E=mc2

[Lionel Sabot]

Bonjour à tous.

C'est peut-être pas le bon forum... oups mais

Voilà un truc qui me turlupine. On est d'accord E=MC2. Mais comment peut-on élever C au carré puisque la vitesse de la lumière est finie (d'après ce que je comprend) et que (si j'ai bien compris) on ne peut pas aller plus vite que la lumière.

Si vous pouvez me deturlupiner la tête...

Merci

LeLio

Modifié 30 octobre 2017 par Lionel Sabot

[camus1440]

C'est physiquement impossible oui, mais en maths ? Dans cette équation, il est nécessaire de l'élever au carré afin d'obtenir un résultat fort élevé, exprimé en joules.

 

Ceci étant dit, je ne suis pas mathématicien et d'autres t'expliquer ont sûrement mieux comment on en vient à ce résultat dans cette équation.

[lock042]

Tu peux avoir une équation avec c à la puissance 10 sans pour autant violer le principe de l'invariance de la vitesse de la lumière. Cela ne change pas la valeur de c que de l'élever au carré.

 

Puis une vitesse au carré ce n'est pas une vitesse. C'est des m2/s2.

Modifié 30 octobre 2017 par lock042

[SULREN]

Bonjour,

Si le carré pose problème on peut le faire disparaître en écrivant:

c=(E/m)^1/2 en ajoutant des restrictions sur le signe.

[Daniel Rosier]

Oui ou tu peux aussi dire:

 

E=mc x c

 

c étant une vitesse :

 

E=p x c où p est la quantité de mouvement.

 

Comme dit plus haut, c2 n'est pas une vitesse, c'est juste mathématique.

 

C'est comme pour l'accélération :

 

a=d/t2 le temps au carré correspond à quoi concrètement et physiquement ??? C'est mathématique. d/t = v, on peut dire:

 

a=v/t ah là oui on comprend mieux: l'accélération est une variation de la vitesse au cours du temps.

 

Daniel

[Chtit Bilou]

Salut le Lio !

Surtout ne te tracasse pas la tête !!!

Ce n'est qu'une formule ... c^2 n'est plus une vitesse ...

 

Bon ciel !

[Fred_76]

Il ne faut pas se mettre la tête au carré pour ça !

 

De toutes façons, la Terre est plate et la théorie e=mc2 n'est qu'un fake inventé par des scientifiques de la NASA pour détourner les gens de la réalité : Nibiru va arriver et faire disparaître l'humanité Mardi.

Modifié 30 octobre 2017 par Fred_76

[Daniel Rosier]

Attention fred_76 parcqu' à force de le répéter à tout bout de champ, tu vas finir par le croire..😄

[Fred_76]

Attention fred_76 parcqu' à force de le répéter à tout bout de champ, tu vas finir par le croire..😄

 

Mince, tu crois ?

[Daniel Rosier]

Ben comme toi..

[joloize]

Oui, l'équation E=mc2 n'est qu'une relation entre l'énergie, la masse et la vitesse d'un photon (particule de lumière).

 

Son principal intérêt est de mettre en valeur que face à la célérité (le c, élevé ici au carré), la moindre variation de masse dégage une énergie conséquente (bombe H, par exemple).

 

Cette équation, mise en lumière (si j'ose m'exprimer ainsi !) par Albert Einstein, serait en fait l'oeuvre d'un français : Henri Poincaré (mais le sujet demeure une source de polémiques).

 

Si c2 peut apparaître comme une constante, il n'en est rien car la formule peut être appliquée à d'autres corps que le photon. D'où, d'ailleurs, l'idée du tachyon (un corps plus rapide que le photon) qui reste une vue de l'esprit née dans les brumes de cerveaux hyper-développés. Ou encore dans le domaine gravitationnel où la formule peut avoir un intérêt (nébuleux pour un astronome amateur, cela va de soi !).

 

Je ne suis pas certain de t'avoir déturlupiner (je pense même que c'est le contraire). Désolé !

['Bruno]

E n'est pas une vitesse mais une énergie. La vitesse limite ne s'y applique pas.

