Le nénufar d'Ursus

[Fred_76]

@ursus a donné un petit problème sympa. Je vais l'étendre un peu histoire de motiver les scientifiques dans l’âme comme @bongibong, @Dr Eric Simon, @jgricourt, @'Bruno et pourquoi pas d’autres encore.

 

Un nénufar magique pousse sur le Lac Léman. Au bout d'un an, il recouvre une surface de 100 cm² (soit 0,01 m²). Grâce à sa magie, il dispose de ressources énergétiques et de résistance infinies.

 

Ensuite il double sa surface chaque année.

 

 

Le Lac Léman faisant 580 km², en combien de temps le nénufar va-t-il recouvrir tout le lac (1) ? En combien de temps va-t-il recouvrir tous les océans (2), puis toute la Terre (3) ?

 

Une fois la Terre entière colonisée, le nénufar prend l'apparence d'une sphère dont la surface grossi toujours à la même vitesse : elle double chaque année.

 

En combien de temps la sphère va-t-elle englober le système solaire (contenu dans l'héliosphère) (4) ? (pour simplifier on considère que la sphère est centrée sur le Soleil)

 

En combien de temps va-t-elle atteindre Alpha du Centaure (5) ?

 

En combien de temps va-t-elle englober toute la Voie Lactée (6) ? (sphère centrée désormais sur Sagittarius A*).

 

 

Evidemment à partir d'un moment, il faudra prendre en considération la théorie de la relativité car, malgré son pouvoir magique, aucune partie du nénufar ne peut aller plus vite que la lumière. C'est là que le problème se complique, vu qu’au bout d’un certain temps, cette vitesse limite l’empêchera de doubler de surface chaque année... enfin je pense, et si je pense bien, au bout de combien de temps cette limite sera atteinte (7) ?

 

Et puis il y a l’expansion de l’Univers qui va à son tour entrer dans la lice (et non pas Alice). Quand cela aura-t-il lieu (8) à peu près ? Et même qu’à un autre moment, l’expansion sera telle que la surface de la sphernufare fera plus que doubler chaque année - enfin je pense, là encore. Mais quand (9) ?

 

Il y a donc 9 questions à répondre.

 

A vous de jouer (je n'ai pas la réponse à tout 🙂 ).

[bongibong]

Il double de surface chaque année, comme il part de 0.01 m² (on va dire S0), pour recouvrir une surface S, il suffit de chercher un entier N tel que :

S < S0 * 2^N

 

Soit : log (S/S0) < N log 2

 

Donc N > log (S/S0) / log 2

 

Maintenant il faut calculer les surfaces et les convertir en m².

[Fred_76]

ça permet de répondre aux premières questions mais ça ne prend pas en compte la limitation relativiste ni l’expansion de l’Univers...

Cela dit, N n’a pas besoin d’être un nombre entier, la croissance du nénuphar n’est pas discrète, elle est continue. 

[pejive]

bonjour

La loi de croissance de la surface est exponentielle: S(t) = 0,01*exp(t/1,44) avec t en années

La vitesse de croissance est la dérivée dS/dt=( 0,01/1,44)*exp(t/1,44)      en m2/an   à convertir en m/s...

c'est pas homogène ...on va considérer un nénuphar carré

il va falloir déterminer quand elle atteint la vitesse de la lumière....

[caracara72]

Bonjour,

Déjà il faudrait s'accorder sur l'origine du temps t : t=0 quand le nénuphar vient au monde et que donc sa surface est S=0 ? Ou est-ce qu'on prend t=0 au bout d'un an de croissance quand S=0,01 m2 ?

Ça a son importance si on veut comparer nos résultats !

PS : le deuxième référentiel semble plus juicieux pour faciliter les calculs, et il suffit d'ajouter un an pour se remettre dans le premier référentiel de temps 😉

Modifié 9 novembre 2019 par caracara72

[pejive]

Si je ne me suis pas fichu dedans dans les conversions :

Il faut:

54,9 ans pour recouvrir les océans: 3,6*10^14 m2 soit environ 361 millions de km2

55,4 ans pour recouvrir la Terre: 5,1*10^14 m2 soit environ 510 millions de km2

88,4 ans pour atteindre une vitesse linéaire égale à la vitesse de la lumière

 

[caracara72]

Je trouve pareil pour les océans et la Terre en se basant sur les mêmes surfaces, mais je trouve 139,4 ans pour atteindre la vitesse de la lumière, sachant que j'ai pris 9,46*10^15 km/an pour la vitesse de la lumière...

