Le paradoxe de l'Apocalypse

[grain de sable]

Avant d'entrer dans le vif du sujet et comprendre ce paradoxe, je vais vous faire une introduction sur les probabilités bayésiennes :

 

 

La formule de Bayes indique comment, en fonction d’une information nouvelle, il faut réévaluer des probabilités précédemment attribuées.

On dispose de la probabilité Pr(A) pour l’événement A. La formule de Bayes est une formule compliquée qui exprime un fait simple : quand un événement apparaît, les théories où cet événement est le plus probable sont renforcées.

 

En termes abstraits, un événement E se produit et on veut connaître la probabilité, notée Pr(A|E), d’avoir A sachant que E s’est produit. Il existe une formule qui exprime cette probabilité Pr(A|E) que l’on cherche à connaître en fonction de Pr(A)

 

Pr(E|A),Pr(nonA), Pr(E|nonA) qui sont connues. Cette formule (qui ne nous apprend évidemment rien quand les événements A et E sont indépendants) est la suivante :

Pr(A|E)=Pr(A)xPr(E|A)/(Pr(A)xPr(E/A) + Pr(nonA)xPr(E/nonA))

 

Le paradoxe de l'Apocalypse (ou de fin du monde)

Imaginons que deux théories,

sur le destin ultime de l’humanité sont en compétition :

Théorie A. La fin de l’humanité se produira avant 2050 et au total il y aura eu environ cent milliards d’êtres humains.

 

Théorie B. La finde l’humanité se produira bien plus tard et, au total, il y aura eu cent mille milliards d’êtres humains. Imaginons que l’on détermine a priori, par des analyses

provenant de diverses sciences fondamentales (mathéma-tiques, physique, chimie, biologie, etc.), que : Pr(A)=1/2 etPr(=1/2.

 

Le paradoxe de Brandon Carter défendu avec acharnement par John Leslie consiste à proposer l’argumentationsuivante. Les évaluations Pr(A)=1/2 et Pr(=1/2 sont faites dans le cadre général des sciences, mais je dispose d’une information particulière qui me permet de réévaluer ces probabilités : «Je suis un humain dont le rang de naissance est inférieur à cent milliards» (événement E). Dans la théorie A l’événement E est banal (inévitable même), en revanche dans la théorie B cet événement est étonnant car cela me place dans le premier millième des êtres humains,chose statistiquement peu probable (la probabilité de E sachant B est 1/1000). Si une information est plus probabledans le cadre d’une théorie A que dans le cadre d’une théorie B, et que j’apprends alors que cette information est vraie, cela renforce ma confiance en la théorie A et diminue celle que j’ai concernant la théorie B. La formule de Bayespermet de rendre cela précis. Le calcul détaillé ci-dessus conduit à :

- Probabilité de A sachant que E est vrai = 0,9990 = 99,90 %

- Probabilité de B sachant que E est vrai = 0,001 = 0,10%

 

Détail du calcul :

 

Pr(A/E) = Pr(E/A)xPr(A)/(Pr(E/A)*Pr(A)+Pr(E/B)*Pr() = 1x1/2 /(1x1/2 + 1/1000x1/2) = 0.999 = 99,9 %

 

Pr(B/E) = Pr(E/B)xPr(B)/(Pr(E/B)xPr(+Pr(E/A)xPr(A)) = 1/1000x1/2/(1/1000x1/2+1x1/2) = 0.001 = 0.1 %

 

Il y a un «glissement bayésien» en faveur de l’hypothèse d’une fin proche de l’humanité. Un tel glissement a lieu

 

même si plus de deux théories sont en compétition et se produit quelles que soient les hypothèses numériques formu-lées. La fin de l’humanité serait donc plus proche que ce que l’on peut croire en se fiant uniquement aux risques évalués scientifiquement.

Raisonnement très troublant !!!

 

Saurez vous résoudre ce paradoxe qui a été posé par le philosophe Leslie et l'astrophysicien Brandon Carter ?

