Les casse-têtes de Lolo

[Gaétan]

J'ai du commettre une erreur dans mes calculs pour f(f(x)) = x

N0 = 1

N1 = 10!/(8!*2!)

N2 = 10!/(6!*(2!)²) * 1/2!

N3 = 10!/(4!*(2!)³) * 1/3!

N4 = 10!/(2!^5) * 1/4!

N5 = 10!/(2!^5) * 1/5!

Et je trouve 9496 au lieu de 9028.

Je cherche l'erreur.

[Lolo]

Casse-tête 13 et 14.

 

Un chien enragé poursuit un homme et est sur le point de le croquer quand l'homme saute dans un grand lac circulaire.

Le chien ayant peur de sauter dans le lac, il va attendre que l'homme sorte pour le mordre. Le chien est très rusé et va chercher à se positionner à chaque fois à l'endroit du périmètre du lac qui est le plus proche de l'homme. L'homme est sauvé si et seulement si il arrive à sortir du lac là où le chien n'est pas.

 

Casse-tête 13 (interdit à Gaétan ):

L'homme peut-il s'en sortir si il nage au tiers de la vitesse de course du chien? Si oui, comment?

 

Casse-tête 14 (autorisé à Gaétan):

L'homme peut-il s'en sortir si il nage au quart de la vitesse de course du chien? Si oui, comment?

[Gaétan]

J'ai effectivement fait une erreur de" calcul, les deux raisonnements donnent 9496 fonctions.

[Gaétan]

Casse tête 13

Mais euh...

 

Casse tête 14

L'homme nage jusqu'au centre et le chien ne bouge pas. Le chien ne bouge que quand l'homme passe au delà du centre. L'homme va nager en zigzag de manière a rétablir l'axe chien-centre-homme. Ainsi le chien tourne en rond pour rien alors que l'homme se rapproche du bord. Mais ceci n'est plus possible quand la vitesse angulaire de l'homme autour du centre devient inférieur à celle du chien autour du centre. Les vitesses angulaires sont égale quand le chien est à R du centre et que l'homme est à R/4 du centre.

A ce moment, l'homme est à 3R/4 du bord et le chien à piR de là où va sortir l'homme.

Pour que l'homme soit sauf, il faut que

piR/Vc > 3R/4Vh

où Vc est la vitesse du chien et Vh celle de l'homme.

<=> Vh/Vc = 1/4 > 3R/4piR <=> 1 > 3/pi.

Cette inégalité étant vérifiée, l'homme réussit à sortir de l'eau sans se faire bouffer par le chien.

[Bleu]

Les autorisations Gaétanïenne sont intéressantes. J'ai donc l'honneur de vous annoncer notre nouvelle échelle de mesure spécial Webastro : l'échelle de Gaétan.

[Astrosteph]

Pour le 13, je vais tenter un raisonnement plus simple... le principe de départ de gaétan est bon si l'homme est au milieu du lac puis nage en direction opposé à la position du cabot. L'homme parcours r (le rayon du lac) et le toutou doit cavaler sur un demi-cercle de rayon r, soit une distance Pi.r. Si l'homme nage au tiers de la vitesse de course du cabot, il est bon, au quart il a intérêt à trouver autre chose vite fait...

 

Raisonnement=> l'homme met t pour parcourir r, cabot met t/3 pour parcourir r. Or cabot doit parcourir Pi.r, soit pi.t/3 > t, homme sauvé.

 

Si cabot met t/4, alors Pi.T/4 <t et homme croqué.

 

Question pour le cabot dans ce cas: l'homme est-il bon?

 

Mais j'ai la réponse du 13.b.. c'est possible même si cabot cavale 4x vitesse de nage, mais pas en nageant suivant un rayon mais en parcourant un arc de cercle de centre r/2 médian au rayon diamétralement opposé à cabot, dans le sens opposé de la course de cabot.

[Lolo]

Casse tête 13

Mais euh...

 

Casse tête 14

L'homme nage jusqu'au centre et le chien ne bouge pas. Le chien ne bouge que quand l'homme passe au delà du centre. L'homme va nager en zigzag de manière a rétablir l'axe chien-centre-homme. Ainsi le chien tourne en rond pour rien alors que l'homme se rapproche du bord. Mais ceci n'est plus possible quand la vitesse angulaire de l'homme autour du centre devient inférieur à celle du chien autour du centre. Les vitesses angulaires sont égale quand le chien est à R du centre et que l'homme est à R/4 du centre.

A ce moment, l'homme est à 3R/4 du bord et le chien à piR de là où va sortir l'homme.

