Algèbre et géométrie.

['Bruno]

Bruno, juste une objection par rapport à ta démo, elle marche seulement pour une parabole particulière : y=x²

Il faut bien sûr se placer dans un repère où la parabole a cette équation, et un tel repère existe toujours (O sera l'intersection de la parabole avec l'axe, Oy sera l'axe de la parabole, Ox la perpendiculaire à Oy, ce qui donne une parabole d'équation y = ax² dans ce repère, et ensuite on choisir des vecteurs unitaires afin que a = 1).

 

Ah, ben c'est ce que tu dis ensuite !

 

(Et moi aussi je préfère les démonstrations géométriques, mais je ne suis pas doué pour les faire.)

[Fred_76]

Question à 2 balles. En géométrie projective, on considère que deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini (et il s'agit du même point dans les deux directions).

 

Peut-on dire qu'en ce point, elles se coupent à angle droit ?

[Toutiet]

Un petit dessin peut-être, pour préciser ta pensée...

[Lolo]

Question à 2 balles. En géométrie projective, on considère que deux droites parallèles se coupent en un point à l'infini (et il s'agit du même point dans les deux directions).

 

Peut-on dire qu'en ce point, elles se coupent à angle droit ?

 

Réponse rapide : non.

 

 

 

Réponse plus longue

 

Un espace projectif de dimension n se construit aisément comme une certaines extensions d'un espace affine de dimension n (ce n'est pas la seule construction possible) : on unit à l'ensemble des points de l'espace affine (ils sont appelés les points propres), les directions de l'espace vectoriel sur lequel il est modelé (elles sont appelés les points impropres).

 

Dans un plan, considérons deux droites parallèles distinctes a et b. Elles ne se coupent pas. Toutefois, si on construit un espace projectif sur ce plan, on peut considérer deux droites a' et b' au sens projectif. Quels sont les points de ces droites ? Et bien, a'=a∪{u} et b'=b∪{v} où u et v sont les directions vectorielles respectives de a et b. Comme a et b sont parallèle, u=v. Donc a' et b' se coupent en u (un point impropre).

 

Pour parler d'espace projectif, il n'y a nullement besoin d'enrichir avec un produit scalaire <.,.> l'espace vectoriel sur lequel l'espace affine est modelé. Or, la notion d'angle relève de ce produit scalaire (et la mesure d'un angle dépend du produit scalaire choisi). La question à se poser est alors de savoir comment gérer ce produit scalaire sur un espace projectif. Cela relève d'une définition et donc tu peux faire ce que tu veux tant que ta définition est licite. Mais à quoi bon faire des choses non naturelles ? Il est naturel de dire que l'angle entre a' et b' est l'angle entre u et v. Mais comme cos(angle)=<u,v>/(|u|*|v|)=<u,u>/(|u|*|u|)=|u|^2/|u|^2=1 l'angle entre a' et b' ne peut être que nul et ne peut donc pas être droit.

[Fred_76]

Merci Lolo, maintenant c'est clair !

 

Toutiet, j'ai essayé de faire un dessin, mais j'ai pas trouvé de feuille assez grande...

[Lolo]

Toutiet, j'ai essayé de faire un dessin, mais j'ai pas trouvé de feuille assez grande...

 

Tu pouvais aussi dire que ton dessin ne tenait pas dans la marge (en clin d'œil à Fermat et son plus célèbre théorème ).

[Toutiet]

Merci Lolo, maintenant c'est clair !

 

Toutiet, j'ai essayé de faire un dessin, mais j'ai pas trouvé de feuille assez grande...

 

Comme réponse à la question que tu as posée, on aurait pu répondre aussi que "deux rails de chemin de fer parallèles à la gare de Lyon, à Paris, restent tout le temps parallèles, même à la gare St Charles de Marseille !"

(Ça, c'est plus concret...)