Calculs astronomiques

[LoarwennBZH]

Bonjour à tous

 

Après avoir passé plusieurs heures aujourd'hui à m'arracher les cheveux et à m'éclater les yeux à force de chercher frénétiquement sur le net, je viens vers vous pour avoir enfin une réponse à ma question du jour :

 

Comment calculer le temps sidéral (à date et heure données), selon un lieu donné ? Ainsi que l'ascension droite du soleil ?

Pour cette dernière j'ai trouvé comme formule :

(N+284)*360/365.25

Avec N = nombre de jours depuis le 1er janvier.

Je veux bien y croire, mais je demande quand même confirmation

Quand au temps sidéral alors là, je nage complètement...

Ce sont des termes que je ne comprends pas trop, c'est assez nouveau pour moi et donc peut-être trop compliqué pour un novice, mais je suis têtu

J'ai trouvé pas mal de formules sur le net, mais.... franchement, je m'y perds, la plupart ne sont pas claires du tout...

 

Si quelqu'un peut m'aider, merci d'avance !

[bbdb]

il y a un petit livre excellent pour se mettre à tout ca, c'est "calculs astronomiques à l'usage de l'amateur", de Jean Meeus

 

tiens je viens de voir qu'il ya une nouvelle edition

http://navastro.fr/index.html?c91.html

[julon2000]

Préciser l'usage pour lequel tu as besoin de savoir ça aiderait peut-être à t'orienter. Si tu veux savoir d'où sortes ces formules le bouquin indiqué par bbdb sera tout indiqué, mais si tu cherches juste à connaître le temps sidéral local d'un lieu il existe plein de façons de l'obtenir sans faire les calculs soi-même (logiciel astro comme Coelix, multitude de sites web)

 

Non pas que ces calculs soient compliqués, c'est plutôt qu'il sont fastidieux. Tiré de la page wikipedia en anglais:

 

GMST = ( 18.697 374 558 + 24.065 709 824 419 08 * D ) modulo 24

 

GMST signifiant le temps sidéral moyen de Greenwich et D étant la fraction de jours écoulés depuis le 1er janvier 2000 à 12h UT (hint : elle est là la partie casse-couille). Et pour obtenir le temps sidéral moyen local, tu ajoutes la longitude (sous forme décimale) du lieu divisée par 15 (passage des degrés aux heures, 24/360=1/15 ) avec un signe négatif pour une longitude vers l'ouest.

[LoarwennBZH]

En fait, après d'autres recherches, je crois que je me suis égaré dans les diverses réponses que j'ai pu trouver. Ce que je cherche à faire, si c'est possible, c'est calculer l'angle d'élévation du soleil dans le ciel, pour une date et une heure donnée...

[julon2000]

En fait, après d'autres recherches, je crois que je me suis égaré dans les diverses réponses que j'ai pu trouver. Ce que je cherche à faire, si c'est possible, c'est calculer l'angle d'élévation du soleil dans le ciel, pour une date et une heure donnée...

 

De cette page on apprend que

 

 

où alpha_s est l'élévation du soleil, h l'heure, delta la déclination du soleil et phi la latitude.

 

Pour la déclination (c'est dans cette grandeur qu'intervient la date) cette autre page nous dit qu'elle vaut à peu près

 

 

où N est le jour de l'année, le 1er janvier valant N=0

['Bruno]

h n'est pas l'heure mais l'angle horaire du Soleil (coordonnées horaires), qui se calcule en effet à partir du temps sidéral.

[julon2000]

h n'est pas l'heure mais l'angle horaire du Soleil (coordonnées horaires)' date=' qui se calcule en effet à partir du temps sidéral.[/quote']

C'est vrai, ça n'est effectivement pas l'heure au sens habituel : h=0 correspond à midi, et h est négatif le matin et positif l'après-midi et s'exprime en degrés; c'est assez logique en voyant l'équation, le maximum étant obtenu lorsque le cosinus vaut 1. Les détails sur cette page.

 

Par contre je ne vois pas bien comment le temps sidéral intervient?

