Algèbre et géométrie.

[muon]

Bonjour,

Voici un résultat obtenu de deux façons différentes

L'une par la géométrie habituelle et l'autre par la géométrie analytique.

Soit un triangle AMB rectangle en M. (Voir figure)

 

Solution géométrique.

Les triangles AMH et AMB sont semblables. Donc

MH/AH = HB/MH d'où MH² = AH.HB

Solution analytique :

Elle est donnée sur la figure.

L'intérêt de cette solution est qu'elle dispense de savoir ce que sont des triangles semblables car elle est a priori contenue dans l'équation d'un cercle centré à l'origine.

Amicalement.

Modifié 8 janvier 2017 par muon

['Bruno]

On peut faire le même genre de remarque avec une propriété bien connue des webastrams : les rayons parallèles à l'axe d'une parabole sont réfléchis en passant tous par un même point, appelé foyer. Je sais qu'on le démontre géométriquement, mais je ne sais absolument pas comment. Un jour j'ai fait les calculs avec les coordonnées, ça marche (mais c'est très laborieux !).

[jgricourt]

On peut faire le même genre de remarque avec une propriété bien connue des webastrams : les rayons parallèles à l'axe d'une parabole sont réfléchis en passant tous par un même point' date=' appelé foyer. Je sais qu'on le démontre géométriquement, mais je ne sais absolument pas comment. Un jour j'ai fait les calculs avec les coordonnées, ça marche (mais c'est très laborieux !).[/quote']

 

Lorsque j'étais au Lycée j'avais tenté en vain de démontrer la propriété de stigmatisme de la parabole et pourtant la démonstration est très simple.

 

Il faut d'abord chercher à calculer l'équation paramétrique de la tangente à la parabole en un point M donné (on connait l'équation de la parabole il suffit de calculer sa dérivée et on obtient le coefficient directeur de la droite cherchée, on apprend les dérivées en 1ere).

 

On définit ensuite les vecteurs : v (vecteur tangent à l'axe de symétrie = rayon incident), u (vecteur MF ou F = foyer = rayon réfléchi) et n (vecteur normal au point M). On démontre que les angles (n,v) et (u,n) sont égaux (cosinus de l'angle cherché = produit scalaire des vecteurs divisé par le produit des normes). L'égalité des angles montre que la propriété des miroirs réfléchissants appliqué localement au point M est respectée (égalité des angles des rayons incidents et réfléchis)

 

Donc on en déduit que le miroir parabolique est parfaitement stigmatique sur toute sa surface c’est à dire que les rayons incidents parallèles à son axe convergent tous vers le foyer F.

 

Note: j'ai pris le temps de formaliser ma démonstration dans un petit doc, ce sera peut être plus compréhensible pour d'autres lecteurs qui auraient du mal à suivre : lien

 

Une autre colle, démontrer que les rayon issus du centre du miroir sphérique sont tous renvoyés au centre du miroir (une propriété très important exploitée par le test de Foucault).

Modifié 11 janvier 2017 par jgricourt

[Toutiet]

"les rayon issus du centre du miroir sphérique sont tous renvoyés parallèles à l'axe optique"

 

QUOI....??!!!

[jgricourt]

...

Modifié 8 janvier 2017 par jgricourt

[Toutiet]

Ah bon, tu m'as fait peur...!!!!

[Toutiet]

On peut faire le même genre de remarque avec une propriété bien connue des webastrams : les rayons parallèles à l'axe d'une parabole sont réfléchis en passant tous par un même point' date=' appelé foyer. Je sais qu'on le démontre géométriquement, mais je ne sais absolument pas comment. Un jour j'ai fait les calculs avec les coordonnées, ça marche (mais c'est très laborieux !).[/quote']

 

La démonstration géométrique est beaucoup plus simple et immédiate : un simple croquis fait l'affaire

Modifié 8 janvier 2017 par Toutiet

[jgricourt]

Je ne sais pas si c'est vraiment plus simple mais je suis plus en confiance avec la géométrie analytique, j'ai surement du avoir un traumatisme avec la géométrie descriptive durant l'enfance ...

['Bruno]

Je ne doute pas que c'est simple, mais ça demande de réfléchir. Alors que la méthode calculatoire, pas besoin.

