S'amuser avec la physique

[Lolo]

Non parce que la simultanéité n'est pas la même dans R et dans S. Donc à l'instant où un des vaisseaux est immobile dans S, l'autre ne l'est pas.

Ils faut donc qu'ils coupent leur moteur à des moments différents et on sort des termes du paradoxe.

 

Pour moi, le synchronisme initial des horloges des vaisseaux passe de R à S à cause de l'accélération.

 

Le hic pour moi, c'est que je ne peux pas utiliser cette propriété avant de l'avoir prouvée, et que cela fait donc un trou dans ma preuve.

 

Je crois qu'en fait cela sort du cadre de la Relativité restreinte et je me demande si cela n'est pas indécidable dans cette théorie. On peut évidemment définir et utiliser des concepts sortant de son cadre (et je crois que c'est ce que j'ai fait), mais il faudrait voir si cela correspond à la réalité, par exemple en se plaçant dans le cadre de la Relativité Générale. Les concepts que j'ai utilisé me paraissent expliquer le paradoxe des jumeaux sans avoir à passer à la Relativité Général.

Modifié 18 janvier 2015 par Lolo

[carib75]

En effet, j'ai tapé l'énoncé un peu trop vite...

Je vais l'éditer de ce pas.

 

En attendant je déclare unilatéralement que ma réponse était bonne, que le problème ait un intérêt ou pas.

[Emmebee]

13 pages pour une énogme ... Z'êtes sérieux les gars

[Fred_76]

13 pages pour une énogme ... Z'êtes sérieux les gars

 

Oui mais c'est une énirme énogme !

[carib75]

Oui mais c'est une énirme énogme !

 

[pascal_meheut]

13 pages pour une énogme ... Z'êtes sérieux les gars

 

On n'est plus au collège non plus

[Lolo]

Ensuite, on peut se mettre dans le référentiel des vaisseaux à l'instant t et montrer que la distance augmente dans ce référentiel et donc que la corde casse.

 

Mais si elle casse dans un référentiel, elle doit casser dans tous. Donc j'ai eu envie de trouver pourquoi elle cassait dans le référentiel de la Terre d'où le raisonnement ci-dessus.

Je suis d'accord avec ceci.

 

Non, c'est plus simple : dans le référentiel terrestre, on calcule la position à un instant t des vaisseaux et on voit que la distance qui les sépare est constante.

Donc on voit la longueur de la corde comme constante.

 

Mais vu que leur vitesse augmente, la relativité nous dit qu'on voit les distances se contracter. Donc par exemple, on voit les vaisseaux devenir de plus en plus courts.

 

Puisqu'on ne voit pas la corde "raccourcir" comme les vaisseaux alors qu'elle se déplace à la même vitesse, c'est donc qu'elle s'allonge. Donc elle casse.

Je suis d'accord avec ce raisonnement, mais j'aimerais insisté sur un point par rapport à une remarque que j'avais vue concernant le fait de remplacer les deux vaisseaux et la corde par un vaisseau unique.

 

La remarque que je veux faire concerne en fait la notion d'accélération (vectorielle) constante d'un corps par rapport à un système de référence. On peut la voir de deux façons.

 

La première consiste à dire que tous les points du corps sont accélérés de la même façon indépendamment les uns des autres (la notion de points doit dans l'idéal être remplacée par celles de particules). Dans ce cas, on a l'impression de ne pas constater la contraction des longueurs mais en réalité le corps s'étire par rapport à la taille qu'il devrait avoir après la contraction des longueurs, et finalement il se disloque si l'étirement devient trop grand pour être supporté par les liaisons entre les points. C'est le cas de la corde dans l'expérience du vaisseau : on force ses deux extrémités à accélérer (et indirectement tous les points de la corde via la tension dans celle-ci).

 

La seconde consiste à accélérer un seul point du corps. Dans ce cas, on constate une contraction des longueurs autour du point accéléré.