[LoarwennBZH]

D'après ce que j'ai trouvé ailleurs, l'angle horaire nécessaire pour l'opération se calculerait avec le temps sidéral, auquel il faudrait soustraire l'ascension droite. C'est ce que j'ai trouvé en papillonnant sur des forums, donc ça vaut ce que ça vaut. Il ne me manque que lui, d'ailleurs, mais logiquement ça paralyse toute l'opération ^^"

[LoarwennBZH]

J'ai trouvé ceci :

 

Temps Sidéral Moyen méridien de Greenwich 00h UT :

GTSM0 (°) = 100,46061837 + 36000,770053608 T

 

où T = ( Jour Julien - 2451545,0) / 36525

Le JJ d'aujourd'hui est 2457202

 

donc T = 0.15488

et GTSM0 (°) = 5676,2599

 

Ensuite pour calculer le GTSM pour une heure H donnée, il faut convertir cette heure en temps sidéral. J'ai trouvé pour ça la formule :

HTS = H * 1,00273790935 = (pour 10h du matin) 0.4178

 

Suite à quoi GTSMH = GTSM0 + HTS

= 5676,2599 + 0.4178 = 5676,6

 

Pour un lieu donné il faut ensuite soustraire la longitude du lieu et là je coince, j'habite à long = 0°13'59"

Temps Sidéral Moyen = 5676,6 - ????

Sous quelle forme dois-je soustraire la longitude ?

[julon2000]

D'après ce que j'ai trouvé ailleurs, l'angle horaire nécessaire pour l'opération se calculerait avec le temps sidéral, auquel il faudrait soustraire l'ascension droite. C'est ce que j'ai trouvé en papillonnant sur des forums, donc ça vaut ce que ça vaut. Il ne me manque que lui, d'ailleurs, mais logiquement ça paralyse toute l'opération ^^"

 

Oui, c'est d'ailleurs précisé sur la page wikipedia que j'avais donné dans mon message précédent. Mais le cas du soleil est particulier dans le sens où son ascension droite varie tout le temps, au contraire des objets situés en-dehors du système solaire qui ont une ascension droite fixe (du moins durant une époque donnée et à part quelques cas très particulier comme par ex. l'étoile de Barnard qui ont un mouvement propre important).

 

On peut le voir en considérant que le temps sidéral local équivaut à l'ascension droite d'un objet situé actuellement au méridien (ie au sud) de la position actuelle : dans le cas du soleil, ce dernier est au méridien tous les jours à midi (en heure solaire locale). On a donc juste h = (t-12)*180/12 (en degrés) où t est le nombre d'heures écoulées depuis minuit.

 

À nouveau, il serait peut-être plus facile de t'aider si tu expliquais ce que tu cherches à faire. Personnellement j'avais utilisé ces formules il y a quelque temps pour faire quelques calculs dans ce post, tu peux les réutiliser si ça correspond.

Modifié 28 juin 2015 par julon2000
clarification

[LoarwennBZH]

En fait je cherche à pouvoir déterminer l'angle d'élévation du soleil tel jour, à telle heure, à tel endroit. Une estimation bien sûr, rien de précis au 1/1000ème de ° près...

[julon2000]

En fait je cherche à pouvoir déterminer l'angle d'élévation du soleil tel jour, à telle heure, à tel endroit. Une estimation bien sûr, rien de précis au 1/1000ème de ° près...

 

Ok, donc ce qu'il te reste à faire c'est convertir l'heure locale indiquée par une horloge en angle horaire solaire local (le h utilisé dans l'équation de l'élévation du soleil, ci-dessus).

 

Un googlage rapide donne cette page qui donne la marche à suivre. C'est assez détaillé, mais quelques commentaires :

• l'heure d'été de la France métropolitaine correspond à UTC+2, donc LSTM=15°*2=30°
  
• ta longitude doit être exprimée sous forme décimale, à savoir 0°13'59" = 0,233°
  
• d est le nombre de jours écoulés depuis le début de l'année
  
• LT est l'heure locale donnée par une horloge, exprimée sous forme décimale ( 13h45 = 13,75 )
  
• HRA correspond au h de l'équation donnant l'élévation du soleil donnée dans un message ci-dessus
  

Modifié 28 juin 2015 par julon2000

[LoarwennBZH]

Au final ce que j'ai fait plus haut, calcul du jour julien etc, ne sert donc à rien ou en tout cas on peut s'en passer ?

[julon2000]

Si tu cherches juste à déterminer l'élévation du soleil à un moment et lieu donnés, il me semble que ça ne sert effectivement à rien.

