Les Coordonnées de Gauss dans la RG...

[R2D2]

J’ai pris un passage de sieur Albert Einstein lui même pour vous exposer mes questionnement sur c sujet qui les « coordonnées de Gauss »….peut être pourrais vous m’apporter vos lumières !!

 

Les coordonnées de gauss.

 

St ALBERT :

Le traitement analytique et géométrique du problème peut, d’après Gauss, être effectué de la manière suivante. Imaginons tracé sur la surface d’une table un système de coordonnées quelconques que nous appellerons courbes « u », et dont chacune sera marquée par un nombre.

 

R2D2 : Imaginez en partant du bas d'une feuille trois courbes partant en bas à droite croisant trois autre courbes partant elles en bas à gauche de cette même feuille....

Albert :

Dans le dessin figurent les courbes u = 1, u = 2, u = 3. Mais entre les courbes u = 1, u = 2 il faut imaginer un nombre infini de courbes, qui correspond à tous les nombres réels se trouvant entre 1 et 2.

R2D2 : j’imagine un nombre de courbe tellement ténue qu’elles formeraient un plan opaque sans qu’une distinction de ligne n’apparaissent.

Albert :

Nous avons alors un système de courbes « u » infiniment rapprochées qui couvrent toute la surface de la table. Aucune courbe « u » ne doit couper une autre, et par chaque point de la surface de la table ne doit passer qu’une seule et unique courbe. A chaque point de la surface de la table correspond alors une valeur parfaitement déterminée. Nous imaginons de même un système de courbe « v » tracées sur la surface, qui satisfont aux mêmes conditions, qui sont d’une manière correspondante, pourvues de nombre et qui peuvent également être de forme quelconque. A chaque point de la surface de la table correspond ainsi une valeur de « u » et une valeur de « v », et nous appelons ces deux nombres ( les coordonnées de Gauss ). Le point « P » de notre figure, par exemple, a pour coordonnées de Gauss u = 3, v = 1. A deux points voisins de P et P’ sur la surface correspondent alors les coordonnées :

P : u, v

P’ : u + du, v + dv,

 

Où « du » et « dv » sont des nombres très petits. Soit le très petit nombre « ds » de la distance, mesurée avec un bâtonnet, des points P et P’. D’après Gauss on a alors :

 

Ds² = g11du² + 2g12dudv + g22dv²

 

 

Où g11, g12 et g22 sont des grandeurs qui dépendent de u et de v d’une manière parfaitement déterminée. Les grandeurs g11, g12 et g22 déterminent le comportement des bâtonnets relativement aux courbes « u » et « v » et, par conséquent, aussi relativement à la surface de la table. Dans le cas où les points de la surface de la table considérées constituent, par rapport aux bâtonnets de mesure, un continuum euclidien, mais dans ce cas seulement, il est possible déraser de telle sorte les courbes « u » et les courbes « v » et de les pourvoir de nombres que l’on ait simplement

 

à ds² = du² + dv².

 

Alors les courbes « u » et les courbes « v » sont des lignes droites dans le sens de la géométrie euclidienne et perpendiculaire les unes aux autres. Les coordonnées de Gauss sont alors simplement des coordonnées cartésiennes. On voit que les coordonnées de gauss ne sont rien d’autre que le coordination de deux nombres à chacun des points de la surface considérée, de telle sorte qu’à des points voisins dans l’espace sont coordonnées des nombres qui diffèrent très peu entre eux.

 

R2D2 : Sur le fond, je crois bien avoir compris l’esprit de cette démonsatration mais je n’arrive pas à conceptualiser la formule Ds² = g11du² + 2g12dudv + g22dv². L’un d’entre aurait il le moyen de me faire une petite démonstration basique voir schématique ?

 

Albert :

Ces considérations s’appliquent d’abord à un continuum à deux dimensions. Mais la méthode peut aussi s’appliquer à un continuum de trois, quatre ou d’un autre nombre plus grand de dimensions. Si par exemple, nous avons un continuum à quatre dimensions, nous pouvons le représenter de la façon suivante. A chaque point du continuum nous coordonnons arbitrairement quatre nombres x1, x2, x3 et x4 qu’on appelle « coordonnées ». A des points voisins correspondent des valeurs voisines des coordonnées. Si maintenant on coordonne aux points voisins P et P’ une distance »ds » déterminable par des mesures et physiquement bien définie, on a la formule :

Ds² = g11dx2/1 + 2g12dx1dx2 + --- + g44dx2/4, etc…….