 

Edit : je me suis planté : la vitesse de la lumière c'est en 10^12 km/an et non en 10^15. Du coup je trouve 119,5 ans

Modifié 9 novembre 2019 par caracara72

[pejive]

J'ai revu mes calculs : 115,6 ans pour atteindre la vitesse de la lumière... avec un nénuphar carré

[Fred_76]

Il y a 5 heures, pejive a dit :

bonjour

La loi de croissance de la surface est exponentielle: S(t) = 0,01*exp(t/1,44) avec t en années

La vitesse de croissance est la dérivée dS/dt=( 0,01/1,44)*exp(t/1,44)      en m2/an   à convertir en m/s...

c'est pas homogène ...on va considérer un nénuphar carré

il va falloir déterminer quand elle atteint la vitesse de la lumière....

Une fois qu’il a quitté la Terre, le nénufar est une sphère, il n’est plus carré, il est boulesque !

 

Il faut donc déterminer la croissance du rayon de cette sphère, et donc la vitesse d’un point de cette sphère par rapport au centre de la sphère. C’est cette vitesse qui ne peut dépasser la vitesse de la lumière.

 

Le nénufar grandit dans son propre référentiel temporel, c’est de son point de vue qu’il double de surface chaque année. Or plus il approche de la vitesse de la lumière, plus pour nous son temps passe lentement. Enfin si je ne me trompe pas !

[pejive]

il y a 42 minutes, Fred_76 a dit :

Une fois qu’il a quitté la Terre, le nénufar est une sphère, il n’est plus carré, il est boulesque !

 

Il faut donc déterminer la croissance du rayon de cette sphère, et donc la vitesse d’un point de cette sphère par rapport au centre de la sphère. C’est cette vitesse qui ne peut dépasser la vitesse de la lumière.

 

Le nénufar grandit dans son propre référentiel temporel, c’est de son point de vue qu’il double de surface chaque année. Or plus il approche de la vitesse de la lumière, plus pour nous son temps passe lentement. Enfin si je ne me trompe pas !

Je me suis arrêté à l'invasion de la Terre et je ne pense pas aller plus loin

Il faut bien déterminer si il devient relativiste sur Terre ou pas.

Après évidemment S= 4pi*R²

y a plus qu'à étudier dR/dt

edit: quel est le référentiel propre de quelque chose de sphérique en expansion ???

 

 

[caracara72]

D'accord avec Fred_76 !

Bon j'ai toutes les équations mais maintenant j'ai la flemme de faire les applications numériques

Par contre j'ai fait des hypothèses physiquement fausses : j'ai pris comme référentiel le centre du sphèrnuphar mais j'ai fait comme si le temps s'écoulait toujours et partout de la même façon, et dans la question 9 j'ai pris pour vitesse d'expansion du sphèrnuphar la somme de la vitesse de la lumière et de la vitesse d'expansion de l'univers (qui elle dépend du rayon du sphèrnuphar).... mais bon ça reste un nénuphar magique 😉

Modifié 9 novembre 2019 par caracara72

[bang*gib]

Les deux enfants doivent être loin maintenant

avec leur supernuphar.

[Fred_76]

Peut être que @Elie l'Artiste pourrait intervenir ?

[bongibong]

Je me suis pris au jeu.

 

La surface du lac Léman étant de 580 km², je trouve 36 ans.

Pour l'océan, j'ai pris 2/3 de la surface de la terre (donc l'année d'après ayant doublé, on recouvre la surface de la terre qui fait 6370 km) : 54.9 ans

La terre : 55.5 ans.

 

L'héliopause, j'ai pris 100 UA : 98 ans.

Alpha Centauri : 121 ans

La Voie Lactée : 150 ans.

 

Pour la question 7, je me dis que si la surface double, ça veut dire que le rayon est multiplié par racine de 2 chaque année, soit 1.414. Ca veut dire que le rayon augmente de 41.4% chaque année.

La vitesse de la lumière étant 9.467e12 km/an, il suffit que le rayon fasse 6.694e12 km pour que la vitesse de la lumière soit dépassée.