[Lolo]

Bonjour Bruno,

 

On peut faire le même genre de remarque avec une propriété bien connue des webastrams : les rayons parallèles à l'axe d'une parabole sont réfléchis en passant tous par un même point' date=' appelé foyer. Je sais qu'on le démontre géométriquement, mais je ne sais absolument pas comment. Un jour j'ai fait les calculs avec les coordonnées, ça marche (mais c'est très laborieux !).[/quote']

 

Regarde, c'est très joli !

 

Notons F le foyer et d la droite directrice de la parabole. Soit p une perpendiculaire quelconque à d. Notons D le point d'intersection des droites d et p. Notons m la médiatrice du segment [FD]. Notons P l'unique point d'intersection des droites m et p (elles sont bien sécantes car la droite FD n'est pas parallèle à la droite d). Remarquons que le point P appartient à la parabole car |PF|=|PD|=dist(P,d). Soit M un point quelconque de la droite m, autre que le point P. On a |MF|=|MD|>dist(M,d). Donc le point M n'appartient pas à la parabole. Donc la droite m est la droite tangente à la parabole au point P. Comme la droite m fait de plus des angles égaux avec les droites p et FP, la propriété voulue est démontrée : le rayon parcourant la droite p ricoche en P et va vers le foyer F.

 

Bonjour jgricourt,

 

Une autre colle, démontrer que les rayon issus du centre du miroir sphérique sont tous renvoyés au centre du miroir (une propriété très important exploitée par le test de Foucault).

 

Ce n'est pas une colle, c'est évident : le plan tangent à une sphère en un point est perpendiculaire au rayon de cette sphère issu de ce point.

Modifié 8 janvier 2017 par Lolo

[jgricourt]

Notons F le foyer et d la droite directrice de la parabole. Soit p une perpendiculaire quelconque à d. Notons D le point d'intersection des droites d et p. Notons m la médiatrice du segment [FD]. Notons P l'unique point d'intersection des droites m et p (elles sont bien sécantes car la droite FD n'est pas parallèle à la droite d). Remarquons que le point P appartient à la parabole car |PF|=|PD|=dist(P,d). Soit M un point quelconque de la droite m, autre que le point P. On a |MF|=|MD|>dist(M,d). Donc le point M n'appartient pas à la parabole. Donc la droite m est la droite tangente à la parabole au point P. Comme la droite m fait de plus des angles égaux avec les droites p et FP, la propriété voulue est démontrée : le rayon parcourant la droite p ricoche en P et va vers le foyer F.

 

Donc si je reprend ton explication, première partie tu reprend la définition même de la parabole [PF] = [PD] => ok.

Ensuite la définition de la médiatrice du segment [FD] impose que tout point de la droite (m) soit équidistant à la fois de de F et D => ok.

Un seul point de la droite (m) vérifie aussi la condition d'appartenance d'un point à la parabole (cité plus haut) mais j'ai dû mal à voir ce qui le prouve vraiment même si celà parait évident en regardant le schéma.

Admettons donc 1 seul point (le point P) de la droite (m) appartient à la parabole donc c'est forcement la tangente => ok

Ensuite l'égalité des angles ok je vois pourquoi.

 

Je préfère quand même mes équations je suis plus sûr de moi après ta démonstration est plus élégante.

 

Ce n'est pas une colle, c'est évident : le plan tangent à une sphère en un point est perpendiculaire au rayon de cette sphère issu de ce point.

 

Ok ce n'était pas vraiment une colle ...

[jgricourt]

Non petite erreur corrigée j'ai écris un peu vite ....

[Lolo]

Un seul point de la droite (m) vérifie aussi la condition d'appartenance d'un point à la parabole (cité plus haut) mais j'ai dû mal à voir ce qui le prouve vraiment même si celà parait évident en regardant le schéma.

 

C'est l'inégalité |MF|>distance(M,d) qui prouve que M n'est pas sur la parabole.

 

Cette inégalité se démontre en deux temps :

1) |MF|=|MD| car M est sur la médiatrice du segment [MD] ;

2) |MD|>distance(M,d) car D est sur la droite d mais n'est pas la projection orthogonale du point M sur cette droite.