[bongibong]

Voilà un truc qui me turlupine. On est d'accord E=MC2. Mais comment peut-on élever C au carré puisque la vitesse de la lumière est finie (d'après ce que je comprend) et que (si j'ai bien compris) on ne peut pas aller plus vite que la lumière.[/Quote]Comme dit précédemment, c² n’est pas une vitesse, c’est une constante (puisque "c" est constant), qui permet de relier deux grandeurs : la masse en kg et l’énergie en Joule.

Cela explique par exemple qu’une toute petite quantité de masse peut être convertie en une très grande quantité d’énergie, c’est le principe même des réacteurs nucléaires.

 

Si la valeur numérique te gêne, il suffit de convertir la vitesse de la lumière (qui s’exprime ici en mètre par seconde) dans une autre unité (où la vitesse de la lumière vaut 1 et du coup 1² = 1...), et dans ce cas tu as une unité d’énergie : le kg c² où 1 kg c² = 9e16 joule.

 

En fait c’est une équation simplifiée pour avoir l’énergie au repos, l’équation plus complète est : E = mc² / racine (1-v²/c²)

C’est ici que tu vois que plus v s’approche de c, et plus E se rapproche de l’infini.

C'est comme pour l'accélération :

 

a=d/t2 le temps au carré correspond à quoi concrètement et physiquement ??? [/Quote]Pour être plus précis :

a = d²d/dt² (où d est une fonction de la vitesse parcourue dans le cas d’un mouvement rectiligne, à ne pas confondre avec l'opérateur d²/dt² qui est l'opérateur de différentiation deux fois par rapport au temps).

Cela correspond à une variation de la vitesse, c’est une accélération (bon je viens de voir que tu le précises juste après).

C'est mathématique. d/t = v, on peut dire:

 

a=v/t ah là oui on comprend mieux: l'accélération est une variation de la vitesse au cours du temps.

En effet, ici dans le cas d’une accélération uniforme, avec v(t=0) = 0

Oui, l'équation E=mc2 n'est qu'une relation entre l'énergie, la masse et la vitesse d'un photon (particule de lumière).[/Quote]Justement non, le photon n’a pas de masse au repos, donc cette relation ne donne pas grand-chose, au mieux une indétermination du type 0/0 zéro divisé par zéro (masse nulle et v=c).

 

Pour le photon, c’est la pseudo-norme du quadrivecteur quantité de mouvement qu’il faut prendre, c’est-à-dire :

E² = p²c² + m²c^4

Où m=0 ce qui se réduit bien à : E = pc

Par contre… cela dit simplement que même si le photon porte une masse nulle, il a tout de même une quantité de mouvement non nulle.

 

Après pour relier l’énergie d’un photon à sa longueur d’onde, il faut prendre la relation de Planck-Einstein : E = h nu.

Si c2 peut apparaître comme une constante, il n'en est rien car la formule peut être appliquée à d'autres corps que le photon. D'où, d'ailleurs, l'idée du tachyon (un corps plus rapide que le photon) qui reste une vue de l'esprit née dans les brumes de cerveaux hyper-développés. Ou encore dans le domaine gravitationnel où la formule peut avoir un intérêt (nébuleux pour un astronome amateur, cela va de soi !).

Pour le tachyon, c’est une curiosité mathématique où le facteur de Lorentz a été… bricolé autrement :

E = mc² / racine (v²/c²-1)

On voit alors que seul des v>c sont permis.

Une autre vue de l’esprit c’était aussi de prendre le facteur de Lorentz comme inchangé et de décréter que la racine carré d’un nombre négatif est… imaginaire pure (et du coup le tachyon se voit octroyé une masse imaginaire pure…).

Modifié 2 novembre 2017 par bongibong

[joloize]

Oui, bongibong, tu as entièrement raison.

J'ai voulu simplifier et je me suis pris les pieds dans le tapis !

[dfremond]

Bon et puis vous savez, les mathematiciens ne sont etonnés par rien: la preuve! Les nombres imaginaires, facteurs de i, leur unité, (vous savez, celui dont le carré est negatif, ce qui semble absurde), semblent tout droit sortis de l'imagination d'esprit torturés... Et pourtant, la formule dEuler: e puissance ( i*PI) + 1=0 montre bien que ce nombre est essentiel a la constitution de la réalité: car s'il est absurde, alors la constante e est absurde, pi est absurde zero est absurde, et 1 est absurde.....