[LoarwennBZH]

D'accord, ce n'est pas pour me déplaire, c'était quand même un peu fastidieux. Je vais faire quelques essais avec la page que tu m'as fournie, merci beaucoup.

 

EDIT : quand je dois faire sin et cos latitude, je dois aussi convertir l'angle en valeur décimale ?

Modifié 28 juin 2015 par LoarwennBZH

['Bruno]

En fait, ce dont tu as besoin est de calculer les coordonnées horizontales du Soleil : l'azimut et la hauteur, celle que tu cherches étant la hauteur. En tapant "coordonnées horizontales" ou "coordonnées azimutales" avec Google, je pense qu'on doit pouvoir trouver des infos (en plus des liens donnés ici).

 

Attention avec l'angle horaire, je crois qu'il y a une confusion : l'angle horaires est un angle, c'est l'une des deux coordonnées horaires (les coordonnées horaires sont l'angle horaire et la déclinaison), et il vaut 0 au méridien.

Modifié 28 juin 2015 par 'Bruno

[julon2000]

D'accord, ce n'est pas pour me déplaire, c'était quand même un peu fastidieux. Je vais faire quelques essais avec la page que tu m'as fournie, merci beaucoup.

 

EDIT : quand je dois faire sin et cos latitude, je dois aussi convertir l'angle en valeur décimale ?

 

Oui, tout doit être dans le même format, en l'occurrence en degrés sous forme décimale. Vérifie également que ton calculateur fonctionne en degrés pour le calcul des fonctions trigonométriques, sinon il te faudra convertir tous les angles en radian via une multiplication par Pi/180

[LoarwennBZH]

Ok, par contre j'en suis pour le moment à tout faire sur papier, je verrai pour la suite si déjà j'arrive à trouver des résultats à peu près corrects...

Pas comme les 83° et quelques que j'ai trouvés tout à l'heure pour l'élévation du 29 juin 2015 à 10h30 (j'ai contrôlé sur http://www.sunearthtools.com/dp/tools/pos_sun.php?lang=fr c'est censé être environ 52°..... XD

 

Je vais essayer de reprendre ici étape par étape pour la date précédente et si quelqu'un peut me signaler mes erreurs, ça serait bien sympathique parce que je ne vois pas où est la coquille !

 

Donc j'ai la formule cos (élévation) = sin (latitude) * sin (déclinaison) + cos (latitude) * cos (déclinaison) * cos (angle horaire).

 

La latitude de chez moi en décimale, déjà vue : 44,916°

 

Pour la déclinaison je trouve :

le 29/06 est le 180ème jour

ascension droite = (180+284) * 360/365.25 = 457,33 (arrondi)

sonc déclinaison = 23,45 * sin 457,33 = 23,258.

 

Ces deux premières valeurs semblent-elles correctes ?

['Bruno]

Ça m'a l'air tout à fait correct. Il faut maintenant calculer le temps sidéral, puis l'angle horaire du Soleil, puis appliquer la formule ci-dessus.

 

Voici l'algorithme que je connais (qui vient du livre de Meeus) :

 

1) On calcule le jour julien correspondant au 29/06/2015 à 0hTU : JJ = 2457202,5 (voir http://www.imcce.fr/fr/grandpublic/temps/jour_julien.php )

 

2) On en déduit T = nombre de siècles juliens entre J2000 et la date courante : T = (JJ - 2451545,0) / 36525 = 0,154893908

 

3) Temps sidéral moyen de Greenwich à 0h TU :

TSG0 (heures) = 6.6460656 + 2400.051262 T + 0.00002581 * T²

Ici : TSG0 = 378,3993856 heures = 18,39938559 heures (c'est en gros l'ascension droite du Soleil + 12h).

 

4) Temps sidéral moyen de Greenwich à 10h30 TU :

TSG = TSG0 + 1.002737909 * 10,5 = 28,92813363 heures = 4,92813363 heures.

 

(Si c'est 10h30 heure d'été, donc 08h30 TU, ça donne TSG = 2,92265782 heures.)

 

5) Temps sidéral local :

TS = TSG - longitude = heu ?

 

j'habite à long = 0°13'59"

Longitude est ou ouest ????

