exoplanetes incertitudes de masse

[sparrow88]

Bonjour, je fais un exposé sur les méthodes de détection des exoplanètes et j'ai une question qui me tracasse concernant la méthode des vitesses radiales.

est-ce qu'il est possible de connaître l'angle entre la normale de l'orbite et la ligne de visée ?

J'ai cru comprendre que non mais dans ce cas on fait une erreur de supposer que i=90° , qu'elle est l'incertitude sur la masse si on effectue tous les calculs avec un angle de 90° ?

 

je vous remercie

[Ygogo]

Bonjour

 

Effectivement, l'inclinaison n'est pas mesurable... et les observations de la seule vitesse radiale ne peuvent donner que M.sin(i)

 

La valeur moyenne de sin(i) est, statistiquement parlant, égale à pi/4 = 0.785

 

Voir http://media4.obspm.fr/public/FSU/pages_exoplanete/vitesse-radiale-extrasolaire-apprendre.html et la démonstration dans la page associée "exercices" http://media4.obspm.fr/public/FSU/pages_exoplanete/vitesse-radiale-extrasolaire-sexercer.html

[sparrow88]

Merci ! Je vais faire mes calculs avec la valeur moyenne alors

[sparrow88]

par contre je ne comprends pas la démonstration de la valeur moyenne ... pourrai-tu m'expliquer ? merci

[Lolo]

La valeur moyenne que prend la fonction sin(x) lorsque x varie uniformément dans l'intervalle [0,pi] vaut le rapport de l'intégrale de cette fonction sur cet intervalle par la longueur de cet intervalle, c'est-à-dire [(-cos(pi))-(-cos(0)]/pi=2/pi. Ceci signifie que lorsque tu mesures une vitesse par effet Doppler, la vitesse radiale obtenue doit en moyenne être multipliée par pi/2 pour obtenir la vitesse réelle.

[sparrow88]

je suis d'accord pour le 2/pi mais pourquoi eux trouvent pi/4 ?

[Lolo]

Aucune idée (mais je n'ai pas lu les liens).

[Ygogo]

Bonsoir

 

Je ne suis pas très à l'aise pour la démonstration mathématique, surtout sans tableau pour écrire...

 

Mais une chose me semble certaine : il ne faut pas raisonner dans le plan (comme au message 5) mais dans l'espace 3D.

 

C'est pour cela que la page de media4.obspm dont j'ai donné le lien raisonne sur un élément de cône pour faire l'intégration...

 

Si je trouve quelque chose de plus clair, je reviendrai...

[Lolo]

Mais une chose me semble certaine : il ne faut pas raisonner dans le plan (comme au message 5) mais dans l'espace 3D.

C'est bien vu ! Un grand merci.

 

En fait, j'ai initialement raisonné en 3D, mais j'ai voulu simplifier le calcul et j'ai fait une faute de raisonnement dans la modélisation du problème. Je m'explique : j'ai raisonné à partir du faisceau de plan contenant la ligne de visée et je me suis dit qu'on était nécessairement dans un des plans et que tous les plans se comportent de la même façon. Mathématiquement parlant, c'est correct, mais cela ne correspond pas à la réalité d'un espace isotrope. En effet, en « probabilité géométrique », quand on a un nombre infini non dénombrable de possibilités, la réponse dépend de la façon dont les choses sont définies. Il y a d'ailleurs des célèbres paradoxes sur ce genre de thème au sujet de la longueur moyenne d'une corde d'un cercle (lien intéressant pour ceux que cela intéresse : http://fr.wikipedia.org/wiki/Paradoxe_de_Bertrand). Dans le cas présent, on est dans un problème de physique et il faut évidemment considérer que l'espace est isotrope, or en passant par un faisceau de plan, on va indirectement supposer que ce n'est pas le cas et favoriser les angles x éloignés de pi/2 (c'est-à-dire proches de 0 ou pi). En d'autres termes, j'avais raisonné comme si tout s'articulait sur un cylindre dont l'axe est la ligne de visée et non sur une sphère autour du point de visée comme dans la réalité.

 

Je recommence. Je vais à nouveau intégrer par rapport à x sur l'intervalle [0,pi], mais cette fois-ci, je vais prendre soin de multiplier la fonction sin(x) par la fonction 2*pi*sin(x) avant de l'intégrer. Cela correspond en effet à pondérer sin(x) par la longueur du parallèle de latitude x d'une sphère unité, et cela permet donc d'adopter une symétrie sphérique en rapport avec l'isotropie de l'espace. De surcroît, pour que la pondération soit bien calibrée, il faudra diviser l'intégrale par la surface d'une sphère unité, c'est-à-dire par 4*pi, au lieu de la diviser par la longueur de l'intervalle [0,pi]. La fonction a intégrer est donc sin(x)*2*pi*sin(x)=pi+pi*(2*sin²(x)-1)=pi-pi*cos(2x). Une primitive de cette fonction est pi*x-pi*sin(2x)/2 et son intégrale sur [0,pi] vaut donc pi². Quand on divise cette intégrale par 4*pi comme prévu ci-dessus, on trouve bien pi/4.

Modifié 28 mai 2015 par Lolo

[Ygogo]

Bonjour

 

Eh bien voilà, grâce à Lolo le problème est résolu !

Je suis un trop médiocre mathématicien pour répondre clairement à ce genre de question, je réagis "au pifomètre" avec une pincée de sens physique, mais c'est d'une efficacité limitée !

 

Merci !

[Lolo]

Bonjour [...]

 

C'est un travail d'équipe : j'étais resté coincé dans mon plan sélectionné, persuadé qu'il était représentatif jusqu'à ce que vous reparliez de la 3D. Et si vous n'aviez pas été là, on serait sans doute encore en train de croire que c'était l'autre réponse.

[Ygogo]

Moralité : deux cerveaux valent mieux qu'un

 

et ça serait bien si "certains" acceptaient de travailler comme ça au lieu de troller ...