[Toutiet]

Et puis : 24 - 1 = 24 (voir ci-après) :

Modifié 2 novembre 2017 par Toutiet

[syncopatte]

Le plus grand mystère pour moi est pourquoi 24 et non 40.

 

Patte.

[Chtit Bilou]

Dérapage ! Doliprane !

[Fred_76]

Et puis : 24 - 1 = 24 (voir ci-après) :

 

5x8=24 ???

[Toutiet]

Le plus grand mystère pour moi est pourquoi 24 et non 40.

 

Patte.

 

Parce que 4 x 6 = 24 avec du chocolat "blanc" (

) mais c'est vrai qu'avec du chocolat "noir", c'est 40 - 1 = 40 ! :be:

 

Conclusion : c'est la couleur du chocolat qui change tout...

:be::be::be:

Modifié 2 novembre 2017 par Toutiet

[bongibong]

Bon et puis vous savez, les mathematiciens ne sont etonnés par rien: la preuve! Les nombres imaginaires, facteurs de i, leur unité, (vous savez, celui dont le carré est negatif, ce qui semble absurde), semblent tout droit sortis de l'imagination d'esprit torturés... Et pourtant, la formule dEuler: e puissance ( i*PI) + 1=0 montre bien que ce nombre est essentiel a la constitution de la réalité: car s'il est absurde, alors la constante e est absurde, pi est absurde zero est absurde, et 1 est absurde.....

En fait l’histoire de la découverte des nombres complexes est… hyper intéressante.

 

Ils ont commencé à chercher à résoudre des équations polynomiales.

ax²+bx+c = 0

c’est connu depuis l’antiquité, on retrouve la façon de procéder dans des tablettes babyloniennes.

 

Bizarrement, le 3 ème degré n’a pas connu d’amélioration avant… plusieurs millénaires. C’est seulement en 1545 que Cardan publie une méthode (qu'il a persuadé Tartaglia de lui révéler, et qu'il a promis de ne jamais dévoiler).

Le truc est qu’une équation du 3ème degré admet toujours une solution (contrairement au polynôme de degré 2).

 

Cependant… dans la méthode… parfois… il fallait prendre une racine carré d’un nombre négatif, faire les calculs, et à la fin, les racines de nombre négatifs se compensaient et hop on tombait sur la bonne solution.

C’était une astuce de calcul, et on imaginait que c’était possible de prendre la racine carré d’un nombre négatif. Et on faisait les opérations algébriques habituelles.

 

Puis petit à petit, on a géométrisé les nombres imaginaires et complexes, et montrer que ça pouvait se représenter dans le plan etc… et qu’un produit correspondait à une rotation etc…

Puis comme l’extension des réels donne toujours un corps avec des opérations habituelles toujours permises (à part que l’on perde une relation d’ordre compatible avec les opérations habituelles).

 

Après je ne parle pas de William Hamilton qui voulait généraliser les rotations dans le plan à l’espace et qui est tombé sur les quaternions (qui ont une extension dans l’équation de Dirac et la découverte de l’anti matière). Et on perd la commutativité.

 

Poue le moment je ne pense pas que l’on ait une application des Octonions (on perd l’associativité de la multiplication) ou les Sédénions. A priori ces ensembles ont des structures bien étudiées dans les groupes de Lie, et potentiellement des applications en physique des particules.

Modifié 3 novembre 2017 par bongibong

[dfremond]

En fait l’histoire de la découverte des nombres complexes est… hyper intéressante.

 

Ils ont commencé à chercher à résoudre des équations polynomiales.

ax²+bx+c = 0

c’est connu depuis l’antiquité, on retrouve la façon de procéder dans des tablettes babyloniennes.

 

Bizarrement, le 3 ème degré n’a pas connu d’amélioration avant… plusieurs millénaires. C’est seulement en 1545 que Cardan publie une méthode (qu'il a persuadé Tartaglia de lui révéler, et qu'il a promis de ne jamais dévoiler).

Le truc est qu’une équation du 3ème degré admet toujours une solution (contrairement au polynôme de degré 2).