 

La différence entre ce qui se passe entre, d'une part, deux vaisseaux et une corde, et d'autre part, un seul vaisseau, tient dans le fait qu'on suppose que le vaisseau à un seul point d'accélération, alors que dans le cas des deux vaisseaux on en considère deux, qu'on impose donc une contrainte (distance constante) entre ces deux points et que la matière entre ceux-ci (celle qui constitue la corde) finit par ne plus pouvoir supporter cette contrainte.

 

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Voilà, en ce qui me concerne, je pense qu'on a tout dit concernant ce paradoxe (résolu). Comme il a fourni une preuve complète et simple à suivre sans calcul, je propose que Pascal Meheut prenne la main pour l'énigme suivante.

Modifié 19 janvier 2015 par Lolo

[Fred_76]

Le plus simple a expliquer est en fait que les deux énoncées sont différents même s'ils semblent identiques, et donc les résultats sont différents.

 

Dans le premier, les fusées sont animées d'un mouvement à accélération constante dans le repère de la Terre. Mais dans le repère des fusées, cette accélération ne sera pas constante.

 

Dans le deuxième, les fusées sont animées d'un mouvement à accélération constante dans le repère des fusées, mais elle ne le sera plus dans le repère terrestre.

 

Dans les deux cas, on a égalité des accélérations quand la vitesse est faible, mais plus on s' approche de la vitesse de la lumière plus les différences sont importantes.

 

Au final il facile de comprendre que les conséquences sur les objets - et de la corde - sont différentes.

 

Il n'y a donc aucun paradoxe, car pour qu'un paradoxe existe, il faut que les hypothèses de bases soient les mêmes. Ici ce n'est pas le cas. L'ambiguïté vient de l'expression "accélération constante" qui ne signifie pas la même chose selon le repère dans lequel on la mesure.

 

Fred

Modifié 20 janvier 2015 par Fred_76

[pascal_meheut]

Tu as lu le fil ? Les liens donnés y compris par toi ? La discussion qui a déjà eu lieu sur cette hypothèse avec Lolo ?

 

Parce que justement, ce n'est pas le cas : on se pose bien dans le cas où l'accélération est constante dans un seul référentiel.

[Lolo]

Vu que personne ne pose le second problème, je m'y colle.

 

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Énoncé

 

Nous considérons un système planétaire composé de trois astres :

– une étoile dont la masse 10^31 kilogrammes ;

– une planète dont la masse est de 10^24 kilogrammes en orbite circulaire autour de l'étoile à une distance de 300 millions de kilomètres ;

– un petit satellite dont la masse est négligeable par rapport à la planète et en orbite circulaire autour de celle-ci à une distance de 300 mille kilomètres.

 

On suppose de plus que tous les mouvements se passent dans le même plan. Le mouvement du satellite autour de l'étoile n'est pas un cercle parfait mais ondule dans les limites d'une couronne (vu que l'astéroïde tourne autour de la planète qui gravite elle-même en cercle parfait autour de l'étoile). On demande de déterminer si le mouvement du satellite autour de l'étoile est une courbe convexe ou pas (une courbe convexe est une courbe pour laquelle tout segment dont les extrémités sont deux points de cette courbe est à l'intérieur de cette courbe).

 

NB : Dans la réalité, il est impossible que le mouvement du satellite soit un cercle parfait autour de sa planète dans ces conditions, mais on se place néanmoins dans ce modèle. De plus, on ne fera ni de la relativité, ni de la mécanique quantique ici.

 

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Modalité

 

Poster vos réponses ici. Parmi les réponses correctes postées ici avant dimanche midi, je choisirai la plus élégante de celles qui ne seront assez originales pour ne pas être des copies d'une réponse précédente.

Modifié 22 janvier 2015 par Lolo

[pascal_meheut]

Sympa mais tu ne veux pas créer un nouveau fil plutôt ?

['Bruno]

Ça ressemble plus à un problème de maths !

 

Si la période du satellite est suffisamment longue, ça peut être une courbe convexe ; si elle est suffisamment courte, la courbe ne sera pas convexe (voir dessin que j'ai en tête...)

