Équations sur l'équilibre hydrostatique, l'équilibre radiatif

[-Erwann-]

Bonjour, 

je suis en 3ème et j'aimerais devenir astrophysicien. J'ai essayé d'interpréter deux équations que j'ai prises sur un extrait PDF

J'ai un blocage sur l'intégration, parce que évidement, au collège, on ne fait pas ces choses là... ☹️

 

Pourriez vous m'éclairer SVP ? Merci

 

 

équations astrophysique 1.docx

[julon2000]

D'où vient le document .docx? Est-ce que c'est toi qui l'a fait? Le format .docx n'est pas idéal pour transmettre des documents car la façon dont il est affiché n'est pas la même sur tous les ordinateurs; chez moi il manque des images par exemple. Les pdf sont nettement préférable. Certains forums permettent de mettre des balises latex (latex est une sorte de langage de programmation pour afficher des équations, très utilisé dans les milieux scientifiques), ce qui facilite grandement les discussions faisant intervenir des maths; c'était le cas de l'ancienne version de webastro, mais apparemment ça n'est plus possible? 🤔

 

 

Bref, la première équation que tu as mise en évidence dans ton document indique comment la masse de l'étoile croît en fonction de son rayon, et l'intégration revient à partir d'un rayon nul et d'ajouter à chaque fois une couche (comme un oignon) jusqu'à ce qu'on arrive à la taille de l'étoile. Cette équation n'est d'ailleurs pas correcte, la partie droite devrait plutôt être 4 \pi r^2 \rho. Il y a également une petite erreur dans la deuxième équation, le membre de gauche devrait être dM, ce qui représente la petite masse (c'est la signification du "d" devant le M) correspondant à une couche de l'oignon; le membre de droite est correct.

Modifié 28 octobre 2018 par julon2000

[-Erwann-]

Mecri beaucoup, voila le format PDF

 

En fait, j'ai pris une partie du PDF http://bass2000.obspm.fr/cours/physol.pdf et en dessous, ce que j'ai fait.J'essaye de me mettre aux équations parce que les principes, théories, etc sont clairs pour moi, mais pas les équations 

 

Merci de m'avoir dit ce qui était faux, je vais le changer

pdf.pdf

[julon2000]

Ok, je comprend que tu aies envie d'aller directement aux choses qui t'intéressent, mais le cours dont tu as donné le lien est pour des étudiants en L3/M1. Ça veut dire qu'au minimum ils ont eu 2 ans de maths et de physique avant, et ce cours se base sur ces connaissances préalables : c'est un peu comme la construction d'un bâtiment, avant de construire les étages supérieurs il faut d'abord construire les fondations et les étages inférieurs.

 

L'équation qui te pose problème est la toute première du cours : comme tu peux le constater les connaissances préalables sont absolument nécessaires pour aller plus loin, et sans elles tu ne vas rien comprendre au cours. En attendant d'acquérir les connaissances qui te permettront de lire ce type de document, je ne peux que te suggérer de continuer à te renseigner sur l'astrophysique, il y a plein d'excellents livres de vulgarisation écrit par des scientifiques

Modifié 28 octobre 2018 par julon2000

[-Erwann-]

ok, oui, en ce moment, je lis "L'Ordre du Temps" de Carlo Rovelli

[Pinguise]

Effectivement, il te manque les notions de dérivée et d'intégrale qui sont vraiment des notions phares en physique.
Tu vas commencer à les aborder au lycée (même si à vrai dire, vu qu'il n'y aura plus de filière S, je ne sais pas comment ça va se passer 😕.
C'est complètement normal que tu ne comprennes pas toutes ces notions, mais d'un autre côté, tu as vraiment l'air d'avoir envie de mettre les mains dans le cambouis et je ne sais même pas ce qu'on pourrait te proposer
 

[Toutiet]

Et, en plus, l'intégrale M qui donne la masse est complètement fausse ! (Un volume doit nécessairement mettre en œuvre une puissance trois, ce qui n'est pas le cas dans le document présenté )