 

Cependant… dans la méthode… parfois… il fallait prendre une racine carré d’un nombre négatif, faire les calculs, et à la fin, les racines de nombre négatifs se compensaient et hop on tombait sur la bonne solution.

C’était une astuce de calcul, et on imaginait que c’était possible de prendre la racine carré d’un nombre négatif. Et on faisait les opérations algébriques habituelles.

 

Puis petit à petit, on a géométrisé les nombres imaginaires et complexes, et montrer que ça pouvait se représenter dans le plan etc… et qu’un produit correspondait à une rotation etc…

Puis comme l’extension des réels donne toujours un corps avec des opérations habituelles toujours permises (à part que l’on perde une relation d’ordre compatible avec les opérations habituelles).

 

Après je ne parle pas de William Hamilton qui voulait généraliser les rotations dans le plan à l’espace et qui est tombé sur les quaternions (qui ont une extension dans l’équation de Dirac et la découverte de l’anti matière). Et on perd la commutativité.

 

Poue le moment je ne pense pas que l’on ait une application des Octonions (on perd l’associativité de la multiplication) ou les Sédénions. A priori ces ensembles ont des structures bien étudiées dans les groupes de Lie, et potentiellement des applications en physique des particules.

 

Effectivement, les operations algebriques semblent avoir une explication géometrique. Quand on multiplie un nombre par un autre, on calcule... une surface, c'est a dire on compte un nombre sur un axe, puis on "rote" de 90 degrés pour compter le deuxieme nombre dans une autre dimension perpendiculaire: multiplier par un troisieme nombre revient a associer la surface a une autre dimension, le volume nait à la suite d'une nouvelle rotation de 90°. L'universalité de la formule d'Euler prouve bien que cette dimension "imaginaire", correspondant a une nouvelle rotation perpendiculaire a toute les autres, (inimaginable pour l'intuition), et exprimée avec une coordonnée en nombre "imaginaires" existe rééllement... mais en dehors de notre espace temps: ainsi des choses semblent fausse chez nous, mais vraies sous un autre point de vue.

 

Et là on comprend pourquoi i²= -1: ben oui, il semble intuitivement que deux fois une rotation de 90° aboutit a.... un demi tour, d'ou une inversion de la valeur relative des coordonnées (signe -)....

[bongibong]

Effectivement, les operations algebriques semblent avoir une explication géometrique. Quand on multiplie un nombre par un autre, on calcule... une surface, c'est a dire on compte un nombre sur un axe, puis on "rote" de 90 degrés pour compter le deuxieme nombre dans une autre dimension perpendiculaire: multiplier par un troisieme nombre revient a associer la surface a une autre dimension, le volume nait à la suite d'une nouvelle rotation de 90°.[/Quote]En fait je vais être un peu lourd, mais mathématiquement rigoureux.

En fait le produit dont tu parles est un produit particulier, qui est le produit vectoriel. En effet, quand tu as deux vecteurs (a et . Et bien si on forme un parallélogramme avec ces deux vecteurs (il suffit de deux vecteurs et un point pour définir un parallélogramme), et bien sa surface est donnée par ce que l’on appelle la norme du produit vectorielle de a par b :

Surface = a vectorielle b = norme(a) . norme( sin (a,

 

Dans le cas où ces vecteurs sont orthogonales, et bien sin (a, = 1 et cela revient bien à multiplier par les deux nombres pour obtenir une surface.

 

De la même façon, pour un volume, définit par les 3 vecteurs a, b et c, il suffit de calculer :

Volume = (a vectorielle scalaire c

 

L'universalité de la formule d'Euler prouve bien que cette dimension "imaginaire", correspondant a une nouvelle rotation perpendiculaire a toute les autres, (inimaginable pour l'intuition), et exprimée avec une coordonnée en nombre "imaginaires" existe rééllement... mais en dehors de notre espace temps: ainsi des choses semblent fausse chez nous, mais vraies sous un autre point de vue.[/Quote]Du coup pas tout à fait. En fait les nombres réelles, multipliées entre eux forment ce que l’on appelle une similitude directe du plan (ou une homothétie, mais ça sera plus clair après).