 

Voici une autre propriété à démontrer : un rayon lumineux qui part d'un foyer d'une ellipse et ricoche sur cette ellipse passe toujours par l'autre foyer de cette ellipse.

Modifié 8 janvier 2017 par Lolo

[Toutiet]

#10 :

"Donc la droite m est la droite tangente à la parabole au point P"

 

La construction géométrique ne permet pas de l'affirmer...

['Bruno]

Merci Lolo pour la démonstration ! Elle n'utilise que des propriétés basiques (comme celles de la médiatrice) + la définition de la parabole à partir d'un point et d'une droite, donc le contrat est rempli. N'empêche, il y a pas mal d'étapes ; comme je disais ça nécessite de réfléchir...

 

La construction géométrique ne permet pas de l'affirmer..

C'est le raisonnement qui a permis de l'affirmer : cette droite passe par un point de la parabole (P), de plus tous les autres points de cette droite son en dehors de la parabole : c'est la définition d'une tangente.

[Toutiet]

Merci Lolo pour la démonstration ! Elle n'utilise que des propriétés basiques (comme celles de la médiatrice) + la définition de la parabole à partir d'un point et d'une droite' date=' donc le contrat est rempli. N'empêche, il y a pas mal d'étapes ; comme je disais ça nécessite de réfléchir...

 

 

C'est le raisonnement qui a permis de l'affirmer : cette droite passe par un point de la parabole (P), de plus tous les autres points de cette droite son en dehors de la parabole : c'est la définition d'une tangente.[/quote']

 

Pas forcément : cette droite peut très bien "traverser" la parabole en P, sans donc en être la tangente...

['Bruno]

Argh, tu as raison !!!!! Du coup en effet il semble manquer quelque chose...

[Lolo]

Bonjour Toutiet,

 

Si une droite rencontre une parabole en (au moins) un point, il n'y a que trois possibilités :

 

1. la droite est tangente à la parabole et ne la rencontre en aucun autre point ;
   
2. la droite est parallèle à l'axe de symétrie de la parabole et ne la rencontre en aucun autre point ;
   
3. la droite rencontre la parabole en un second point.
   

Dans le cas qui nous intéresse, la possibilité numéro 3 n'est pas possible (car il n'y a pas de second point d'intersection entre la parabole et la droite (ainsi que je l'ai démontré)) et la possibilité numéro 2 ne l'est pas non plus (car la médiatrice du segment considéré n'est pas parallèle à l'axe de symétrie de la parabole (j'y ai pensé, mais sans l'écrire (et d'ailleurs l'inégalité ne tiendrait pas non plus si la médiatrice avait pu être parallèle à cet axe de symétrie))). Il ne reste donc que la possibilité 1.

 

Ta remarque est intéressante, car il est vrai que si on n'avait pas affaire à une parabole, mais à une courbe en général, ce critère ne fonctionnerait pas.

 

Pour une parabole, ce critère est assez simple à visualiser. Pour une ellipse il est encore plus simple et il ne souffre pas d'un point 2. Pour une hyperbole, il est un peu plus compliqué : le point 2 concerne les droites strictement parallèles à une des asymptotes.

Modifié 9 janvier 2017 par Lolo

['Bruno]

Ah, réponse intéressante ! Encore faut-il prouver que si une droite non-tangente coupe la parabole en un seul point, alors elle est parallèle à son axe.

[Toutiet]

Non mais, attends,... on ne va pas redémontrer ici toutes les propriété de la parabole... !

Modifié 10 janvier 2017 par Toutiet

['Bruno]

Dans ce cas c'est dommage. Quand on fait les calculs avec les coordonnées, on n'a pas besoin de connaître la moindre propriété des paraboles. Et la démonstration de Lolo n'en utilisait aucune jusqu'à présent. Donc là, il y a besoin d'une propriété quand même, dommage, c'était trop beau.