[Pinguise]

Il y a 12 heures, Toutiet a dit :

Et, en plus, l'intégrale M qui donne la masse est complètement fausse ! (Un volume doit nécessairement mettre en œuvre une puissance trois, ce qui n'est pas le cas dans le document présenté )

Non je crois qu'elle est bonne (on parle bien de l'intégrale du document PDF initial hein ?). Comme l'a dit @julon2000, tu considères une couche très petite (qui n'a pas de volume donc...). C'est cette dernière qui est présente à l'intérieur de l'intégrale.
La puissance 3 apparaît quand tu calcules l’intégrale . On va faire la somme de plein de petites couches fines (de volume nul donc) pour au final tomber sur un volume :

M = ∫ (de 0 à R) 4πr² ρ  dr
On sort les constantes et on intègre sur r de 0 à R :
M = ∫ 4πρ  (de 0 à R) r²  dr = ∫ 4πρ [r^3/3](de 0 à R) = (4/3) π (R^3 - 0^3) ρ = 4/3 π R^3  ρ
On retrouve d'ailleurs dans cette expression le volume d'une sphère, ce qui est rassurant (4/3 π R^3)
De plus, on a bien la dimension d'une masse : M est en kg et de l'autre côté on a un volume (en m^3 donc) multiplié par une masse volumique (en kg/m^3), ce qui nous donne bien une masse en kg à la fin.

Désolé pour les maths, mais je ne vois pas comment l'expliquer autrement.

Modifié 29 octobre 2018 par Pinguise

[Toutiet]

Je suis tout à fait d'accord, mais ce qui m'a interpellé c'est la formulation donnée dans le document : M = ∫ (de 0 à R) 4πr² ρ  dr

Comment a-t-elle été établie ? (même si elle aboutit bien au volume de la sphère).

[Chtit Bilou]

Toutiet,  la formule aboutit à la masse de la sphère, non pas à son volume. N'oublie pas l'intervention de la masse volumique comme l'a expliqué Pinguise.

 

@Erwann ! Attention, dans ton doc pdf, en dessous des formules surlignées en jaune, tu fais une mauvaise interprétation de celles-ci : " d " ne veut pas dire diamètre !!! " d " est la manière de signaler une dérivée ( ici, dMr/dr doit être lue de la manière suivante : dérivée de M par rapport à r ).

 

A très vite !

[julon2000]

il y a une heure, Toutiet a dit :

Je suis tout à fait d'accord, mais ce qui m'a interpellé c'est la formulation donnée dans le document : M = ∫ (de 0 à R) 4πr² ρ  dr

Comment a-t-elle été établie ? (même si elle aboutit bien au volume de la sphère).

En coordonnées sphériques on part de dM=ρ dV=ρ r² sin(θ) dφ dθ dr, on suppose que la masse volumique est homogène sur une couche donnée et ne varie donc que selon le rayon, et l'intégration sur les angles donne le facteur 4π, d'où au final dM=4π r² ρ dr.

Modifié 29 octobre 2018 par julon2000
Lisibilité des équations

[Toutiet]

Ça y est, j'ai trouvé, beaucoup plus simple sans passer par les coordonnées sphériques  :

La surface d'une sphère de rayon r étant égale à celle de quatre "grands cercles" (soit 4π r^2), le volume d'une "pelure" d'épaisseur dr, à la distance r du centre,  est assimilable à cette surface x dr, soit 4πr^2 x dr

Le volume total de la sphère de rayon R se calcule donc ensuite, par intégration de l'expression précédente, entre 0 à R

V = ∫ (de 0 à R) 4πr^2 dr, et la masse M s'obtient alors en multipliant le résultat par rho.

CQFD

Modifié 29 octobre 2018 par Toutiet

[julon2000]

il y a 9 minutes, Toutiet a dit :

Ça y est, j'ai trouvé, beaucoup plus simple sans passer par les coordonnées sphériques  :

C'est la dérivation rigoureuse du résultat, et c'est du niveau de première année de licence d'à peu près n'importe quelle discipline scientifique - rien de monstrueusement compliqué.