 

Si par exemple c'est longitude ouest (on est du côté de Libourne - à l'est on serait en plein dans une forêt...), on doit mettre un signe plus (Julon disait le contraire parce qu'il ajoute la longitude, Meeus la retranche) donc longitude = +0,233056° = +0,01553704 heures, ce qui donne :

 

TS = TSG - longitude = 4,92813363 - 0,01553704 = 4,91259659 heures. Toutes ces décimales sont inutiles vu que les coordonnées du Soleil ne seront pas données avec une telle précision (c'était surtout pour ne pas cumuler les erreurs d'arrondi), donc disons : TS = 4,9126 heures.

 

(Si c'est pour 08h30 TU, ça donne TS = 2,9071 heures.)

 

6) Angle horaire : H = TS - AD = 4,9126 - 6,4887 = -1,5761 = 22,4239 heures = 336,3585°.

(457,33°, ça fait aussi 97,33°, soit 6,4887 heures.)

 

(Si c'est pour 08h30 TU, ça donne H = 306,2763°.)

 

7) Hauteur : cette fois on peut utiliser la formule, enfin ! Donc :

sin h = sin(Lat) sin(DE) + cos(Lat) cos(DE) cos(H).

(La formule que tu as écrite donne, non pas la hauteur (élévation, notée h), mais la distance zénitale (notée z), qui est son angle complémentaire. Je m'en suis douté car le cosinus va de 0° à 180°, or la hauteur va de -90° à +90° et doit donc être donnée par un sinus. En fait sin h = cos z, donc il n'y a que le membre de gauche à modifier, j'ai vérifié.)

 

Ici : sin h = 0,874800452, d'où h = 61,02°. Ce résultat me semble plausible.

 

(Si c'est pour 08h30 TU, ça donne h = 41,59°.)

 

----------

Remarque : on peut connaître la position du Soleil sur ce site : http://www.imcce.fr/fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos.php . Pour le 29/06/2015 il donne :

AD = 06h31m15,09s = 6,520858 heures

DE = +23°14'35,4" = 23,243167°

Ça permet de faire des calculs plus précis. Cette fois :

H = 335,8761° à 10h30 TU (305,7936° à 08h30 TU),

h = 60,75° à 10h30 TU (41,23° à 08h30 TU).

Modifié 29 juin 2015 par 'Bruno

[gastropode]

où T = ( Jour Julien - 2451545,0) / 36525

Le JJ d'aujourd'hui est 2457202

L'affirmation suivante : "Le JJ d'aujourd'hui est 2457202" peut conduire à des erreurs, si l'on se réfère à la façon actuelle de compter le temps (et les jours).

Actuellement, la ligne de démarcation entre les jours est minuit (24 heures sur la montre).

Dans les cas du jour julien, c'est le midi.

" Le jour julien est la base d'un système de datation consistant à compter le nombre de jours et fraction de jour écoulés depuis une date conventionnelle fixée au 1er janvier -4712 à 12 heures." (Wikipedia).

 

A "la date conventionnelle" on ne disposait pas d'horloge pour déterminer précisement "le moment de minuit". Par contre l'instant de passage du Soleil au méridien était accessible.

Remarquons également que les notions de "midi" et "minuit" ramènent à la perception locale de l'écoulement du temps. Le gnomon permet de constater le passage du Soleil au "midi" local.

Pour mémoire : https://fr.wikipedia.org/wiki/Jour_julien

[julon2000]

Attention pour la formule de l'élévation c'est un sinus, pas un cosinus.

 

Sinon j'ai également fait les calculs par moi-même avec une feuille iPython, et j'arrive à une élévation valant 42 degrés.

 

En entrant les données sur cette page de calcul de la position du soleil, j'arrive à la même chose. Idem avec la page de calcul que LoarwennBZH avait indiqué : à ce propos attention à traiter correctement l'heure d'été, c'est soit GMT+1 avec DST coché, soit GMT+2 et DST décoché - les 52° que tu donnais sont erronés.

 

@Bruno : ta manière de procéder est manifestement différente de celle des sites mentionnés ci-dessus, qui sont tous deux des sites traitant de calculs liés à la pose de panneaux solaires. Je serais curieux de connaître l'origine de ces 20° de différence.

['Bruno]

42° de hauteur, ça me paraît bas. Compte tenu de la latitude et de sa déclinaison du Soleil, le Soleil culmine à 68,34°. Donc à 10h30 (TU, je suppose), il doit être déjà bien haut, 61,02° me paraît correct.