[Lolo]

Ah' date=' réponse intéressante ! Encore faut-il prouver que si une droite non-tangente coupe la parabole en un seul point, alors elle est parallèle à son axe.[/quote']

 

OK, je relève le défi, le but étant de le faire de façon synthétique, et donc en particulier sans poser de repère et sans utiliser d'équations cartésiennes et toute l'artillerie lourde qui va avec cela (sinon, on pourrait dire qu'un polynôme du second degré tend plus vite vers l'infini qu'un polynôme du premier degré).

 

J'y réfléchis en cuisinant et je reviens vers vous.

[Lolo]

J'ai trouvé une preuve par l'absurde qui n'utilise à peu près que la définition de l'ellipse, l'inégalité triangulaire et le théorème de Thalès.

 

Je l'écris ce soir si j'ai le temps.

[jgricourt]

Dans ce cas c'est dommage. Quand on fait les calculs avec les coordonnées' date=' on n'a pas besoin de connaître la moindre propriété des paraboles. Et la démonstration de Lolo n'en utilisait aucune jusqu'à présent. Donc là, il y a besoin d'une propriété quand même, dommage, c'était trop beau.[/quote']

 

Euh si quand même, par ex dans ma démonstration de géométrie analytique (avec les coordonnées donc) j'utilise bien la définition de la parabole à savoir que la parabole est l'ensemble des points équidistants d'un point fixe (appelé foyer) et d'une droite fixe (appelé la directrice). C'est le minimum de partir de là pour démontrer les autres propriétés de la parabole qui nous sont chères.

[Lolo]

Voici la preuve par l'absurde promise.

 

Considérons un point P de la parabole et supposons qu’il existe une demi-droite α d'origine P qui soit à la fois incluse à l’intérieur de la parabole et non parallèle à l’axe de symétrie de la parabole. Notons p la distance de P au foyer F, qui est aussi la distance de P à la directrice d de la parabole. Notons d’ la parallèle à la directrice passant par le point P. Considérons un point A de α. Notons A’ et A’’ les projections orthogonales de A sur d’ et d respectivement. Admettons que A’ est strictement compris entre A et A’’ car les autres cas conduisent à une contradiction triviale. Comme α n’est pas parallèle à l’axe de symétrie, on |AP|>|AA’|. Notons k>1 le rapport |AP|/|AA’|. Pour tout point X de α, notons X’ et X’’ les projections orthogonales de X sur d’ et d respectivement. Par le théorème de Thalès, on a |XP|/|XX’|=|AP|/|AA’| et donc |XP|=k|XX’|. On a donc |XP|=k(|XX’’|-|X’X’’|)=k(|XX’’|-p). Or, par inégalité triangulaire, on a aussi |XF|>|XP|-|PF|=|XP|-p. On obtient donc |XF|>k(|XX’’|-p)-p. Ceci implique que |XF|>|XX’’| dès que |XX’’|>((k+1)p)/(k-1). On a obtenu notre contradiction car le point X est plus éloigné du foyer que de la directrice (et n'est donc plus à l'intérieur de la parabole) si il est choisi allez loin sur la demi-droite α.

 

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *

 

Dans ma preuve d'origine, il y a une opportunité permettant d'éviter de devoir faire tout ceci : lorsqu'on obtient l'inégalité |MF|>distance(M,d), plutôt que de simplement déduire de celle-ci que le point M n'est pas sur la parabole, on pourrait carrément déduire qu'il est à l'extérieur de la parabole. Du coup, vu que c'est valable pour tout point M de la médiatrice m (à l'exception du point P), on pourrait conclure immédiatement que la médiatrice est tangente à la parabole. C'est plus simple et plus élégant.

Modifié 10 janvier 2017 par Lolo

['Bruno]

(oups)

Modifié 11 janvier 2017 par 'Bruno

['Bruno]

Euh si quand même, par ex dans ma démonstration de géométrie analytique (avec les coordonnées donc) j'utilise bien la définition de la parabole à savoir que la parabole est l'ensemble des points équidistants d'un point fixe (appelé foyer) et d'une droite fixe (appelé la directrice). C'est le minimum de partir de là pour démontrer les autres propriétés de la parabole qui nous sont chères.

Dans la mienne, je suis parti d'une courbe d'équation y=x², que j'ai appelé parabole, et j'ai tout fait avec les coordonnées, sans utiliser aucune propriété des coniques. C'est complètement bourrin, mais ça marche.