Pour que l'homme soit sauf, il faut que

piR/Vc > 3R/4Vh

où Vc est la vitesse du chien et Vh celle de l'homme.

<=> Vh/Vc = 1/4 > 3R/4piR <=> 1 > 3/pi.

Cette inégalité étant vérifiée, l'homme réussit à sortir de l'eau sans se faire bouffer par le chien.

 

Très bien.

 

Le casse-tête 13 est donc résolu par la même occasion, mais si quelqu'un trouve une autre solution il peut là mettre.

[Astrosteph]

Ch'suis de la crotte moi ou quoi?

[Gaétan]

Mais j'ai la réponse du 13.b.. c'est possible même si cabot cavale 4x vitesse de nage, mais pas en nageant suivant un rayon mais en parcourant un arc de cercle de centre r/2 médian au rayon diamétralement opposé à cabot, dans le sens opposé de la course de cabot.

Ca, ça ne marchera pas.

Le chien doit parcourir une distance de 3piR/2 et l'homme piR/2

Il faudrait que 3piR/2Vc > piR/2Vh, mais ce n'est pas possible car

Vh/Vc = 1/4 > 2piR/6piR <=> 1/4 > 1/3 ce qui est faux.

le mieux est de zigzager en maintenant le chien, le centre, et l'homme aligné jusqu'à 3R/4 du bord, puis de foncer en ligne droite car en deçà de 3R/4 du bord, tout mouvement transversale fait perdre du temps par rapport au chien.

[Lolo]

Excuse moi, Astrosteph, je n'avais pas vu ton message.

 

Ta solution du 13 est celle que j'attendais. Bravo. :wink:

 

Je ne te suis pas sur le coups de l'arc de cercle de rayon R/2... :?

[Gaétan]

J'aimerais bien te poser des problèmes aussi Lolo, mais j'en ai pas. J'ai des positions d'échecs, mais t'as déjà résolu la plus difficile (enfin non y en a sûrement des plus difficile)..

[Lolo]

Mais j'ai la réponse du 13.b.. c'est possible même si cabot cavale 4x vitesse de nage, mais pas en nageant suivant un rayon mais en parcourant un arc de cercle de centre r/2 médian au rayon diamétralement opposé à cabot, dans le sens opposé de la course de cabot.

Ca, ça ne marchera pas.

Le chien doit parcourir une distance de 3piR/2 et l'homme piR/2

Il faudrait que 3piR/2Vc > piR/2Vh, mais ce n'est pas possible car

Vh/Vc = 1/4 > 2piR/6piR <=> 1/4 > 1/3 ce qui est faux.

le mieux est de zigzager en maintenant le chien, le centre, et l'homme aligné jusqu'à 3R/4 du bord, puis de foncer en ligne droite car en deçà de 3R/4 du bord, tout mouvement transversale fait perdre du temps par rapport au chien.

 

Oui, c'est bien ce qui me semblait. Cela ne marche pas avec le demi cercle.

[Lolo]

J'aimerais bien te poser des problèmes aussi Lolo, mais j'en ai pas. J'ai des positions d'échecs, mais t'as déjà résolu la plus difficile (enfin non y en a sûrement des plus difficile)..

 

Vas-y, tu peux poses tes problèmes d'échecs. Mais, je les regarderais après le film sur RTL :wink: ....dont j'ai déjà raté le début peut-être... :x

[Gaétan]

Tu les trouves où tout ces problèmes. Tu les inventes tous au fur et à mesure ?

[Lolo]

Casse-tête 15 (TRES DIFFICILE).

 

Avec le problème du chien et du lac (confer casse-têtes 13 et 14), si l'homme nage à la vitesse de 1 m/s, quelle est la vitesse minimale à laquelle doit courrir le chien pour pouvoir croquer, avec certitude, l'homme à sa sortie de l'eau?

[Gaétan]

J'ai un minorant pour la vitesse du chienqui vient du problème 14.

Si Vh/Vc > 3R/4piR

<=> Vc < 4pi/3 Vh

alors l'homme est sauf.

Le chien doit au moins aller à 4,18879 m/s.

 

Pour trouver la valeur précise du minimum de la vitesse du chien, il fois rechercher la trajectoie optimale du nageur. J'ai envie de dire que les directions des vitesses de l'homme te du chien doivent constament rester perpendiculaire. Je pense que ça doit définir la trajectoire optimale. Et bien sûr, la position de départ considérée est le chien, le centre et l'homme alligné avec l'homme à R/4 du centre.

Je vais voir ce que ça donne.

[Lolo]

Tu les trouves où tout ces problèmes. Tu les inventes tous au fur et à mesure ?