[Toutiet]

Je n'ai jamais dit que c'était "monstrueusement compliqué" mais je m'étonnais de la présence de ce 4π r^2. Je préfère mon approche qui est "instantanée" et fait immédiatement apparaître et justifie la présence de ce facteur .

[Chtit Bilou]

il y a 26 minutes, Toutiet a dit :

Ça y est, j'ai trouvé, beaucoup plus simple sans passer par les coordonnées sphériques  :

La surface d'une sphère de rayon r étant égale à celle de quatre "grands cercles" (soit 4π r^2), le volume d'une "pelure" d'épaisseur dr, à la distance r du centre,  est assimilable à cette surface x dr, soi 4πr^2 x dr

Le volume total de la sphère de rayon R se calcule donc ensuite, par intégration de l'expression précédente, entre 0 à R

V = ∫ (de 0 à R) 4πr^2 dr, et la masse M s'obtient alors en multipliant le résultat par rho.

CQFD

Parfait pour la fin.

Par contre, je n'ai pas saisi le passage : La surface d'une sphère de rayon r étant égale à celle de quatre "grands cercles". 

Pourquoi 4 ??! 

[Toutiet]

La surface d'une sphère est égale à celle de quatre grands cercles de cette même sphère (souvenir d'enfance...).

La surface d'un de ces grands cercles est égale à π x r^2 (r étant le rayon de la sphère).  

(r^2 : lire r puissance 2)

La surface de quatre grands cercles est donc égale à 4 x π x r^2 ou encore, écrit plus simplement,  4πr^2.

Ça va ?

[Chtit Bilou]

Ça va fort ! 

 

Le "4" doit malgré tout avoir une origine plus ... scientifique qui m'échappe car je pratique cette physique moins qu'avant ! 

Au passage, pour chipoter,  tu parles de la surface de quatre grands disques.

[Toutiet]

Bien sûr. Le 4 provient de la démonstration de la formule de la surface d'une sphère à partir de sa dimension, c'est à dire son diamètre.

C'est un autre problème. On démontre (aussi avec des intégrales) que la surface totale d'une sphère est égale à quatre fois la surface du cercle défini par un plan qui la coupe en deux. Un tel cercle a un rayon  qui est égal au rayon R de la sphère. Et ce "grand cercle" a pour surface π r^2 (Pi r carré). Donc la surface totale de la sphère a pour valeur 4 x πr^2.

CQFD

 

PS : c'est vrai que l'enseignement "moderne" chipote en différenciant un cercle d'un disque. A mon époque, on parlait de la surface d'un cercle (sous-entendu disque) mais les élèves comprenaient sans problème, sachant bien qu'il ne s'agissait pas d'un cerceau !

[mazkagaz]

Le 28/10/2018 à 18:13, -Erwann- a dit :

Bonjour, 

je suis en 3ème et j'aimerais devenir astrophysicien. J'ai essayé d'interpréter deux équations que j'ai prises sur un extrait PDF

J'ai un blocage sur l'intégration, parce que évidement, au collège, on ne fait pas ces choses là... ☹️

 

Pourriez vous m'éclairer SVP ? Merci

 

 

équations astrophysique 1.docx

En gros et en simplifiant au maximum pour un élève de troisième : imagine que tu découpes la boule (une boule, c'est une sphère pleine : la boule est à la sphère ce que le disque est au cercle) en plein de petites couches superposées les unes sur les autres.

 

Alors la première égalité que tu as surlignée, tu peux la réécrire, en multipliant des deux côtés par dr (je sais que ce n'est pas rigoureux, mais je m'adresse à un élève de troisième et je ne vais pas lui parler d'infinitésimaux ou de dérivées...) : dMr=4.pi.r2.rho.dr (4 pi r carré fois rho fois dr). En gros, 4pir2 étant la surface d'une sphère de rayon r, si tu multiplies par l'épaisseur de la couche dr, c'est presque égal au volume de cette fine couche et comme dr est très petit, on peut dire mais là tu dois me croire sur parole, que c'est égal. Et donc tu te retrouves avec une égalité de la forme : dMr=volume.rho. Tu retrouves la formule que tu connais déjà permettant de calculer une masse à l'aide d'un volume et d'une masse volumique.

