Comment calculer le comportement d’un satellite décrivant une ellipse ?

[Astrophyman]

Bonjour j’aimerais savoir comment calculer la trajectoire d’une fusée autour de la terre, si la vitesse de la fusée dépasse sa vitesse minimale pour rester en orbite. Cela devrait normalement donner une ellipse, mais comment connaitre toute les informations la décrivant (hauteur maximale du demi grand axe, la période de révolution, etc...) en partant simplement de la vitesse de la fusée et de la distance terre-satellite.

Merci d’avance pour vos réponses

                                                Astrophyman 

[Ygogo]

Bonjour

 

Excellente question, qui n'a pas de réponse à la fois générale et simple…

Que veux-tu faire exactement ? dans quel cadre ? les besoins ne sont pas les mêmes pour une recherche au lycée ou pour une agence spatiale

Quelles sont tes connaissances en physique en général et en mécanique en particulier ? (suggestion : un passage par la rubrique "présentation" !)

As-tu cherché s'il existait sur le web des logiciels de simulation ?

Dans le cadre du lycée, j'avais bricolé autrefois une feuille Excel qui traçait l'orbite une fois qu'on avait donné l'altitude et la vitesse du satellite, et qui éventuellement disait si l'engin allait s'écraser au sol ou au contraire se perdre dans l'espace

 

Si ça t'intéresse, ou si ça intéresse d'autres astrams, je dois pouvoir retrouver ça...

Yakademander !

 

[Astrophyman]

Oui merci beaucoup Ygogo, j’aimerais beaucoup voir ta fiche excel! Pour ce qui est de mes connaissances, je maîtrise les équations de trajectoire parabolique, la force gravitationnelle, l’accélération gravitationnelle, la 1er, 2eme, 3eme loi de Newton, la 1er, 2eme, et 3eme loi de kepler, l’énergie cinétique et potentielle, un peu de la mécanique des fluides, la force de frottement (Ex : parachute), calculer la vitesse minimale d’un satellite pour rester en orbite, et dernièrement j’ai créé numériquement ma propre fusée (je pourrais d’ailleurs vous envoyer les calculs pour que vous puissiez les vérifier si ça ne vous dérange pas). Voila, ce qui m'intéresse c’est de connaitre et comprendre un calcul qui pourrait me donner les informations de votre fiche excel.

Merci beaucoup d’avance,

                                               Astrophyman

[Ygogo]

Bonjour !

Merci pour les infos, ça va me permettre d'adapter ma réponse.

Mais là je n'ai pas tellement de temps, je ferai ça ce soir ou demain...

En attendant je mets le fichier excel en pièce jointe, en espérant que ça fonctionne.

A suivre !

 

satellite 2006.xls

 

Remarque : la première page donne des indications succinctes et le "mode d'emploi", la deuxième page contient la simulation

[Astrophyman]

Merci énormément pour cette fiche, je n’arrive pas y croire, franchement avoir tout ces résultats à ma disposition c’est incroyable, merci beaucoup.

Merci d’avance

                                        Astrophyman

[Astrophyman]

J’ai mis la vitesse et l’altitude que j’ai trouvé pour ma fusée et votre fiche Excel dit que mets calculs fonctionne! Encore merci

                                           Astrophyman

PS: Je n’arrive pas a mettre des photos, du coup si vous souhaitez jetez un coup d’œil à mes calculs, envoyés moi votre adresse mail. 

Aussi la vitesse de ma fusée est de 7725m/s à une altitude de 303282m ce qui est sensé me donner une toute petite ellipse, que prédit d’ailleurs votre fiche excel.

[Ygogo]

Bonsoir

 

Je suis content de savoir que ce vieux fichier Excel, que j'avais fait pour un TP en Terminale S, va encore servir !

Ne pas oublier quand même qu'il y a des trucs approximatifs, pour cause de simplification, le plus critiquable étant que la Terre est considérée comme parfaitement sphérique et "isolée" dans l'espace...

  

Pas trop de courage pour me lancer dans des explications à cette heure tardive…

 

A demain !

 

[jgricourt]

Je te propose aussi de relire le papier de Jean Kovalevsky du BDL  : http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1962SSRv....1..313K/0000313.000.html

[Ygogo]

Bonsoir

 

Merci à Jgricourt pour le lien. L'article indique la détermination de l'orbite d'un satellite existant, d'après des observations faites depuis le sol.

Ici, on cherche plutôt à déterminer l'orbite d'un "futur satellite" d'après les conditions de lancement, c'est un problème différent (que j'aurais bien du mal à résoudre dans le cas général !).