 

Donc il faut d'abord connaître les périodes.

 

Donc partir de la 3ème loi de Kepler : T² = K a³, où K = 4Pi² / GM, M étant la masse des deux astres (ici un seul suffira, le plus petit étant toujours négligeable).

 

Notons M* la masse de l'étoile et Mp celle de la planète.

Notons Rp le rayon de l'orbite de la planète et Rs celui du satellite.

Notons Tp la période de la planète et Ts celle du satellite.

Notons Kp la constante pour la planète et Ks celle pour le satellite.

 

On a : Tp² = Kp Rp³ et Ts² = Ks Rs³, d'où :

(Tp / Ts)² = (Kp / Ks) (Rp / Rs)³

Or :

(Kp / Ks) = (Mp / M*) = 10^-7 ;

(Rp / Rs) = 10^3.

 

Donc :

(Tp / Ts)² = 10^-7 x (10^3)^3 = 10^2

et donc Tp / Ts = 10.

 

--> La période de révolution de la planète est 10 fois supérieure à celle du satellite (pile poil).

 

La courbe donnée par le satellite est une espèce de trèfle à dix feuilles, mais très arrondi (car la distance entre mini et maxi est proche : 300 millions - 300 mille, 300 millions + 300 mille), c'est pour ça que la question se pose vraiment (un trèfle n'est normalement pas convexe, mais là il est très écrasé...). Là encore, voir dessin que j'ai en tête...

 

Cette courbe peut être ainsi paramétrisée :

x( t ) = cos( t ) + 0,001 cos( 10 t ) ;

y( t ) = sin( t ) + 0,001 sin( 10 t ) ;

(l'unité de distance étant la distance étoile-planète, l'unité de temps étant la période de la planète divisée par 2Pi).

 

Reste à savoir si l'intérieur de cette courbe est convexe... Par périodicité, il suffit d'étudier la convexité sur une période du satellite, c'est-à-dire de t=0 à t=Pi/5.

 

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Une piste...

 

Notons A le point au temps 0, B le point au temps Pi/10 (demi-période du satellite) et C le point au temps P/5 (période du satellite). A et C sont sur le cercle de rayon 1,001 et B est sur le cercle de rayon 0,999.

--> Si B est à l'intérieur (par rapport au cercle) du segment [AC], la courbe est forcément concave puisque ça fera un "creux". Dans le cas contraire je conjecture qu'elle sera convexe (pas de "creux").

 

Allez, cette fois je poste deux dessins :

1) Les points A, B et C :

 

2) Le cas concave avec un "creux", le cas convexe sans "creux" :

 

Coordonnées de A (t = 0) : x = 1,001 ; y = 0

Coordonnées de B (t = Pi/10) : x = 0,950.056.516 ; y = 0,309.016.994

Coordonnées de C (t=Pi/5) : x = 0,810.016.994 ; 0,587.785.252

 

Pour connaître la position de B, je vais comparer les angles (Ox,AC) et (Ox,AB). Si le premier est plus grand, c'est que B est du côté extérieur au segment (par rapport à l'origine, donc au cercle).

tan(Ox,AC) = 0,587.785.252 / -0,190.983.006 = -3,079.134.56 ==> (Ox,AC) = 1,884.817 rad (~108°)

tan(Ox,AB) = 0,309.016.994 / -0,050.943.484 = -6,065.878.69 ==> (Ox,AB) = 1,734.183 rad (~99°)

 

On obtient : (Ox,AC) > (Ox,AB). Donc B est à l'extérieur (par rapport à l'orbite) du segment [AC] : il n'y a pas de "creux", l'orbite est convexe.

 

(Ce n'est pas une démonstration rigoureuse, plutôt une vérification qui me permet d'être convaincu que la courbe est convexe - il resterait alors à faire la vraie démonstration.)

Modifié 22 janvier 2015 par 'Bruno

[Lolo]

Sympa mais tu ne veux pas créer un nouveau fil plutôt ?