 

Quand on multiplie deux nombres ensembles z1 et z2, et bien… si ce sont des nombres complexes, on peut écrire z2 en polaire : z2 = x2 + i y2 = r2 exp(i theta2).

Et donc :

z1 z2 =z1 . r2 exp (i theta2)

Ceci correspond à prendre le vecteur z1, à le placer à l’origine, à le faire tourner dans le sens trigonométrique de l’angle theta2, et de l’agrandir du facteur r2.

 

Du coup… comme la notation :

z2 = x2 + i y2 = r2 exp(i theta2) = r2 (cos theta2 + i sin theta2)

 

On comprend que pour un nombre reel positif, theta=0, et donc on ne fait pas de rotation, mais on fait juste un agrandissement (une homothétie).

Et là on comprend pourquoi i²= -1: ben oui, il semble intuitivement que deux fois une rotation de 90° aboutit a.... un demi tour, d'ou une inversion de la valeur relative des coordonnées (signe -)....

On a i = 0 + i.1 = cos 90° + i sin 90° = exp (i pi/2)

Donc multiplier par i revient à faire tourner de 90° (sans changer le module, on a bien une rotation).

 

Multiplier le nombre 1 par i, revient à tourner l’axe de référence de 90°.

Donc le nombre i correspond à une rotation de 90° du nombre 1.

Quand on fait encore une rotation de 90°, et bien on obtient… -1

Puis –i

Puis on revient à 1.

 

Donc ce que tu dis est juste, mais on peut le voir de deux façon :

- Multiplier deux fois par i correspond à prendre l’opposé d’un vecteur donné (ou d’un nombre)

- Multiplier le nombre i par i correspond à faire tourner le nombre i de 90° ce qui correspond à -1

 

 

Après on peut voir un nombre complexe comme un couple de nombres réels (a,.

 

On peut définir l'addition de cette façon :

(a, + (c,d) = (a+c,b+d)

On voit que cela forme ce que l'on appelle un groupe commutatif avec (0,0) comme élément neutre.

 

Et la subtilité c'est de définir la multiplication de la façon suivante :

(a,.(c,d) = (a.c - b.d, a.d + b.c)

 

Donc finalement, quand on y réfléchit bien, (1,0) est l'élément neutre.

Et d'ailleurs toute l'algèbre des nombres (a,0) est l'algèbre des nombres réels.

 

(0,1).(0,1) = -(1,0)

Donc (0,1) est identifié à i (on dit qu'il est isomorphe, en fait on dit que l'ensemble que je viens de définir R² et les lois de multiplication et d'addition est un isomorphisme de corps avec C).

 

Donc on peut écrire le nombre (a, = a.(1,0) + b.(0,1)

Et on retrouve bien la notation dont on a l'habitude.

 

 

On peut aussi voir ça différemment, avec l'ensemble des matrices 2x2 (donc des nombres a,b,c,d dans R^4).

Un sous ensemble, défini avec le produit matriciel habituel :

(a b ; -b a) <-> (a,

Et en fait on peut écrire :

(a b ; -b a) = a(1 0 ; 0 1) + b (0 1 ; -1 0)

Et on reconnaît... la matrice identité et... i

 

Note : un produit matriciel est défini de la manière suivante :

(a b ; c d) (x y ; z t) = (ax + bz , ay + b t ; cx + dz , cy + dt)

Modifié 3 novembre 2017 par bongibong

[dfremond]

ET réciproquement!!!! (joke) Bon bon, ne t'affole pas, je vais-y reflechir, pas assez matheux pour entrer dans ces details aussi abruptement... disons que ce que je sens c'est plutot une intuition, forte, que nous vivons dans une espace-temps qui n'est qu'une projection, une perspective d'un espace inaccessible pour nous, a une dimension superieure, perpendiculaire a toute les autres, dont les nombres imaginaires ne sont que que la trace "obligée" dans notre algerbe.: la rotation deux fois de 90 degrés, (i² donc -1) aboutirait dans ce cas a un autre espace temps "inversé" de signature metrique opposée au notre , donc comme "l'autre face" de notre espace, le symetrique par rapport a cette dimension imaginaire... Maintenant, mettre ça en termes mathematiques est bigrement interessant, mais fort complexe..

