Les casse-têtes de Lolo

[Lolo]

Zetajanus et Gaétan ont envi de s'amuser avec des petits jeux de réflexions. Alors, j'ai décidé de créer une petit rubrique de casse-têtes.

Le premier sera bientôt là.

[Lolo]

Casse-tête 1.

 

Trouver le plus petit nombre entier strictement positif de la forme x² (x est entier) qui possède exactement 18 diviseurs entiers strictement compris entre 0 et x.

 

N.B.: x² peut comporter d'autres diviseurs plus grand ou égaux à x.

[sky35]

Ca commence fort !!!

[Thana]

[Lolo]

Il faut bien occuper Gaétan et Zeta! Ils l'ont demandé! mdrrrrrrrrr

[Gaétan]

Y a moyen de trouver sans faire un programme ?

[Proteus]

Houps ! Excusez moi, je me suis trompé....

 

:? :? :?

 

[Lolo]

Y a moyen de trouver sans faire un programme ?

 

Bien sûr, sinon ce ne serait pas un joli problème. On peut trouver avec un raisonnement rapide sans connaître la réponse à l'avance. Mais le raisonnement, bien que étant rapide et n'étant pas basé sur des connaissance, est difficile à trouver.

 

Je donne une façon de voir les choses: il faut penser à la décomposition en facteurs premiers.

[lydie]

C'est un petit casse-tête, facile à comprendre, très clair et surtout très dur!!!!!!! :shock: :shock: Mais il faut dire que vous étes calé en maths j'en suis pas encore là!!!!!!!!! Mais bon courage pour ceux qui vont essayer de le chercher!!!!

[Gaétan]

On ne peux pas dire que je cale vu que j'ai 4 pages remplies de nombres premiers, combinaisons de nombres premiers et pleins de cochonneries. J'avance dans le vide. Si je pouvais être bloqué quelque part peut-être que j'avancerais mieux.

Bon, il faut que je trouve l'astuce.

[lydie]

Bon courage!!!!!! Tu fais quoi comme études toi ( Gaétan)??? Dans les maths???

[Gaétan]

Je fais des études d'ingénieur civil physicien.

[zetajanus]

Pourquoi pas un raisonnement par l'inverse, apres tout souvent pour resoudre des probalité ont trouve la probalité que l'evement ne se produise pas...alors faut peut etre raisonner pareil ???

[Gaétan]

Oups, j'ai mal lu un truc. X est non compris.

[lydie]

Et ba voilà ta trouvé ta photo!!!!!! Ca à l'air dur ce que tu fais mais alors c'est normal que tu soit calé en maths et en physique!!!!!!!!!!!!!!!

[Lolo]

On ne peux pas dire que je cale vu que j'ai 4 pages remplies de nombres premiers, combinaisons de nombres premiers et pleins de cochonneries. J'avance dans le vide. Si je pouvais être bloqué quelque part peut-être que j'avancerais mieux.

Bon, il faut que je trouve l'astuce.

 

Je vais décomposer le problème en plusieurs parties.

 

1) Combien de diviseurs le nombre 2² X 5³ possède-t-il?

 

2) Combien de diviseurs le nombre 2^a X 3^b X 5^c X 7^d X 11^e possède-t-il? (remarque: j'ai donné un nombre sous forme factorisée et les symbole ^ veulent dire exposant).

 

3) x² a-t-il plus de diviseurs qui plus grands que x ou qui sont plus petits que x?

 

4) Déduire le nombre de diviseurs de x² du point 3) et de l'énoncé.

 

5) Déduire la forme que doit prendre x² du point 4) et du point 2)

 

6) Que vaut x²? (pour être le plus petit possible, tout en ayant la forme du point précédant)

 

 

Bon courage!!!!!! Tu fais quoi comme études toi ( Gaétan)??? Dans les maths???

 

Tu es en quelle année Lydie? Précise aussi ton pays car la façon de compter varie d'un pays à l'autre.

[Bleu]

J'en ai une pour Lolo...

 

Démontres moi ça :

 

Si n est supérieur à 2, il n'existe pas d'entiers x, y et z non nuls pour lesquels :

 

x^n + y^n = z^n

 

 

Si tu me démontres ça ici, tu as mon respect à vie! 8)

[Gaétan]

Je sais plus, je suis perdu. J'obtiens qu'il n'est pas possible d'avoir tout juste 18 diviseurs avec plusieurs nombres premiers.

J'ai donc, x² = 2^38. Mais y a plus petit évidement. J'ai pas trouvé l'astuce.

[lydie]

Je voulais dire: "ta trouvé ta FAUTE!!" Je suis en 3eme, j'ai pas du tout vôtre niveau!!!!!!! J'habite en France mais à ce niveau là (le mien) je pense pas qu'il y ai une difference, non???

Vive les bossssss

[Lolo]

J'en ai une pour Lolo...