 

Attention nuits blanches en perspective ;-)

[grain de sable]

Voici un autre énoncé de ce paradoxe peut être plus clair :

 

 

Soit A l'événement: l'Apocalypse se produira avant l'an 2050; et B l'événement: l'Apocalypse ne se produira pas avant 2050. Soit également Z l'événement: j'ai connu les années 2000. On peut par ailleurs estimer à 40 milliards le nombre d'humains ayant existé depuis la naissance de l'humanité, jusqu'à notre époque: soit H un tel nombre. On peut ainsi admettre, de manière raisonnable, qu'un humain sur dix, dans le cas de l'événement A, aura connu les années 2000; on admettra de même qu'un humain sur 1000 aura connu les années 2000, dans le cas de l'événement B. Si l'on considère maintenant, que la probabilité de A est de 0,01 alors que la probabilité de l'événement B est de 0,99, on peut poser la question: qu'est-ce qui rend plus probable que je sois ici en 2000 ? Il s'agit de l'événement A, et je dois donc revoir à la hausse la probabilité de ce dernier, à l'aide de la formule de Bayes: le calcul fournit alors une probabilité de 0,5025 pour A. Ainsi, la prise en compte du fait que je vis dans les années 2000, fait passer la probabilité de l'Apocalypse de 0,01 à 0,5025. L'humanité est assimilée ici à une urne comprenant des boules numérotées depuis l'origine de l'homme, le nombre total de boules étant inconnu. L'existence de chaque humain jusqu'à aujourd'hui est considérée comme un tirage dans l'urne, permettant de fournir une estimation du nombre total de boules présentes dans l'urne.

De manière plus formelle, on peut dénoter par Ht le nombre d'humains ayant existé jusqu'au temps t et Pt la population humaine existant au temps t; soit également E notre époque. Ainsi, H = HE = 4x10^10. On dénotera aussi par HA le nombre d'humains ayant existé jusqu'à l'Apocalypse. Le paradoxe de l'apocalypse peut être formalisé comme suit: on a P(A)= 0,01; P(= 0,99 ; P(Z, A) = 0,1 et P(Z, = 0,001. On calcule la probabilité a posteriori de la survenance de l'Apocalypse, à l'aide de la formule de Bayes: P'(A) = [P(A) x P(Z, A)] / [P(A) x P(Z, A) + P( x P(Z, ] = (0,01 x 0,1) / (0,01 x 0,1 + 0,99 x 0,001) " 0,5025. Et P'( " 0,4975.

[Reglisse]

je ne comprend pas ce qu'il faut resoudre

 

si je choisi les 2 évenements comme suit

 

Théorie A. La fin de l’humanité se produira avant 2000 et au total il y aura eu environ cent milliards d’êtres humains.

 

Théorie B. La finde l’humanité se produira bien plus tard et, au total, il y aura eu cent mille milliards d’êtres humains.

 

en 1998 par exemple j'aurai pu faire le même raisonnement et on sait maintenant en 2004 que la théorie A n'a pas eu lieu

[grain de sable]

je ne comprend pas ce qu'il faut resoudre

 

si je choisi les 2 évenements comme suit

 

Théorie A. La fin de l’humanité se produira avant 2000 et au total il y aura eu environ cent milliards d’êtres humains.

 

Théorie B. La finde l’humanité se produira bien plus tard et, au total, il y aura eu cent mille milliards d’êtres humains.

 

en 1998 par exemple j'aurai pu faire le même raisonnement et on sait maintenant en 2004 que la théorie A n'a pas eu lieu

 

 

Bonjour Reglisse,

 

On parle ici en terme probabiliste, dans le cas du paradoxe de l'apocalypse, il y a un glissement bayésien qui renforce la probabilité que la fin du monde ait lieu demain parce que ej vis en l'an 2000. Ca ne veut pas dire que la fin du monde aura lieu demain de manière certaine mais probable.

Nous sommes donc bien en face d'un paradoxe ! Les résultats .... Il est plus probable que la fin du Monde ait lieu demain que dans mille ans ....

 

Dans ce que tu dis Réglisse, en 1998 il y avait toujours 99,9% de chance que la fin du Monde ait lieu en 2000 et 0.1% qu'elle ait lieu bien plus tard. Bien sûr c'est l'événement B/E qui s'est réalisé, heureusement pour nous, alors qu'il y avait très peu de chance d'un point de vue probabiliste que nous puissons vivre jusqu'en 2004. D'où le paradoxe ....