 

Où les grandeurs g11,….ont des valeurs qui varient avec le lieu de continuum.

 

R2D2 : Je bute toujours sur cette formule ou je ne sais ce que représente g11, g22, g44.…

 

Albert :

Ce n’est que dans le cas où le continuum est euclidien qu’il est possible d’associer les coordonnées x1, ----, x4 aux points du continuum, de orte qu’on a simplement :

 

Ds² = dx2/1 + dx2/2 + dx2/3 + dx2/4

 

Alors des relations sont valables dans le continuum à quatre dimensions qu sont analogues à celles valables dans nos mesures dans le continuum à trois dimensions.

La représentation de Gauss pour ds² indiquée plus haut n’est d’aiileurs pas toujours possible..

R2D2 : pour quelle raison ???

Albert :

Elle n’est possible que dans le cas ou des domaines suffisamment petit du continuum considéré peuvent être regardés comme des continua euclidiens. Ceci est manifestement vrai dans le cas de la surface de la table où la température varie localement.

R2D2 : Veut il nous amener à dire qu’un système de coordonnées de type Euclidien, donc plan, peut tout à fait être appliquer par cette interface ou transformation de Gauss à un système courbe du à la variation de température ayant pour conséquence la déformation du dit plan ( table ) euclidien à un plan courbe ?

Albert :

Car pour une petite portion de cette surface la température est pratiquement constante, et le comportement géométrique des petits bâtonnets ( R2D2 : voir chapitre précédent ) est, par conséquent, ‘presque’ tel qu’il devrait être d’après les règles de la géométrie euclidienne. Les discordances de la construction des carrés du paragraphe précédent ne deviennent manifestes que lorsque cette construction s’étend sur une portion considérable de la surface de la table.

En résument, nous pouvons donc dire : Gauss a inventé une méthode pour le traitement mathématique de continua quelconques, où les réactions de mesure ( distance des points voisins ) sont définies. A chaque point du continuum sont coordonnées autant de nombres ( coordonnées de Gauss ) que le continuum a de dimensions.

R2D2 : parlons nous de 1er; 2eme, 3eme etc…..dimension?

Albert :

Cette coordination doit être univoque et telle qu’à deux points correspondent des nombres infiniment peu différent.

R2D2 : Il est évident, me semble t’il qu’entre 1 et 2 une infinité de nombre réel existe à tel point que, par définition, l’infinité existe où précisément cela ne peut s'exprimer que sous une formule littérale….dont je ne maîtrise pas la parfaite connaissance !!

Albert :

Le système de coordonnées de Gauss est une généralisation logique du système du système de coordonnées cartésien. Il est aussi applicable a des continua non euclidiens, mais bien entendu dans le cas seulement où des petites portions du continuum considéré se comportent d’une façon Euclidienne par rapport à la esure définie ( distance , avec une approximation d’autant plus grande que la portion envisagée du continuum est plus petite.

 

R2D2 : Je passe continuellement d’un éclaircissement à un assombrissement de la démonstration d’ou une frustration grandissante… Ce dernier paragraphe me plonge dans une réflexion qui va au delà de mes maigres compétences !! Alors si quelques âmes charitables avaient un peu de compassion…Merci.

[R2D2]

J’ai pris un passage de sieur Albert Einstein lui même pour vous exposer mes questionnements sur ce sujet que sont les « coordonnées de Gauss »….peut être pourrez vous m’apporter vos lumières !!

 

me pardonnerez vous ces quelques fautes..............impardonnables !!

 

 

il y a des soirs comme ça où....................

[Gaétan]

Pour le fautes d'orthographes, tu peux éditer ton message comme tu veux. ;-)

Je tâcherai de te répondre tout à l'heure, là j'ai pas le temps. Avec quelque mot clé, tu pourras chercher un peu par toi-même. Un forum est assez peu enclin à des explications plus techniques.

[Gaétan]

R2D2 : Sur le fond, je crois bien avoir compris l’esprit de cette démonsatration mais je n’arrive pas à conceptualiser la formule Ds² = g11du² + 2g12dudv + g22dv². L’un d’entre aurait il le moyen de me faire une petite démonstration basique voir schématique ?

R2D2 : Je bute toujours sur cette formule ou je ne sais ce que représente g11, g22, g44...