 

Ou alors tu as fait les calculs pour 10h30 heure d'été ? Je les ai fait pour 10h30 TU, du coup j'ai ajouté un deuxième calcul pour 10h30 heure d'été, ça donne en effet 42° ou presque, la différence doit venir du calcul précis du temps sidéral que j'ai utilisé.

Modifié 29 juin 2015 par 'Bruno

[LoarwennBZH]

Si je reprends la formule pour l'instant ça donne : sin (élévation) = sin 44,916 * sin 23,258 + cos 44,916 * cos 23,258 * cos (angle horaire) ?

 

Et il ne me reste plus qu'à calculer l'angle horaire... Si je regarde le site que tu m'as fourni julon2000, je vois que les étapes sont :

_ calcul du LSTM... Tu m'as dit que c'était 30°

_ calcul de l'équation du temps... 9,87 sin 2B - 7,53 cos B - 1,5 sin B

où dans mon cas B = (180-81) * 360/365 = 97,64.

Donc EqT = 9,87 sin 195,28 - 7,53 cos 97,64 - 1,5 sin 97,64 = -3,09

(Déjà là ça change, j'avais trouvé -1,4 à la base avec pourtant la même opération... sûrement une fausse manipulation sur la calculatrice de windows)

_ calcul de la correction du temps... 4 * (long - LSTM) + EqT

Donc 4 * (-0.233 - 30) -3,09 = -124,022.

Mais la page que tu m'as donnée (http://www.pveducation.org/pvcdrom/properties-of-sunlight/sun-position-calculator) indique pour la correction du temps -63,09. Ce qui correspond à très peu de choses près au même calcul avec 15° à la place de 30° pour le LSTM. Du coup quel résultat est le bon ?

Je vais faire la suite avec chacun des deux, pour voir...

_ calcul du temps solaire local... Temps Local + Correction du temps/60

Donc pour 10h30 : 10,5 + (-124,022/60) = 8,43

OU 10,5 + (-62,011/60) = 9,47

En rouge résultat pour LSTM = 30° ; en vert résultat pour LSTM = 15°.

_ et pour finir calcul de l'angle horaire... AH = 15° * (LST-12)

Le "15°" est-il censé être le LSTM ? Donc selon ce que tu m'avais dit, il faudrait mettre 30 ?

La valeur de l'angle horaire donnée par le site est -38,27.

En calculant à partir de 15° je trouve -37,95. Ce qui est assez proche.

Mais à partir de 30° j'ai -75,9...

 

Avec tout ça si je reprends la formule de départ cela donne :

sin (élévation) = sin 44,916 * sin 23,258 + cos 44,916 * cos 23,258 * cos (-37,95)

Résultat environ 0.79 et donc : 52,36°. Ta page donne quant à elle 52,47°. Je pense être relativement juste sur ce coup-là.

 

Mais au final je ne sais pas où je m'étais planté alors... Je devais faire une erreur en tapant à la machine Je vais retenter de mon côté avec d'autres valeurs et contrôler les résultats pour voir si ça colle.

 

En tout cas vous m'avez tous été d'une aide plus que précieuse, un grand merci !

Modifié 29 juin 2015 par LoarwennBZH

[julon2000]

42° de hauteur' date=' ça me paraît bas. Compte tenu de la latitude et de sa déclinaison du Soleil, le Soleil culmine à 68,34°. Donc à 10h30 (TU, je suppose), il doit être déjà bien haut, 61,02° me paraît correct.

[/quote']

 

La longitude de LoarwenBZH est à l'extrémité ouest du fuseau horaire, le soleil s'y lève plus tard que dans des endroits plus centraux, et c'est d'autant plus amplifié par l'heure d'été qui revient à se décaler d'un fuseau horaire vers l'est : son heure locale est très en avance par rapport à l'heure solaire locale.

 

Ou alors tu as fait les calculs pour 10h30 heure d'été ? Je les ai fait pour 10h30 TU, du coup j'ai ajouté un deuxième calcul pour 10h30 heure d'été, ça donne en effet 42° ou presque, la différence doit venir du calcul précis du temps sidéral que j'ai utilisé.

 

Oui, les calculs sont faits pour l'heure indiquée par une montre à la position indiquée par LoarwenBZH.