A chaque année qui passe, nous devrions disparaître car on n'a peu de chance d'échapper à l'apocalypse du simple fait que tu vis dans les années 2000

 

 

J'espère que tu auras saisi le sens du paradoxe.

 

Pour résumer : D'un point de vue probabiliste, la fin du Monde est très proche car nous vivons en l'an 2000. Le fait de vivre en l'an 2000 renforce

la probabilité que nous disparissions demain, ce qui est paradoxal et contre intuitif car le fait que nous vivons en l'an 2000 ne devrait rien changer au destin de l'humanité !

 

La question est comment résoudre ce paradoxe pour qu'il n'existe plus de paradoxe !

[Astrosteph]

Amusant ce paradoxe... donc je vais essayer de trouver.

 

On constate que quelque soit la date considérée (an 1000, 1500 etc...) le paradoxe se pose. Donc cela n'a rien à voir avec la date considérée. Il se posera quelque soit la date.

 

Si nous appliquons le principe statistique décrit par grain de sable, nous devrions pouvoir déterminer les bons chiffres du lotto... en effet, le fait que nous ayons une suite importante de tirages de six numéros dans le passé (n événements P) devrait permettre de déduire une chance statistique élevée pour les tirages suivants... or il n'en est rien.

 

Donc le principe énoncé ne s'applique pas au tirage du lotto. Ni non plus pour la détermination de la date de l'apocalypse.

 

Reste à démontrer pourquoi...

Je ne vais pas casser l'ambiance. Je m'arrête là

[Reglisse]

oui faudrait deja savoir si le glissement bayésien peut s'appliquer à ce genre d'evénement

[grain de sable]

Amusant ce paradoxe... donc je vais essayer de trouver.

 

On constate que quelque soit la date considérée (an 1000, 1500 etc...) le paradoxe se pose. Donc cela n'a rien à voir avec la date considérée. Il se posera quelque soit la date.

 

En fait seules les valeurs numériques varieront. Mais le paradoxe se pose quelque soit la date considérée !

 

Si nous appliquons le principe statistique décrit par grain de sable, nous devrions pouvoir déterminer les bons chiffres du lotto... en effet, le fait que nous ayons une suite importante de tirages de six numéros dans le passé (n événements P) devrait permettre de déduire une chance statistique élevée pour les tirages suivants... or il n'en est rien.

 

Vérifions ceci avec une exemple beaucoup plus simple, transposable par la suite au loto. Prenons le lancer de dé, on a une chance sur 6 de tomber sur 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6. Quelle serait notre chance de tomber deux fois de suite sur le chiffre 6 ? Elle est de 1/36.

Il suffit de noter tous les événements réalisables pour s'en rendre compte :

1-1

1-2

...

1-6

2-1

2-2

...

6-1

6-2

...

6-6

 

DOnc il en est de même pour le loto pour qu'une combinaison sorte deux fois de suite la probabilité devient plus faible.

 

Maintenant nous disposons au cours de l'expérience une information nouvelle qui est qu'au premier lancer de dé, nous avons obtenu 6. Quelle est la probabilité d'obtenir 6 au prochain lancer ?

Nous observons alors un glissement bayésien qui rend plus probable que nous obtenions deux fois de suite 6 (je vous épargne l'application des formules de Bayes).

En effet :

6-1

6-2

6-3

...

6-6

 

On a 1 chance sur 6 d'obtenir deux fois de suite un 6.

 

On peut se demander quelle est la probabilité d'obtenir 3 fois de suite un 6 sachant qu'au premier tirage on a obtenu un 6 ?

Elle est alors de 1/36.

Quelle est la probabilité qu'on obtienne 3 fois de suite un 6 si on sait qu'au premier et au deuxième tirage on a obtenu un 6 ? On retombe sur une probabilité de 1/6. Nous observons donc que nous ne pouvons aps descendre sous une probabilité de 1/6 pour déterminer le prochain chiffre qui va sortir au prochain lancer de dé.

 

Il est de même pour le loto. Si au premier tirage on a une chance sur 10 miillions de tomber sur une combinaison. On aura toujours une chance sur 10 millions de tomber sur la bonne combinaison au second tirage, au troisième tirage, ... au nième tirage malgré le fait que l'on connaisse les combinaisons qui sont sorties avant le nième tirage.