Ca arrive... avant d'atteindre Alpha Centauri (normal... à un peu plus de 1 al, l'année suivante, ça augmente de plus d'un al par an).

 

En fait encore plus simple, il faut que 41.4% d'une distance dépasse la vitesse de la lumière soit 2.41 al.

 

Pour la question 8, je ne suis pas sûr de bien la comprendre. En effet, l'expansion se fait à un taux : 70 km/s / Mpc. C'est un taux ridiculement faible (si notre taux d'intérêt en banque a cette croissance, on ne placerait pas notre argent, mon calcul donne 0.0023 % / an).

Le taux de croissance de la nénuphar est de 0.414 / an (donc l'expansion a un rôle négligeable dans la croissance).

 

Et pour la question 9, la surface de la nénuphar fait plus que doubler chaque année en prenant en compte l'expansion, mais c'est tellement peu et négligeable par rapport au fait de doubler chaque année.

 

(Bon ok le gros problème c'est que les calculs ne sont plus valables dès qu'on sort du système solaire).

Modifié 12 novembre 2019 par bongibong

[caracara72]

Bonjour,

Voici ma démarche et mes réultats, en espérant que ce soit à peu près lisible 😅

 

[Fred_76]

Wouaouhhh je ne pensais pas que quelqu’un aurait poussé les calculs jusque là !

[Great gig in the sky]

il y a une heure, Fred_76 a dit :

Wouaouhhh je ne pensais pas que quelqu’un aurait poussé les calculs jusque là !

Et ouais, c' est pas de tout ça, maintenant faut corriger ! 

[Fred_76]

Un truc m’interpelle. La spherenufar double sa surface « dans son temps propre » et non pas dans le temps de l’observateur (sur Terre). Quand sa vitesse s’approche de c, son temps propre s’écoule plus lentement que le temps terrestre.

 

De fait, il manque nécessairement une donnée : la masse. Les cellules de la spherenufar doivent avoir une masse et ne peuvent donc aller à la vitesse c. On admettra donc que la masse d’une cellule composant la spherenufar est celle d’un atome d’hydrogène (1H : m=1.00782504(7) u). L’épaisseur de la spherenufar est d’une cellule.

[caracara72]

Effectivement je n'ai volontairement pas tenu compte des effets relativistes pour simplifier, parce que j'ai jeté un oeil aux transformations de Lorentz, mais il y a des choses que je ne comprends pas encore très bien.

En particulier j'ai l'impression qu'elles ne sont valable que pour des vitesses strictement inférieures à la vitesse de la lumière, parce qu'à la vitesse de la lumière le facteur gamma devient infini, ce qui ne me semble pas compatible avec le fait que la vitesse de la lumière soit finie et indentique quel que soit le référentiel.

[J'ai aussi du mal à comprendre comment on peut parler de référentiel immobile et en mouvement alors que la notion d'immobilité ou de mouvement n'a de sens que par rapport à un autre référentiel, donc quand on fait intervenir que deux référentiels et que l'un est en mouvement, ils le sont tous les deux l'un par rapport à l'autre de la même façon donc le temps devrait s'écouler pareil...]

Edit : entre temps j'ai compris que l'immobilité et le déplacement sont consitérés par rapport à un phénomène observé (ici la croissance du nénuphar).

 

Bref je préfère me documenter et bien comprendre les effets relativistes avant de les utiliser 😁

 

Qu'est ce qui empèche un objet massif d'attendre la vitesse de la lumière ? L'énoncé précise que le nénuphare dispose de ressources et énergié illimitées (déjà ça part mal pour un problème physique 😂)

Modifié 17 novembre 2019 par caracara72

[Fred_76]

Oui, ce n’est pas du tout facile... c’est bien pour cela que je disais que je n’avais pas toutes les réponses ! 
 

Même en disposant de ressources infinies, une particule massique perd toute notion de matière quand elle atteint la vitesse de la lumière et il n’en reste que de l’énergie. Comme dès lors la spherenufar pourrait elle survivre à ça ? Il faut donc qu’elle frôle cette vitesse pour maintenir son pouvoir de croissance... je sais c’est très peu clair...

[Albuquerque]

On le sait peu, mais c'est l'observation des nénuphars qui donna ses idées à Hubble, comme la pomme pour Newton.