 

En général, je les ai vu par ci par là dans le passé et je les modifie à ma sauce.

[Gaétan]

J'ai envie de dire que les directions des vitesses de l'homme te du chien doivent constament rester perpendiculaire. Je pense que ça doit définir la trajectoire optimale.

Là, j'ai encore une fois dit une connerie. Dans ce cas, l'homme nage en rond. :)

J'y réfléchirais demain. :wink:

[Lolo]

J'y réfléchirais demain. :wink:

 

Moi aussi (j'ai pas la solution).

[Gaétan]

J'ai été rechercher un casse tête que j'avais déjà posté y a quelque temps.

Au zoo, 25 lions savants sont dans une cage. Je jette un morceau de viande au mileu de la cage au nez des lions. Sachant que,

 

1°) Quand un lion mange un morceau de viande, il s'endort pour digérer et devient lui-même un morceau de viande pour les autres.

2°) Un lion ne mangera de morceau de viande que s'il est certain de ne pas se faire manger lui-même.

3°) Ce sont des lions savants. Ils ne vont pas se tromper dans leur raisonnement.

 

Que va-t-il se passer ?

Il est pas aussi compliqué que les tiens, mais je l'aime bien quand même. ;-)

[_Lune_]

heu gaetan je l'ai toujours pas compris le tiens alors pouette pouette!mdrrr

 

menfin ceux de Lolo, euh.. je vous les laisse!mdrrrr

[Lolo]

J'ai été rechercher un casse tête que j'avais déjà posté y a quelque temps.

Au zoo, 25 lions savants sont dans une cage. Je jette un morceau de viande au mileu de la cage au nez des lions. Sachant que,

 

1°) Quand un lion mange un morceau de viande, il s'endort pour digérer et devient lui-même un morceau de viande pour les autres.

2°) Un lion ne mangera de morceau de viande que s'il est certain de ne pas se faire manger lui-même.

3°) Ce sont des lions savants. Ils ne vont pas se tromper dans leur raisonnement.

 

Que va-t-il se passer ?

Il est pas aussi compliqué que les tiens, mais je l'aime bien quand même. ;-)

 

Je l'avais déjà lu sur le forum. C'est un problème amusant.

Un lion va manger la morceau de viande car ils sont 25 et 25 est impair.

Ensuite, ils seront 24 (nombre pair) et donc aucun lion ne mangera (pour ne pas être manger ensuite).

 

Bien sur, il faut démontrer cela en partant du cas de un lion, suivis du cas de deux lions, ...

[Gaétan]

Ouais, c'est ça.

Le raisonnement est là, limpide, mais ça fait quand même bizarre qu'il se fasse pas bouffer. Sont trop malins ces lions.

[Lolo]

Ouais, c'est ça.

Le raisonnement est là, limpide, mais ça fait quand même bizarre qu'il se fasse pas bouffer. Sont trop malins ces lions.

 

Je connais un autre problème fort semblable.

Je le poste maintenant (le temps de rédiger).

[Lolo]

Casse-tête 16.

 

Un lundi matin, un professeur de mathématique dit à ses élèves qu'il fera une interrogation surprise un jour de cette semaine, et que ce jour là, les élèves se seront levés le matin sans être certains que l'interrogation aura lieu le jour même. Sachant que le professeur a cours lundi, mardi, mercredi, jeudi et vendredi avec ses élèves, quel jour l'interrogation aura-t-elle lieu?

[Bleu]

On élimine le vendredi... L'interro peut-il être donné le lundi?

[Astrosteph]

Bien TeTeC! Ce ne peut être le vendredi puisque les élèves sauraient que l'interrogation aura lieu ce jour si elle n'a pas eu lieu avant.

 

Ce qui élimine aussi le jeudi, pour la même raison, et donc le mercredi et donc le mardi, reste le lundi.

 

Salaud de prof

[Gaétan]

Je crois que c'est ça aussi.

[Bleu]

Bien TeTeC! Ce ne peut être le vendredi puisque les élèves sauraient que l'interrogation aura lieu ce jour si elle n'a pas eu lieu avant.

 

Ce qui élimine aussi le jeudi, pour la même raison, et donc le mercredi et donc le mardi, reste le lundi.

 

Salaud de prof

 

Wouai! J'en ai trouvé un tout seul! :wink:

 

Plus facile je vous l'accorde que vos histoires de piscine circulaires...

 

(Hem, ça demande confirmation tout de même)

 

++

[Gaétan]

Je crois que c'est ça aussi.

Je réfléchirai demain parce que là je suis fatigué.