + LC ) = - b X SL - b X LC = - b X SL + b X CL

=> - b X SC < - b X SL.

vu que SL et Cl ont même sens et sont négatif.

 

Finalement,

a X TL < a X TC = - b X SC < - b X SL

 

=> a X TL < -b X SL.

Ce qui est une condition nécessaire. En faisant le même raisonnement pour L entre C et S, on peut montrer par l'absurde que c'est également une condition suffisante.

cqfd, mon intuition était bonne.

 

Pour se persuader de la correction des signes, il faudrait faire un dessin. ;-)

[Lolo]

Ok, si tu parlais de vitesse angulaire, alors d'accord (je ne connaissais pas l'autre terme que tu as employé pour parler de vitesse angulaire :wink: ).

 

J'ai regardé ta démonstration avec les produits vectoriels. L'écriture est un peu bizarre car tu compares des vecteurs au moyen d'une inégalité... :shock: , mais bon, si on rajoute les modules là où il faut, cela ne pose plus de problème. Donc, d'accord pour le fait que la condition est nécessaire. :wink:

 

Ensuite tu fais un raisonnement par l'absurde pour démontré la suffisance de la condition: si on suppose que L n'est pas entre T et C, alors L est entre C et S (vu que L est entre S et T), et on peut abtenir le contraire de l'inégalité obtenue avant, par un raisonnement analogue que celui que tu as fait pour montrer que la condition est nécessaire ( l n'était pas nécessaire de montrer que la condion est nécessaire, tu aurais pu faire le raisonnement analogue pour la suffisance à la place :wink: ), ce qui devrait être impossible puisque cette égalité est ici notre hypothèse. Donc, ok, on a notre contradiction. :idea:

 

La seule chose je ne comprends pas, c'est comment tu sais que le centre de rotation instantané est le point C défini par a X TC + B X SC = 0. C'est théorique?

[Gaétan]

Désolé pour les normes, ça n'a même pas fait tilte dans ma tête. Déjà, y a pas les barres des vecteur, ça n'a pas manqué de me perturber. ;-)

 

Pour le centre de rotation instantané, oui, c'est théorique, mais ce doit être assez simple à montrer. Je crois que si c'est pas nulle, ça doit tourner autour de quelque chose et donc c'est pas le centre, ou une astuce du genre. :?

[astro-fr.net]

Bon bah on va vous laisser dans vos espace vectoriels les mecs Amusez-vous bien !

[Lolo]

On a: a X TC + b X SC = 0

<=> |a|TC+|b|SC=0 (*)

<=> |a|(C-T)+|b|(C-S)=0

<=> C=(|a|T+|b|S)/(|a|+|b|), si a et b ne sont pas simultanément nuls.

 

(*) en tenant compte que les vecteurs TC et SC sont de sens contraires et que les angles entre a et TC et entre b et SC sont droits.

 

Donc, |TC|=(|b|)/(|a|+|b|) ua et |SC|=(|a|)/(|a|+|b|) ua.

 

Je ne sais pas si cela peut aider...

Je vais réfléchir à la suite, et poser la question sur un forum de math. :wink:

[Cyp]

C'est clair, Laurent, comme de l'eau de roche

 

Mais y sont pô méchant, c'est des extraterrestre venus de Troy qui communiquent entre-eux, normal qu'il parle pas le même langage que nous

 

En tout cas, bon cramage de neurone les gars, on vous laisse à votre discussion (forte) intéressante :wink: sans vous déranger plus longtemps :roll:

 

Expldr

 

Cyp

[Lolo]

Gaétan, bravo, ton truc truc doit être juste (il faut encore que je comprenne le a X TC + b X SC=0 ) . :wink:

 

 

J'avais pensé à une autre solution que voici.

On regarde la résultante des forces qui s'appliquent sur la Lune lors d'une éclipse: il y a celle due au Soleil et celle due à la Terre. On peut se ramener à comparer les accélarations centripèdes respectives (en assimilant l'orbite lunaire autour du soleil à celle de la terre, ce qui est un petit arrondi).

Or, a=w²r=v²/r=(2r Pi/t)^2/r=4r(Pi)²/t^2 où

r=150 000 000 de km pour le Soleil et 380 000 km pour la Terre et où t=365,25 jours pour le Soleil et 27,2 jours pour la Terre.

On constate que le Soleil attire un peu plus de deux fois plus la Lune que la Terre n'attire la Lune.

Donc, le centre instantanné de rotation de la Lune lors d'une éclipse va vers le Soleil. CQFD.

[Gaétan]

Barf, j'ai pas capté ton astuce.

Si le Soleil attire plus la Lune que la Terre ne l'attire, je comprend pas pourquoi la Lune garde son orbite autour de la Terre.

 

Non, c'est ok. C'est équivalent en fait, mais je pense que c'est plus simple comme j'ai fait. ;-)

[Lolo]

La Lune garde son orbite autour de la Terre parce que le Soleil attire aussi la Terre...

 

Je crois que les deux méthodes sont plus ou moins simples ou plus ou moins difficiles selon les notions théoriques qu'on a ou qu'on a pas au début. :wink:

[Gaétan]

J'avais capter pour l'orbite de la Lune. Ce n'est finalement qu'une orbite terrestre perturbée. J'ai compris en écrivant mon post.

 

Nos raisonnements sont pareils. J'ai comparé deux vitesses et toi, les effets centrifuges de ces vitesse. ;-)