Modifié 4 novembre 2017 par dfremond

[dfremond]

j'essaie de dechiffrer aussi tes brillants eclaircissements.. avec une bouillote d'eau froide sur la tete, la migraine me guète.. Mais je note que tu parles du concept de rotation d'angle non nul, et moi du cas particulier de pi/2. Moi je vois ça selon euclide, et toi ce ne serait pas un espace de Riemann? Mais il faut avouer que , pour effectuer des experiences de pensées, Euclide, c'est tout de meme plus facile... et sans doute BEAUCOUP moins rigoureux.

Disons que tu dis la meme chose que moi: a partir du moment ou il y a rotation non nulle (modullo 2PI) il y a creation d'une nouvelle dimension car cela donne une nouvelle direction: une dimension, c'est une direction.. (etonnant comment les mots sont proches...)

Maintenant parlons des nombres complexes, les biens nommés.

Je trouve personellement que combiner une part imaginaire avec une part reelle rends les nombres, imaginaires, bien complexes! Je prefere les voir comme des nombres imaginaires purs, sur une dimension imaginaire donc géometriquement (en effet, une dimension, c'est avant tout une famille de nombre, les nombres imaginaire correspondent a une dimension imaginaire). Et là ou ça devient excitant c'est se rendre compte que cette dimension n'est pas imaginaire, mais qu'elle existe forcement... etant juste inaccessible a notre entendement (et a notre logique vrai/faux? Ben oui! comment accepter qu'une chose existe alors qu'elle aboutit a une égalité impossible: carré egale -1: on subodore que la logique meme est prise en defaut)

Quelle est la vraie justification géometrique de les associer systematiquement a un réél? Ce n'est pas vraiment clair pour moi. Les voir comme des imaginaires purs est beaucoup plus porteur intuitivement. En tout cas selon mon point de vue.

Modifié 4 novembre 2017 par dfremond

[bongibong]

disons que ce que je sens c'est plutot une intuition, forte, que nous vivons dans une espace-temps qui n'est qu'une projection, une perspective d'un espace inaccessible pour nous, a une dimension superieure[/Quote]En fait ce genre de théories existent déjà.

Il y a les théories de Kaluza-Klein, qui supposent notre monde en 5 dimensions, avec les équations de la relativité générale, apparaissent les équations de Maxwell.

C'est cette idée que reprend la théorie des cordes avec cette fois 6 ou 7 dimensions spatiales supplémentaires qui sont recroquevillées sur elles-mêmes pour laisser un univers en 3 dimensions (avec des espaces de Calabi-Yau).

 

Dans l'autre sens, il y a les théories holographiques de Susskind, qui disent que notre monde en 4D n'est en fait que la perspective d'un monde physique en 2D sans gravitation, notre monde 3D ne serait qu'une illusion.

perpendiculaire a toute les autres, dont les nombres imaginaires ne sont que que la trace "obligée" dans notre algerbe.: la rotation deux fois de 90 degrés, (i² donc -1) aboutirait dans ce cas a un autre espace temps "inversé" de signature metrique opposée au notre , donc comme "l'autre face" de notre espace, le symetrique par rapport a cette dimension imaginaire... Maintenant, mettre ça en termes mathematiques est bigrement interessant, mais fort complexe..

Ca me fait penser à la rotation d'un spinneur de 360°, qui ne donnent pas l'identité, mais son opposé, ou bien des espaces non orientables (tel ruban de Mobius et surface de Boy).

Moi je vois ça selon euclide, et toi ce ne serait pas un espace de Riemann?[/Quote]Ca reste un espace euclidien, il n'y a pas de courbure.

a partir du moment ou il y a rotation non nulle (modullo 2PI) il y a creation d'une nouvelle dimension car cela donne une nouvelle direction: une dimension, c'est une direction.. (etonnant comment les mots sont proches...) [/Quote]Euh... non, ça dépend de l'axe de la rotation. Imagine un repère orthonormé d'axe xy. Si tu fais une rotation d'axe z, et bien tu restes toujours dans le plan, il n'y a pas "création" d'une autre dimension.

comment accepter qu'une chose existe alors qu'elle aboutit a une égalité impossible: carré egale -1: on subodore que la logique meme est prise en defaut)[/Quote]Et bien simplement parce que tu as été formaté à réfléchir comme ça.