[LoarwennBZH]

J'ai fait un second calcul pour une date en décembre, le résultat est bon à 0,4° près, je suis assez content

Par contre je vois sur la page où je vais vérifier, que le lever du soleil et le coucher sont aussi calculés. Du coup... Je voudrais savoir si cela se fait avec les mêmes données que pour l'angle d'élévation, mais avec bien évidemment d'autres calculs ?

Modifié 29 juin 2015 par LoarwennBZH

[julon2000]

J'ai fait un second calcul pour une date en décembre, le résultat est bon à 0,4° près, je suis assez content

Par contre je vois sur la page où je vais vérifier, que le lever du soleil et le coucher sont aussi calculés. Du coup... Je voudrais savoir si cela se fait avec les mêmes données que pour l'angle d'élévation, mais avec bien évidemment d'autres calculs ?

 

Tu as le double effet kisskool sur ce coup, ce sont les mêmes équations mais dans le sens inverse: tu poses que l'élévation vaut 0 et tu résous par rapport à hra et tu peux retrouver le temps local à partir de ça. Si tu utilises un programme pour les calculs tu peux aussi le faire par itération sur l'heure jusqu'à trouver celle donnant une élévation valant 0.

Modifié 29 juin 2015 par julon2000

[LoarwennBZH]

Je m'en doutais un peu, j'y avais pensé, mais merci de confirmer. Pour me faciliter la vie je voulais faire un truc sur excel... Mais je ne sais ni pourquoi ni comment, les valeurs des sinus sont fausses. Bon, ça s'affiche en radians, mais après conversion en degrés, c'est faux (ex : sin 3 me donne une bonne valeur en radians, mais 0,78° au lieu de 0,05°). Alors que les valeurs en radians sont bonnes. Bref je ne sais pas trop comment résoudre ça, à part tout laisser en radians et passer le résultat final en degrés ? Pour l'instant je pose tout à la main. Du moment que j'en ai le courage...

[LoarwennBZH]

Après moult difficultés je suis arrivé à l'hypothétique formule

cos (angle horaire) = [sin(élévation) + (sin(latitude)*sin(déclinaison))] / (cos(latitude)*cos(déclinaison))

 

Je suis allé chercher l'heure de coucher du soleil au 20 décembre 2015 : 17h 21min 48sec pour une élévation de -0.833°

J'ai donc pris "sin -0.833" pour mon "sin(élévation)", histoire de voir si je pouvais retrouver l'heure de coucher.

 

Ce qui me donne :

cos (angle horaire) = (sin-0.833 + sin44.916 * sin-23.45) / (cos44.916 * cos-23.45)

=> (-0.0145 + 0.281) / 0.649 = 0.411

angle horaire = 65°,732

 

J'ai repris à l'envers la formule de calcul de l'angle horaire avec pour résultat 65°,732, pour en déduire le temps solaire, avec x = temps solaire, j'ai :

15 * (x-12) = 65,732

=> x = 16,382

 

Puis la formule du temps solaire pour retrouver le temps local, avec y = temps local, j'ai :

y + (-59/60) = 16,382

y = 16,382 + 0.98 = 17,362

 

Ce qui me donne en heure : 17h 21min 43sec.

Soit une erreur de 5 secondes sûrement due aux divers arrondis, mais bon, ce n'est pas bien grave.

 

Mais le problème est que je n'arrive à trouver de cette façon que l'heure de coucher, pas l'heure de lever. J'ai fait le chemin inverse en partant de l'heure de lever le même jour

à savoir 8h 35min, pour trouver l'angle horaire, et à ma grande surprise j'obtiens le même que pour le coucher, mais en négatif ! Donc éventuellement je pourrais partir de l'idée

que pour trouver le coucher, il me faut tel angle horaire, et pour trouver le lever, il me suffit de mettre un joli - devant ce même angle horaire...

Mais ça me semble un peu aléatoire quand même, je préfèrerai avoir une explication pour ce - sorti de nulle part...

 

EDIT : En fait après avoir mis tout ça sous Excel, j'ai pu faire pas mal de tests, il s'avère que pour certaines dates je n'ai que 4 ou 5 minutes d'erreur, pour d'autres ça peut aller jusqu'à 20min. Bon, je m'en contenterai de toute façon, pas besoin de faire dans l'extrême précision.

Modifié 30 juin 2015 par LoarwennBZH