 

ds est ce qu'on appelle l'élément de longuer ou la métrique, c'est l'objet mathématique qui permet de mesurer des longueurs. Cette objet dépend du système de coordonnées (u,v) et du tenseur métrique dont les coefficients dépendent également du système de coordonnées. Le tenseur métrique peut etre représenté par une matrice carré nxn, où n est le nombre de dimensions - en générale on note X0, X1, X2, X3 avec x0 pour le temps. ds² := gij dxi dxj est une définition. Pour savoir la lire, il faut des notions de calcul tensoriel et indiciel. En gros, on somme sur les indices qui apparaissent deux fois (de 1 à n ; ou de 0 à n-1, c'est selon).

Ca donne à deux dimensions,

ds² = g11 dx1 dx1 + g12 dx1 dx2 + g21 dx2 dx1 + g22 dx2 dx2

(j'ai juste sommé tout les cas ; i=,1 i=2, j=1 et j=2)

et comme gij est symétrique et que dx1 et dx2 commute,

ds² = g11 dx1² + 2 g12 dx1 dx2 + g22 dx2².

Pour un espace plat, le tenseur métrique est une matrice unitaire ( des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleur) et,

ds² = dx1² + dx2².

Les coefficients gij prennent d'autre valeurs en coordonnées polaires par exemple.

ds² = dr² + r² d(theta)²

ou un truc comme ça, avec grr = 1, g(theta)(theta) = r² et les autres gij = 0, r et (theta) étant les indices.

Pour bien comprendre ce que ça signifie pour un espace courbe, il faut des éléments de géométrie différencielle ou riemannienne.

 

Albert : La représentation de Gauss pour ds² indiquée plus haut n’est d’aiileurs pas toujours possible..

R2D2 : pour quelle raison ???

 

Il n'est généralement pas possible de recouvrir entièrement une surface par un seul jeu de coordonnées. Pour une sphère par exemple, il en faut deux. Avec un seul, il y a des singularité aux poles. La longitude n'a pas de valeur précise, elle est dite dégénérée (r=0 est un autre exemple dans le ds² polaire que j'ai donné plus haut), alors que sur une sphère, il n'y a pas de points privilégié. On parle de singularité de coordonnées par opposition à une singularité vrai.

Pour un espace courbe de plus de 2 dimensions, ce fait un encore plus marqué. Par exemple, l'horizon des événements d'un trou noir est une singularité de coordonnées.

Je sais pas si c'est de ça qu'il parlait.

Sinon, il faut que la surface soit partout continue pour pouvoir dire que dudv = dvdu et g12 = g21.

 

R2D2 : Veut il nous amener à dire qu’un système de coordonnées de type Euclidien, donc plan, peut tout à fait être appliquer par cette interface ou transformation de Gauss à un système courbe du à la variation de température ayant pour conséquence la déformation du dit plan ( table ) euclidien à un plan courbe ?

 

Dans la suite de ton texte, Albert dit que c'est presque vrai quand la température est pratiquement constante.

 

R2D2 : parlons nous de 1er; 2eme, 3eme etc…..dimension?

 

Ben oui !

 

Albert :

Cette coordination doit être univoque et telle qu’à deux points correspondent des nombres infiniment peu différent.

R2D2 : Il est évident, me semble t’il qu’entre 1 et 2 une infinité de nombre réel existe à tel point que, par définition, l’infinité existe où précisément cela ne peut s'exprimer que sous une formule littérale….dont je ne maîtrise pas la parfaite connaissance !!

 

N'a-t-il pas voulu dire qu'à deux points infiniment proches correspondent des nombres infiniment peu différents ?

 

Bon, voilà, j'espère ne pas m'etre planté !

[R2D2]

Tout d'abord merci pour ta réponse Gaëtan

 

Je vais m'attarder à lire et relire, décortiquer pour conceptualiser la 1er partie de ton explication sur les Tenseurs ainsi que sur le calcul Tensoriel et indiciel...

 

Un peu de pain sur la planche....

 

Après ça, il se pourrait que je revienne vers toi ( et tous les autres...) pour le reste qu'Albert Einstein va exposer sur la RG.

[Gaétan]

Si tu tiens vraiment à aller plus loin que la vulgarisation, tu peux toujours si l'un de ces lien t'intéresse :

 

http://www-cosmosaf.iap.fr/Introduction%20br%C3%A8ve.htm

http://www.eleves.ens.fr/home/rion/physique.html

http://www-cosmosaf.iap.fr/MIT-RG1F.htm