 

La seconde égalité, cela s'appelle une intégrale mais nous n'allons pas rentrer dans les détails. En gros, c'est comme si tu additionnais toutes les valeurs de 4.pi.r2.rho.dr pour r allant de 0 à R (attention, la majuscule a son importance, R est est une constante, un nombre que tu connais, le rayon de l'étoile, alors que r est une variable, comme le "x" que tu as l'habitude d'utiliser pour les fonctions), ce qui signifie que tu ajoutes toutes les masses de toutes les fines couches dont on parlait juste avant. Du coup, si on a découpé la boule en plein de fines couches et su on additionne les masses de toutes ces fines couches, on obtient la masse de la boule. Pour la petite histoire : le signe cabalistique au début vient du "S" de somme qui a été étiré : on additionne, c'est une somme.

 

La question que tu pourrais te poser : mais pourquoi faire comme ça alors que je sais calculer le volume d'une sphère (4/3.pi.r3). Je pourrais immédiatement multiplier par la masse volumique de l'étoile... Oui mais non, parce que ça ne marcherait que si on connaissait la masse volumique MOYENNE. Or en fait, dans ce modèles, la masse volumique varie avec le rayon. Donc on ne peut la considérer constante que dans les fines couches dont on vient de parler.

 

Voilà, j'ai fait de mon mieux pour être le plus clair possible.

Modifié 29 octobre 2018 par mazkagaz

[-Erwann-]

Ok merci j'ai compris pour l'intégrale

[Chtit Bilou]

Merci Mazkagaz !

[Fred_76]

@-Erwann-

 

La dérivée d'une fonction est l'expression de sa pente.

 

Pour introduire cette notion, on commence par le calcul local de la pente [f(x+h)-f(x)]/h, où :

f() est la fonction

x est l'abscisse du point considéré

h est une valeur faible

 

 

Quand h tend vers 0, on a la pente de la fonction au point x

 

Par exemple si f(x)=x²,

 

On a [f(x+h)-f(x)]/h = [(x+h)²-x²]/h = [x²+2xh+h²-x²]/h = [2xh+h²]/h = 2x+h

Et quand h tend vers 0, on se retrouve avec lim(h>0) [f(x+h)-f(x)]/h = 2x + 0 = 2x

 

On note alors f'(x) = lim(h>0) [f(x+h)-f(x)]/h

 

Evidemment il y a des moments où la fonction n'est pas dérivable en certains points, mais c'est une autre histoire.

 

Il y a des tables qui donnent les dérivées des fonctions usuelles, par exemple :

 

(x^n)' = n*x^(n-1) => on retrouve bien (x²)' = 2x

cos'(x) = -sin(x)

sin'(x) = cos(x)

(e^x)' = e^x

etc.

 

Idem pour les conjugaisons de fonctions :

 

(f+g)'=f'+g'

(f-g)'=f'-g'

(f*g)' = f'g + fg'

(f/g)' = (f'g - fg')/g²

 

https://www.math.u-bordeaux.fr/~glazzari/tableaux.pdf

 

Pour les intégrales c'est à peu près la même chose. On en reparlera.

 

En cinématique (physique du mouvement), on a un objet qui se déplace en fonction du temps. Si on note m(t) la position d'un point M de l'objet à un instant t, on constate que la dérivée de cette fonction, m'(t) est tout simplement la vitesse du point M. On la note en général (avec un point sur la fonction) :  ou même plus simplement  car on sait que la fonction dépend du temps, donc pas la peine de le redire. L'accélération est la dérivée de la dérivée, on dit "dérivée seconde" notée avec deux points : . On va rarement à la dérivée troisième, qui est l'impulsion en cinématique, notée avec 3 points : .