Au départ, tu avais des produits de nombres positifs...

Comment intuitivement comprendre que le produit de deux nombres négatifs donnent un nombre positif ? Au début tu as appris un tableau de signes... appris ça par coeur... après tu t'es construit une interprétation intuitive.

 

Pour les nombres complexes, et bien, c'est pareil. Sauf que tu vois le produit des nombres réels comme un cas particulier...

Et finalement tu peux réinterpréter le produit de deux nombres négatifs comme une rotation de 180° d'un nombre qui a un argument de 180°, soit 360° soit un nombre positif.

Quelle est la vraie justification géometrique de les associer systematiquement a un réél? Ce n'est pas vraiment clair pour moi. Les voir comme des imaginaires purs est beaucoup plus porteur intuitivement. En tout cas selon mon point de vue.

En fait... l'histoire est un peu longue, ça parle de clôture algébrique... mais disons que c'est une façon d'étendre la définition de nombre pour résoudre des équations.

 

Au départ tu apprends les nombres naturels (0, 1, 2, 3, etc...)

Sauf que... tu ne sais pas résoudre des équations du type :

x + 4 = 3

comment ajouter 4 à un nombre et obtenir un nombre plus petit que 4 ??

 

C'est là qu'on introduit des nombres (a, des classes d'équivalence etc... pour finalement dire que ce sont des nombres négatifs que l'on rajoute.

 

Donc tu as un ensemble plus grands maintenant (...,-2, -1, 0, +1, +2, ...) est-ce que tu peux résoudre tout type d'équation ? Non :

 

3x +2 = 4

bah oui, la solution ne s'écrit même pas avec des nombres décimaux... 0.6666666666......

En fait c'est 2/3 pour être exact... et là on a introduit ce que l'on appelle des nombres rationnels (des fractions).

Il se trouve qu'entre 0 et 1 il y a une infinité de ces nombres etc...

 

Bon.... est-on arrivé au bout ?

x² = 2

Bah ça marche pas... on montre que la solution ne s'écrit pas sous la forme de fraction...

 

Donc on rajoute toutes les racines carré, etc... On peut tout résoudre ?

x² + x + 1 = 0

 

Et bien.... tu calcules le discriminant... et... c'est négatif... donc pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.

Par contre quand tu introduis des nombres... complexes, ça marche...

x1 = (-1+ i racine (3))/2 et x2 = (-1 - i racine(3))/2

Ca marche !!!

Calculons par exemple le carré du permier x1² :

x1² = (-1 -i racine(3))/2

si on ajoute à x1 on remarque que :

x1² + x1 = -1

ET ben oui ça marche bien.

 

En fait on sait montrer que les nombres complexes suffisent pour trouver les racines de tout type de polynômes de n'importe quel degré.

 

On dit que les nombres complexes sont la clôture algébrique de R. Et on pourrait très bien s'arrêter là.

['Bruno]

Et on s'arrête là. Car pour faire de l'algèbre avec les complexes, les complexes suffisent (alors que pour faire de l'algèbre avec les réels, les réels ne suffisent pas). L'algèbre avec les complexes, c'est un truc cohérent (alors que l'algèbre avec les réels, il manque quelque chose).

[dfremond]

waou... je sens passer a 10000 metres au dessus de ma tete une esquadrille de genies dont j'aurais aimé faire partie, mais bon... dans une autre vie peut-tetre!!!

 

Bruno tu dis

"Et on s'arrête là. Car pour faire de l'algèbre avec les complexes, les complexes suffisent (alors que pour faire de l'algèbre avec les réels, les réels ne suffisent pas). L'algèbre avec les complexes, c'est un truc cohérent (alors que l'algèbre avec les réels, il manque quelque chose)."

Doit-on en deduire qu'on a la preuve, au moins intuitive, que la vision 4D de notre espace temps est incomplete, et que par contre la vision d'un espace-temps complexe 5D suffit a decrire toute la réalité? Il me semble que oui..

[Fred_76]

En fait ce genre de théories existent déjà.

Il y a les théories de Kaluza-Klein, qui supposent notre monde en 5 dimensions, avec les équations de la relativité générale, apparaissent les équations de Maxwell.

