Recherche d'une formule mathématique

[Paskalo]

Bonjour à tous,

 

Après moult recherches sur le net, j'ai trouvé beaucoup de formulaires de calcul d'orbite, mais jamais la formule qui permettait de résoudre le problème suivant... Quelqu'un pourrait-il m'aider, par hasard ? Merci d'avance !

 

Soit un corps central 'E' (étoile, par exemple) de masse M.

Soir un corps 'S' (sonde, par exemple) de masse m négligeable devant M, et situé à une distance d de C.

On applique une vitesse V au corps S (supposé "immobile" à l'instant t=0), de façon à ce que la direction du vecteur V soit orthogonale à la droite (ES).

Question : quelle orbite en résulte ? (Demi grand axe, excentricité principalement).

 

Note : dans le cas de l'orbite circulaire, la relation R = MG/V^2  (G cste gravitationnelle) est vérifiée. Selon si l'on augmente ou diminue cette valeur V, on obtient une ellipse extérieure ou intérieure à l'orbite circulaire. C'est bien cette orbite elliptique que je cherche à connaitre selon la vitesse appliquée.

 

Merci à tous !

 

[Moot]

L'énergie mécanique dans le référentiel de ton étoile est E_m = 1/2 mv² - GMm/d mais aussi E_m = -GMm/2a où a est le demi grand-axe de ton orbite.

Tu en déduis a, quant à l'excentricité, du fait que ton corps est sur le grand-axe, la distance centre-foyer est c = |a-d| et l'excentricité, c'est e = c/a = |1-d/a|.

[Paskalo]

Il y a 14 heures, Moot a dit :

E_m = 1/2 mv² - GMm/d² mais aussi E_m = -GMm/2a

Alors, tout d'abord, merci d'avoir si vite répondu.
Ensuite, soit je me suis mal exprimé, soit j'ai des problèmes avec les manipulations de formules (soit les deux ), mais de quelque façon que je tourne ces égalités, je je trouve pas ce que je cherche.

- Dans le cas d'un système Soleil-Terre, si je remplace avec les valeurs actuelles connues (V=30km/s, a=d=150Mkm, pour simplifier), tout va bien, je retrouve mes petits.

- Mais, dans l'hypothèse (purement intellectuelle, je te l'accorde), où l'on décidait de satelliser la Terre avec une vitesse initiale de 30km/s, à 150Mkm d'une étoile deux fois moins massive que le soleil, je m'attends à trouver un demi-grand axe largement supérieur à 150Mkm (genre 200Mkm avec une excentricité de 0,2, un périhélie à 150, un aphélie à 250, pour donner une estimation purement pifométrique). Ben pas du tout. Au contraire, si je diminue la constante gravitationnelle (Ms*G) du système pour chiffrer cette hypothèse, l'orbite rétrécit...

Alors, où est-ce que j'ai faux ?

[Moot]

Il était tard et j'ai mis un carré à d alors qu'il n'y en a pas. Je rectifie ça plus haut et ça devrait aller mieux.

[Paskalo]

Le 01/10/2021 à 20:01, Moot a dit :

Je rectifie ça plus haut et ça devrait aller mieux.

Effectivement, c'est parfait comme ceci ! Merci encore !