Je veux bien, mais je suis dans le thème initial « s'amuser avec la physique ». Et c'était prévu dès le départ par son auteur de continuer ce sujet ainsi. Je ne sais donc pas ce qui serait le mieux, mais je n'ai rien contre le fait qu'un modérateur coupe le sujet en deux s'il pense que cela serait mieux.

 

Ça ressemble plus à un problème de maths !

C'est vrai que cela peut se traiter comme un problème de maths. Mais cela conduit alors à quelques calculs, alors qu'il existe une astuce physique pour trouver la réponse avec très peu de calculs (et qui classe donc ce problème dans les jolis problèmes de physique).

['Bruno]

Tant pis, je l'ai traité comme un problème de maths...

[Prostaff]

C'est vrai que cela peut se traiter comme un problème de maths. Mais cela conduit alors à quelques calculs, alors qu'il existe une astuce physique pour trouver la réponse avec très peu de calculs (et qui classe donc ce problème dans les jolis problèmes de physique).

 

J'ai envie de dire que ça ne peut pas être convexe car la trajectoire oscille dans l'épaisseur d'une couronne, d'où des points d'inflexion autour desquels on peut tracer des segments en dehors de la trajectoire, mais ça semble trop simple, mon cerveau n'a pas bien dû cibler le problème

 

Je ne sais pas si l'analogie avec la trajectoire d'une valve de pneu de vélo qui roule peut aider sinon...

[Lolo]

(Ce n'est pas une démonstration rigoureuse' date=' plutôt une vérification qui me permet d'être convaincu que la courbe est convexe - il resterait alors à faire la vraie démonstration.)[/quote']

Je suis convaincu par le raisonnement (sans avoir vérifié les calculs).

 

C'est à peu de chose près une des deux preuves que j'avais en tête (elle est plutôt mathématique et l'autre est plutôt physique). On va voir si d'autres idées tombent d'ici dimanche.

 

Reste à savoir si l'intérieur de cette courbe est convexe... Par périodicité' date=' il suffit d'étudier la convexité sur une période du satellite, c'est-à-dire de t=0 à t=Pi/5.[/quote']C'est tout à fait exact : en effet, cette courbe est différentiable (et elle l'est donc en particulier aux extrémités de l'intervalle considéré (dans le cas contraire, des morceaux convexes relatifs à différentes périodes pourraient encore se coller de façon non convexe)).

[Lolo]

J'ai envie de dire que ça ne peut pas être convexe car la trajectoire oscille dans l'épaisseur d'une couronne, d'où des points d'inflexion autour desquels on peut tracer des segments en dehors de la trajectoire [...]

Cet bien essayé, mais c'est une intuition trompeuse.

 

Un bon moyen de se convaincre que cette intuition est trompeuse est de penser à une ellipse dans laquelle on inscrit un petit cercle (tangent à l'ellipse aux extrémités de son petit axe) et à l'extérieur de laquelle on circonscrit un grande cercle (tangent à l'ellipse aux extrémités de son grand axe). Les deux cercles sont de rayons différents et ont le même centre (le centre de l'ellipse). Ils forment donc une couronne et l'ellipse vient se coller sur l'un puis sur l'autre. Pourtant, l'ellipse est convexe.

[Mago67]

Le satellite subit deux forces d’accélération. Celle de la planète et celle de l'étoile.

 

On sait que cette force est dépendante de la masse des objets et de la distance de ces objets.

 

En utilisant les loi de Kepler on doit pouvoir retrouve le point d'équilibre ou la force de la planète sur le satellite est égale à celle de l’accélération de de l'étoile sur le satellite. Cet équilibre des forces correspond au basculement entre les deux schéma "concave" et "convexe" de Bruno ci-dessus.

 

Dis autrement, si la force de l'accélération de l'étoile sur le satellite reste plus forte que celle de la planète sur le satellite lorsque le satellite est entre la planète et l'étoile, alors la courbe est convexe. Sinon elle est concave.