 

Quelques explications rapides sur la méthode utilisée dans la feuille Excel pour calculer l'orbite avec des hypothèses simplificatrices et des approximations. Pour simplifier, j'ai supposé que la Terre est parfaitement sphérique. D'autre part, la masse du satellite est choisie égale à 1, de toute façon le calcul ne dépend pas de la masse du satellite. Par contre, la puissance de la fusée nécessaire en dépendrait !

 

G est la constante de gravitation newtonienne, mt est la masse de la Terre, r est la distance entre le satellite et le centre de la Terre, donc rt+h (rayon de la Terre + altitude) 

Il y a plusieurs sous-ensembles dans la feuille, car le calcul n'est pas la même pour une orbite périodique (circulaire ou elliptique) et une trajectoire qui part loin loin loin (parabolique ou hyperbolique).

La discrimination entre les deux cas se fait en calculant (cellule F7)  l'énergie mécanique totale (variable EN) avec EN = énergie cinétique + énergie potentielle = 1/2*v*v - G*mt/r.

Si EN >0 ou EN=0 l'orbite est ouverte, si EN<0 l'orbite est périodique… à moins qu'elle ne rencontre le sol, ou bien ne passe "trop près du sol" (en dessous de 200 km, limite arbitrairement choisie) avec freinage par l'atmosphère et destruction du satellite.

 

Si l'orbite est parabolique ou hyperbolique, elle est calculée "point par point" par itération, toutes les 100 secondes, au moyen des valeurs d'accélération et de vitesse (colonnes G à M de la feuille). On obtient les coordonnées que j'ai appelées xhyp et yhyp.

 

Si l'orbite est elliptique, il faut d'abord déterminer les valeurs de a, b, c (que j'ai appelé cc, je ne sais plus pourquoi) et e=c/a

Le demi-grand axe a dépend de l'énergie du satellite : a = G * mt / (2*EN) mais je ne sais plus où j'ai pêché ça...

Ensuite, on va profiter du fait que le centre de la Terre est nécessairement un foyer de l'orbite pour travailler en coordonnées polaires.

Pour  180 valeurs successives de l'angle (1 tour complet) on calcule le "rayon-vecteur" r qui est la distance du satellite au centre de la Terre (colonne B). On utilise l'équation de l'ellipse en coordonnées polaires : r = b*b / (a * (1+e*cos(theta))) 

 

Il ne reste plus alors qu'à déterminer les coordonnées x et y (colonnes C et D) en fonction du type d'orbite et à placer les points. Merci Excel !

 

Je ne détaille pas toutes les histoires de tests permettant de prendre "les bonnes valeurs" en fonction des différents paramètres, c'est intéressant mais ça serait un peu long ! D'ailleurs il y a des trucs faciles à comprendre comme les cellules D11 ou A12.

 

Un dernier détail : je ne me souviens pas du nombre d'heures passées pour fabriquer cette simulation   

[jgricourt]

Ca serait intéressant de repartir des équations de base de la mécanique Newtonienne pour retrouver l'orbite, j'ai un vague souvenir d'avoir fait ça en Terminale il faut partir d'une équation différentielle qu'il lfaut résoudre pur déterminer les différentes orbites possibles mais c'est un peu loin mais comme tout se redémontre celà devrait être facile  

 

il y a une heure, Ygogo a dit :

Le demi-grand axe a dépend de l'énergie du satellite : a = G * mt / (2*EN) mais je ne sais plus où j'ai pêché ça...

 

@Ygogo Je te rappels plusieurs points :

 

1. il y a conservation de l'énergie total (Ec+Ep) partout sur l'orbite et en particulier entre les 2 points extrèmes de l'orbite r_a (apogée) et r_p (perigée) sachant aussi que géométriquement : 2 x a = r_a + r_p

2. il y a conservation du moment angulaire (car pas de force extérieures) donc le produit vectoriel : L = r Λ mv est le même partout et en particulier aux extrèmes et sachant que les vecteurs v et r sont perpendiculaires (je te laisse deviner la suite)

 

Avec ces infos tu dois arriver en quelques lignes à l'équation que tu donnes plus haut et qui relie le demi grand axe à l'énergie bon j'avoue que j'ai eu la flemme de faire le calcul car j'ai pas eu ma tisane  

  

[Ygogo]

Il y a 8 heures, jgricourt a dit :

(…) @Ygogo Je te rappels plusieurs points :(…)

 

Merci, professeur Jgricourt

 

Bonne journée !

[jgricourt]

[Astrophyman]

Excuser moi, je ne comprends pas comment on peut calculer G*mt / (2*EN), est-ce que vous pourriez me montrer s’il vous plaît les calculs? 