 

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Lolo : super ! N'empêche que ça commence à être assez compliqué...

[Toutiet]

Lolo, tout a fait d'accord sur la seconde partie du #25 : on démontre aisément que la médiatrice ne peut être autre chose que la tangente en P à la parabole et que, par suite, le point P est le point de réflexion du rayon d'entrée parallèle à l'axe de la parabole, lequel est réfléchi vers le foyer.

Tu m'as coupé l'herbe sous le pied...!

 

Quant à ta première partie, il est tard et je suis "fermé"... (je verrai cela demain)

Modifié 10 janvier 2017 par Toutiet

[Lolo]

Dans la mienne' date=' je suis parti d'une courbe d'équation y=x², que j'ai appelé parabole, et j'ai tout fait avec les coordonnées, sans utiliser aucune propriété des coniques.[/quote']

 

Quand les bissectrices (intérieures et extérieures) d'un angle joue un rôle, c'est souvent bien de les prendre comme axes du repère. Admettons que le rayon arrive via la droite D d'équation x=a. Vu qu' il touche la parabole au point de coordonnées (a,a²) où la tangente à la parabole à un coefficient directeur égal à 2a, je propose de faire une translation du repère selon le vecteur de composante (a,a²), suivie d'une rotation du repère rotation d'angle θ tel que tan(θ)=2a. Ainsi, après avoir calculer les nouvelles coordonnées du foyer et le nouveau coefficient directeur m de la droite D, il restera juste à vérifier que le coefficient directeur de la droite passant par ce foyer et l'origine est l'opposé de m.

 

Le foyer est initialement en (0,1/4). Après la translation du repère, il passe en (-a,-a²+1/4). Après la rotation du repère, il passe en (x',y') où

x'=-a*cos(-θ)-(-a²+1/4)*sin(-θ)=-a/2*√(4a²+1)

et

y'=-a*sin(-θ)+(-a²+1/4)*cos(-θ)=1/4*√(4a²+1)

après quelques calculs passés sous le tapis (le symbole √ désigne la fonction « racine carrée »).

 

Le nouveau coefficient directeur de la droite passant par l'origine et le foyer vaut donc [1/4*√(4a²+1)]/[-a/2*√(4a²+1)]=-1/(2a). Or, le nouveau coefficient directeur de la droite D vaut tan(pi/2-θ)=1/tan(θ)=1/(2a). On a prouvé ce qu'on voulait : ils sont opposés l'un de l'autre.

Modifié 11 janvier 2017 par Lolo

[bongibong]

Dans ma preuve d'origine, il y a une opportunité permettant d'éviter de devoir faire tout ceci : lorsqu'on obtient l'inégalité |MF|>distance(M,d), plutôt que de simplement déduire de celle-ci que le point M n'est pas sur la parabole, on pourrait carrément déduire qu'il est à l'extérieur de la parabole. Du coup, vu que c'est valable pour tout point M de la médiatrice m (à l'exception du point P), on pourrait conclure immédiatement que la médiatrice est tangente à la parabole. C'est plus simple et plus élégant.

Oui c'est ce que je me suis dit, la parabole délimite l'ensemble des régions où on a :

- |MF|>distance(M,d)

- |MF|<distance(M,d)

 

Franchir la parabole, ça revient à passer de |MF|>distance(M,d) à |MF|<distance(M,d) (en passant par l'égalité).

 

Du coup, comme en parcourant la droite m, tu as |MF|>= distance(M,d) alors... elle est bien tangente.

 

Bruno, juste une objection par rapport à ta démo, elle marche seulement pour une parabole particulière : y=x²

Je pense que pour qu'elle marche en générale, il faudrait la démontrer pour y = ax² +bx +c

(mais par un changement de variable adéquat, tu peux te ramener à y=x² du coup ta démo suffirait). Et du coup pour un cas général, on peut toujours trouver un système d'axe, où l'axe de la parabole est verticale.

 

Moi aussi je préfère les démonstration géométrique... (bon c'est ma prof de 1èreS et Tale S qui m'a contaminé... elle signait les énoncé de devoir surveillé C de Z pour ceux qui connaissent).