C'est cette idée que reprend la théorie des cordes avec cette fois 6 ou 7 dimensions spatiales supplémentaires qui sont recroquevillées sur elles-mêmes pour laisser un univers en 3 dimensions (avec des espaces de Calabi-Yau).

 

Dans l'autre sens, il y a les théories holographiques de Susskind, qui disent que notre monde en 4D n'est en fait que la perspective d'un monde physique en 2D sans gravitation, notre monde 3D ne serait qu'une illusion.

Ca me fait penser à la rotation d'un spinneur de 360°, qui ne donnent pas l'identité, mais son opposé, ou bien des espaces non orientables (tel ruban de Mobius et surface de Boy).

Ca reste un espace euclidien, il n'y a pas de courbure.

Euh... non, ça dépend de l'axe de la rotation. Imagine un repère orthonormé d'axe xy. Si tu fais une rotation d'axe z, et bien tu restes toujours dans le plan, il n'y a pas "création" d'une autre dimension.

Et bien simplement parce que tu as été formaté à réfléchir comme ça.

Au départ, tu avais des produits de nombres positifs...

Comment intuitivement comprendre que le produit de deux nombres négatifs donnent un nombre positif ? Au début tu as appris un tableau de signes... appris ça par coeur... après tu t'es construit une interprétation intuitive.

 

Pour les nombres complexes, et bien, c'est pareil. Sauf que tu vois le produit des nombres réels comme un cas particulier...

Et finalement tu peux réinterpréter le produit de deux nombres négatifs comme une rotation de 180° d'un nombre qui a un argument de 180°, soit 360° soit un nombre positif.

En fait... l'histoire est un peu longue, ça parle de clôture algébrique... mais disons que c'est une façon d'étendre la définition de nombre pour résoudre des équations.

 

Au départ tu apprends les nombres naturels (0, 1, 2, 3, etc...)

Sauf que... tu ne sais pas résoudre des équations du type :

x + 4 = 3

comment ajouter 4 à un nombre et obtenir un nombre plus petit que 4 ??

 

C'est là qu'on introduit des nombres (a, des classes d'équivalence etc... pour finalement dire que ce sont des nombres négatifs que l'on rajoute.

 

Donc tu as un ensemble plus grands maintenant (...,-2, -1, 0, +1, +2, ...) est-ce que tu peux résoudre tout type d'équation ? Non :

 

3x +2 = 4

bah oui, la solution ne s'écrit même pas avec des nombres décimaux... 0.6666666666......

En fait c'est 2/3 pour être exact... et là on a introduit ce que l'on appelle des nombres rationnels (des fractions).

Il se trouve qu'entre 0 et 1 il y a une infinité de ces nombres etc...

 

Bon.... est-on arrivé au bout ?

x² = 2

Bah ça marche pas... on montre que la solution ne s'écrit pas sous la forme de fraction...

 

Donc on rajoute toutes les racines carré, etc... On peut tout résoudre ?

x² + x + 1 = 0

 

Et bien.... tu calcules le discriminant... et... c'est négatif... donc pas de solution dans l'ensemble des nombres réels.

Par contre quand tu introduis des nombres... complexes, ça marche...

x1 = (-1+ i racine (3))/2 et x2 = (-1 - i racine(3))/2

Ca marche !!!

Calculons par exemple le carré du permier x1² :

x1² = (-1 -i racine(3))/2

si on ajoute à x1 on remarque que :

x1² + x1 = -1

ET ben oui ça marche bien.

 

En fait on sait montrer que les nombres complexes suffisent pour trouver les racines de tout type de polynômes de n'importe quel degré.

 

On dit que les nombres complexes sont la clôture algébrique de R. Et on pourrait très bien s'arrêter là.

 

Faut quand même passer par les séries infinies pour pouvoir introduire les nombres comme Pi, e... qui ne sont pas solutions d'équations polynomiales.

[dfremond]

Faut quand même passer par les séries infinies pour pouvoir introduire les nombres comme Pi, e... qui ne sont pas solutions d'équations polynomiales.

Nombres transcendants qui sont tous connectés comme par hasard a i dans la belle équation d'Euler. ..