Et pour la vitesse du satellite à l’aphélie, je trouve sur la fiche excel de Ygogo, la formule suivante: racine(2Gmt(1/((a+cc)-(0,5/a)) mais je ne la comprends pas vraiment aussi. Pour le reste c’est assez logique à part que je ne comprends pas à quoi nous sert de calculer l’excentricité de l'ellipse puisqu’elle n’est pas utile pour les calculs, le fait de calculer l'énergie du système suffit. En plus pour calculer l'excentricité il nous faut le demi grand axe a mais si on se retrouve dans le cas d’une parabole ou d’une hyperbole, a est alors infini.

Donc au final à quoi sert l’excentricité?   

Merci d’avance pour vos réponses

                                             Astrophyman 

Modifié 18 octobre 2019 par Astrophyman

[Astrophyman]

Bonjour, je n’ai toujours pas trouvé comment vous arriver à la formule a=-GMt/2E mais j’ai trouvé sur internet que E=-GMt/2a de cette formule il est simple de retrouver celle que je cherche, mais je n’arrive pas à trouver cette nouvelle formule depuis simplement E=(V^2/2)-(GMt/r). Quelqu’un serait-il m’aider? 

Merci d’avance 

                                                Astrophyman

[bongibong]

Les équations générales sont assez compliquées. Mais si tu considères une vitesse supérieure à la vitesse pour une orbite circulaire, ce qui veut dire que tu considères que la fusée a une vitesse donnée > vitesse pour une orbite circulaire (typiquement racine (GM/r)) au périgée, alors on peut calculer :

- le périgée (en fait non c'est une donnée de l'énoncé)

- l'apogée = 2a - périgée (la définition du grand axe c'est périgée + apogée)

- période = racine (4 pi a^3 / GM) c'est la 3ème loi de Kepler

 

avec G la constante de gravitation

M la masse de la terre

a = GMm/2E

et E c'est l'énergie mécanique = 1/2 m v² - GMm / r

Modifié 30 octobre 2019 par bongibong

[bongibong]

Le 28/10/2019 à 11:59, Astrophyman a dit :

Bonjour, je n’ai toujours pas trouvé comment vous arriver à la formule a=-GMt/2E mais j’ai trouvé sur internet que E=-GMt/2a de cette formule il est simple de retrouver celle que je cherche, mais je n’arrive pas à trouver cette nouvelle formule depuis simplement E=(V^2/2)-(GMt/r). Quelqu’un serait-il m’aider? 

Merci d’avance 

                                                Astrophyman

Il faut réécrire l'énergie mécanique qui est la somme de l'énergie cinétique et l'énergie potentielle :

E = 1/2 mv² - GMm/r

 

Tu peux décomposer v en composante radiale et orthoradiale : v = \dot r e_r + r d\theta/dt e_theta

E = 1/2 m [ (dr/dt)² + r² (d\theta/dt)²] - GMm/r

 

Ceci est vrai au périhélie et à l'aphélie où dr/dt = 0

 

On sait que le moment cinétique L = mr vectoriel v est une constante du mouvement

L = m r² d\theta / dt

On remplace la vitesse angulaire dans l'expression de l'énergie mécanique au périhélie ou l'aphélie :

 

E = 1/2 * L² / m r² - GMm/r

En supposant que r n'est pas nul (on parle bien du périhélie et de l'aphélie) on peut multiplier par r² :

r² + GMm/E * r - 1/2 L²/mE = 0

 

On obtient une équation du second degré du type (x-x)(x-x2) = x² - (x1+x2)x + x1 x2

Le coefficient de degré 1 est la somme des racines (au signe près). La somme des racines n'est autre que la somme du périhélie et de l'aphélie, c'est le grand axe, soit :

 

a = -GMm/2E

 

(je n'ai pas pris les mêmes notations que toi, E c'est l'énergie mécanique, et non l'énergie mécanique divisée par m).

[Ygogo]

Bonsoir

Un grand merci à Bongibong pour cette démonstration astucieuse !

C'est bien plus pédagogique que certaines démos trouvées "dans les livres", qui utilisent les propriétés générales et les équations des ellipses.

 

[bongibong]

Le 17/10/2019 à 00:22, jgricourt a dit :

Ca serait intéressant de repartir des équations de base de la mécanique Newtonienne pour retrouver l'orbite, j'ai un vague souvenir d'avoir fait ça en Terminale il faut partir d'une équation différentielle qu'il lfaut résoudre pur déterminer les différentes orbites possibles mais c'est un peu loin mais comme tout se redémontre celà devrait être facile  

J'ai fait un petit truc. Je ne sais pas si c'est assez détaillé ou trop.

SolGenGrav.pdf

[jgricourt]

Il y a 8 heures, bongibong a dit :

J'ai fait un petit truc. Je ne sais pas si c'est assez détaillé ou trop.

SolGenGrav.pdf 151 Ko · 0 downloads

 

Ahhh mais c'est exactement ça ! Ton calcul est très clair je n'ai rien à redire. Merci bongibong pour partager ton papier je vais le garder dans un coin  👍