[Lolo]

Le satellite subit deux forces d’accélération. Celle de la planète et celle de l'étoile.

 

On sait que cette force est dépendante de la masse des objets et de la distance de ces objets.

Bon début !

 

[...] si la force de l'accélération de l'étoile sur le satellite reste plus forte que celle de la planète sur le satellite lorsque le satellite est entre la planète et l'étoile, alors la courbe est convexe. Sinon elle est concave.

Exactement ! C'est là l'astuce physique dont je parlais.

 

En utilisant les loi de Kepler on doit pouvoir retrouve le point d'équilibre ou la force de la planète sur le satellite est égale à celle de l’accélération de de l'étoile sur le satellite. Cet équilibre des forces correspond au basculement entre les deux schéma "concave" et "convexe" de Bruno ci-dessus.

C'est correct. Mais il n'est pas nécessaire de déterminer le point d'équilibre pour voir de quel côté on est de celui-ci. Il reste à faire un calcul pour trancher. Celui-ci est très rapide si on s'y prend bien.

[Fred_76]

Le rapport des forces d'attraction entre d'une part l'étoile (e) et l'astéroïde (a), et d'autre part la planète (p) et l'astéroïde.

 

Fea=GMaMe/dae²

Fpa=GMaMp/dap²

 

Fea/Fpa=(Me/Mp)*(dap/dae)²

 

L'application numérique donne un rapport moyen de 10 (en fait compris entre 9.98 et 10.02 selon la position de l'astéroïde par rapport à la planète vu de l'étoile). Autrement dit l'attraction de l'étoile sur l'astéroïde est 10 fois supérieure à l'attraction de la planète sur l'astéroïde. Donc selon le lemme de Mago, la courbe est convexe.

 

Cela dit, je ne vois pas pourquoi elle ne serait pas concave... autrement dit en quoi cette astuce physique permet de conclure si la courbe est concave ou convexe. Un schéma s'impose !

Modifié 22 janvier 2015 par Fred_76

[Mago67]

Si Fea-Fpa reste toujours positif ( je veux dire par la que le vecteur reste orienté vers (e) ) tu peux en conclure que (a) tombe continuellement vers (e) en suivant une courbe convexe. En fait la courbe de la trajectoire de (a) ressemble à un cercle mais avec des aplats. Un peu comme un polygone régulier si tu préfères.

 

Si Fea-Fpa devient négatif lorsque (a) est situé entre (e) et (p), la chute de (a) vers (e) sera stoppée par Fpa. Ce qui va créer la trajectoire en forme de "creux", voir carrément faire des boucles.

Modifié 22 janvier 2015 par Mago67

[vince974]

Je tente un raisonnement :

 

Si le satellite tourne autour de la planète, il aura pendant la moitié de sa révolution un mouvement instantané qui sera dans le même sens que le déplacement de la planète et pendant l'autre moitié un mouvement instantané rétrograde.

 

Au moment ou ce sens change, cela crée un pont d'inflexion dans la trajectoire (de type cycloïde) autrement dit, le centre instantané de rotation (globalement la planète) du satellite se trouve tantôt à l'intérieur de la courbe quand il est en opposition avec l'étoile (parties convexes) et tantôt à l'extérieur lorsqu'il est entre la planète et l'étoile (parties concaves).

 

Ceci suppose tout de même que le système soit bien à l'équilibre.

 

Des avis ?

 

En conclusion, je dirais que la trajectoire globale ne peut qu'être concave.

['Bruno]

Durant la moitié de sa révolution, le satellite a un mouvement rétrograde par rapport à la planète. Mais celle-ci se déplace par ailleurs dans le sens direct par rapport à l'étoile. Si son déplacement dans le sens direct est plus rapide que le déplacement rétrograde du satellite, alors le déplacement du satellite par rapport à l'étoile sera direct.

 

Regarde mes schémas, notamment le premier (en espérant qu'il soit à peu près compréhensible...).

[vince974]

Je suis tout à fait d'accord avec cette remarque 'Bruno, le satellite "avance" bien, il ne recule que si sa rotation est suffisamment rapide pour compenser le déplacement effectif de la planète.