 

Nous voyons donc dans le cas du tirage aléatoire, les informations nouvelles n'apportent rien de nouveau, en fait, cela s'explique que chaque tirage est indépendant du précédent tirage. Deux évènement indéopendants n'apportent pas d'informations à l'un et à l'autre. Ce qui est logique !

La sortie d'une combinaison ne renforce pas la probabilité des autres combinaisons à sortir.

 

 

Donc le principe énoncé ne s'applique pas au tirage du lotto. Ni non plus pour la détermination de la date de l'apocalypse.

 

Reste à démontrer pourquoi...

Je ne vais pas casser l'ambiance. Je m'arrête là

 

Le principe énoncé ne s'applique pas au loto car chaque tirage est indépendant des précédents tirages, il n'y a donc aucun paradoxe, car nous n'apprenons rien de nouveau à chaque fois !

Au contraire, dans le cas de l'apocalypse, prendre en compte notre rang de naissance (je vis en l'an 2000 !) apporte une information nouvelle pour déterminer la date de l'apocalypse. Contrairement à ce que l'on pouvait imaginer, cette information renforce la probabilité que la fin du monde arrive bientôt. En résumé, la fin du monde est dépendante de notre existence !

Voilà un beau problème sur le principe anthropique.

[grain de sable]

oui faudrait deja savoir si le glissement bayésien peut s'appliquer à ce genre d'evénement

 

Oui il s'applique bien à ce genre d'évènements.

Sache que beaucoup de gens travaillent à la résolution de ce paradoxe ...(Ca rassure de savoir que d'autres gens se cassent aussi les dents là-dessus)

 

Beaucoup de solutions ont été apportées mais elles sont normatives : elles consistent à décréter qu'on n'a pas le droit des raisonner avec les probabilités quand le temps est impliqué, ou parce qu'on se référe à une notion trop vague d'être. Les solutions normatives ne sont pas satisfaisantes pour le probabiliste car elles limitent le champ d'application des concepts probabilistes et ne correspondent pas à ce qui est généralement admis.

[grain de sable]

Je vois que ce paradoxe met dans l'embarras beaucoup de Monde :?

 

Voici donc une solution possible apportée par Jean-Paul Delahaye, professeur univertaire d'informatique dans un article pour la science :

http://anthropic-principle.com/preprints/delahaye2.pdf

 

La solution consiste à tenir compte de notre existence dans l'Univers et de notre état d'observateurs situés àl'intérieur de l'Univers (principe anthropique) et non à l'extérieur avant de prendre compte de notre rang de naissance et à réévaluer les probabilités des théories A et B, pour savoir laquelle rend la plus probable notre existence. (Il y a alors un effet de loupe probabiliste).

Nous retombons ainsi sur une probabilité Pr(A/E) = 1/2 et Pr(B/E) = 1/2, il n'y a donc pplus de paradoxe.

 

Mais choisir cette solution a des conséquences amusantes si on s'interroge maintenant sur la possibilité de vie extraterrestre, nous arrivons à une solution cotnre intuitive :

Mettons deux théories en concurrence :

 

Théorie A : Les lois de la physique rendent peu vraisemblable que la vie apparaisse sur une planète et qu'il y a une planète en moyenne par galaxie

donnant naissance à la vie

 

Théorie B : Les lois de la physique rendent vraisemblable que la vie apparaisse sur une planète et qu'il y a un milliard de planètes en moyenne portant la vie par galaxie.

 

 

Imaginons que les scientifiques aient pu établir que Pr(A) = 1/2 et Pr(=1/2.

ALors si nous voulons être toujours cohérent avec la solution du paradoxe de l'Apocalypse , alors nous devons réévaluer Pr(A) et Pr( par nous humains situés à l'intérieur de l'Univers et non à l'extérieur.

Il ya alors une ffet de loupe probabiliste qui se produit, nous avons un milliard fois plus de chacne d'exister dans la théorie B que dans la théroie A donc :

 

Pr(A) = 1/1 000 000 001;

et

Pr( = 1 000 000 000 / 1 000 000 001

 

Il y a donc sans doute des extraterrestres près de chez nous ;-)

 

Pour en savoir plus, à cette adresse il y plein d'articles traitant du paradoxe de l'Apocalypse :

http://www.anthropic-principle.com/preprints.html