 

Démontres moi ça :

 

Si n est supérieur à 2, il n'existe pas d'entiers x, y et z non nuls pour lesquels :

 

x^n + y^n = z^n

 

 

Si tu me démontres ça ici, tu as mon respect à vie! 8)

 

Je l'aurai bien démontrer, mon cher TeTeC, mais le forum n'est pas assez grand pour accueillir ma démonstration!

 

Pour ceux qui n'ont pas compris, j'ai écrit cette phrase pour faire une analogie à la réelle histoire de ce problème.

En fait, un grand mathématicien nomé Fermat a un jour, alors qu'il était en train de rédiger un théorème, mis dans la marge qu'il avait aussi réussi à démontrer le problème que TeTeC vient de poser, mais qu'il n'y avait pas assez de place dans la marge en question pour écrire la démonstration.

 

Personne n'a jamais réussi à (re)résoudre ce problème durant très longtemps. On a donc supposé que Fermat avait cru avoir une démonstration mais que celle-ci devait avoir une faille (je précise en passant que Fermat était quelqu'un de très rigoureux qui se trompaient très peu dans ses écrits). Le problème en question est donc devenu une conjecture en attendant que quelqu'un trouve une démonstration ou trouve un contre exemple. C'est seulement il y a quelques années que André Willes a trouver la solution. Sa solution fait tout un bouquin! Seules quelques dizaines de mathématiciens au monde sont capables de comprendre la totalité de ce qu'il y a dans ce bouquin, tellement c'est compliqué.

[Lolo]

Je sais plus, je suis perdu. J'obtiens qu'il n'est pas possible d'avoir tout juste 18 diviseurs avec plusieurs nombres premiers.

J'ai donc, x² = 2^38. Mais y a plus petit évidement. J'ai pas trouvé l'astuce.

 

Pourquoi 2^38? Pourquoi 38? :wink:

Mais, c'est correcte que tu ne peux pas avoir 18 diviseurs (strictement entre 0 et x) avec plusieurs nombres premiers. Et cela est une bonne partie de la solution.

[sky35]

On s'emelle un peu les pinceaux avec tous ses nombres...

[Lolo]

Je voulais dire: "ta trouvé ta FAUTE!!" Je suis en 3eme, j'ai pas du tout vôtre niveau!!!!!!! J'habite en France mais à ce niveau là (le mien) je pense pas qu'il y ai une difference, non???

Vive les bossssss

 

En France, vous compter 4,3,2,1,terminale avec le bac

En Belgique en compte 1,2,3,4,5,6 et on n'a pas de bac (mais on termine un an plus tard).

Donc, 3ème en France= 2ème en Belgique, en principe.

Et bien, tu as les connaissances pour résoudre ce problème. :wink:

Mais bon, c'est un problème assez dur quelque soit l'âge et (pratiquement) personne de ton âge ne saurait le résoudre par manque de feeling et d'expérience. :wink:

[lydie]

En effet vaut mieux pas commencer à faire la démonstration!!!!! Bon je vous laisse dans vos calculs hyper compliqué mais il faut dire que c'est de votre niveau!!!! En cours j'en suis qu'aux équations à 2 inconnues et les vecteurs alors....

[Gaétan]

1) Combien de diviseurs le nombre 2² X 5³ possède-t-il ?

2²*5³ = 500, et possède 11 diviseurs qui sont, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, et 500. Mais je vois pas comment généraliser.

 

Oué, je viens de voir un truc.

11 = (2+1)*(3+1) - 1.

Et c'est comme ça qu'on généralise.

Pour le 2), on a (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)... - 1 = nombre de diviseurs.

Mais le problème, c'est qu'il y en a bien plus pour x².

[Lolo]

1) Combien de diviseurs le nombre 2² X 5³ possède-t-il ?

2²*5³ = 500, et possède 11 diviseurs qui sont, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100, 125, 250, et 500. Mais je vois pas comment généraliser.

 

Oué, je viens de voir un truc.

11 = (2+1)*(3+1) - 1.

Et c'est comme ça qu'on généralise.

Pour le 2), on a (a+1)*(b+1)*(c+1)*(d+1)... - 1 = nombre de diviseurs.

Mais le problème, c'est qu'il y en a bien plus pour x².

 

Attention Gaétan, 1 est un diviseur de tous les nombres (dans les conventions habituelles).

Mais ta généralisation est juste (selon ta convention) et utile (mais prends là selon ma convention).

[Gaétan]

Oué, c'est juste. Je l'ai éliminé des nombres premiers mais j'ai oublié de le reconsidérer.

[Gaétan]

Ah, j'ai dit un truc de correct plus haut.

Alors j'ajoute 1 et j'ai x² = 2^36. :wink:

[Lolo]

C'est la solution! :wink:

Bravo!

 

Je vais écrire un second casse-tête dans quelque minute.

[Gaétan]

Mais j'ai pas su me prouver que ça marche pas avec plusieurs nombres premiers. Sinon, c'est ma première idée. J'aurais du la balancer y a des heures. :wink: En plus, à ce moment là j'avais même pas encore pensé à enlever 1.