 

En revanche ça ne change pas la conclusion sur la concavité de la trajectoire puisqu' c'est la position du centre instantané de rotation qui compte.

 

Or ce centre est grossomodo la planète elle-même, et il y a bien un moment ou celle-ci est hors de la surface fermée par la trajectoire. Si il existe au moins un centre instantané de rotation hors de cette surface, cela est pour moi suffisant à conclure qu'il y a au moins un point de concavité (bon ok en réalité il en faut 2 car il faut pouvoir le tracer ce segment !)

['Bruno]

Justement, regarde mon schéma n°2 : a priori les deux cas sont possibles (A = satellite en opposition - Pleine Lune, B = satellite en conjonction - Nouvelle Lune, C = satellite de nouveau en opposition). Ou bien relis le message n°137 de Lolo et son exemple d'ellipse encadrée par deux cercles : cette ellipse est la trajectoire d'un satellite qui aurait la même période de révolution que la planète (c'est un cas extrême...)

Modifié 22 janvier 2015 par 'Bruno

[vince974]

Dan le schéma 2, le cas de droite me semble impossible pour un système en équilibre.

 

En effet la convexité sur ce schéma suppose que la planète se situerait à chaque instant à l'intérieur de la trajectoire (tous les centres instantanés de rotation) donc le satellite ne peut être en orbite autour de la planète ce qui contredit l'énoncé du problème.

 

Le seul cas que je vois présenter une trajectoire convexe est celui ou le satellite tourne autour de l'étoile dans le même mouvement que la planète, ce qui a priori n'est pas un état d'équilibre.

['Bruno]

Je pense que tu ne comprends pas le schéma (il est vrai que c'est un brouillon). Les deux arcs de cercle représentent les limites de la couronne dont parlait Lolo dans son énoncé. La planète suit une trajectoire circulaire qui est au milieu de cette couronne (comme dans le schéma 1).

 

En tout cas les calculs (méthode mathématique) indiquent que la trajectoire est convexe (la démonstration n'est pas rigoureuse mais j'ai confiance) et la méthode physique trouvée par Mago67 le confirme.

[vince974]

Je persiste à penser que c'est le schéma 2gauche qui correspond au schéma 1.

 

Sinon sur le schéma de droite, comment expliquer la position de la planète lorsque le satellite est au point B ? Cette dernière devrait se trouver a droite de la courbe (cf schéma 1) or la convexité de ce point de trajectoire suggère qu'elle est à gauche comme pour les points A et C.

 

Pour qu'il y ait orbite effective du satellite il me semble indispensable d'avoir les fameux creux.

 

Pourrais-tu sortir la trajectoire calculée ? cela pourrait me convaincre.

 

Autre question : la trajectoire est-elle stable sur plusieurs révolutions ?

['Bruno]

Sinon sur le schéma de droite, comment expliquer la position de la planète lorsque le satellite est au point B ? Cette dernière devrait se trouver a droite de la courbe (cf schéma 1)

Mais c'est le cas ! (Sa trajectoire est située entre les deux cercles - voir schéma 1.)

 

Pourrais-tu sortir la trajectoire calculée ? cela pourrait me convaincre.

Tu peux revoir mes calculs.

[vince974]

Mon esprit vient de l'élargir.

 

Je comprends maintenant où est mon erreur : le centre instantané de rotation au point B n'est pas la planète mais plutôt l'étoile !!! D'où l'incurvation de la trajectoire qui "contourne" l'étoile (va donc dans le sens convexe) et non la planète (ce qui aurait impliqué concave).

 

En relisant bien les posts c'est donc comme l'a dit Mago67, l'attraction de l'étoile l'emporte et force donc la courbure de la trajectoire comme cela. Compte tenu des caractéristiques du système la résultante des forces sur le satellite n'est donc jamais dirigée vers l'extérieur

C'est différent du cas Terre-Lune ici

 

A bon entendeur !