Matière à pensée

[quetzalcoatl]

Ben merde Alors!

Un demi infini est donc égal à l'infini!

 

Merci Snark.

 

Instantanément , j'ai l'impression d'être deux fois moins con.

Oui, je sais.

J'ai certainement fait une erreur de calcul.

[clowny]

Si vous êtes intéressé par le sujet des neurosciences je pourrais également vous conseiller les classiques d'Alain Damasio "l'erreur de Descartes" et celui de Ramarchadan "Le fantôme intérieur". Ce dernier est en effet à la portée de tous et montre la complexité du cerveau humain avec les cas les plus atypiques qui soient (ceux qui selon l'auteur ont le plus fait avancer la recherche).

[aty]

Par exemple, comptez les nombres entiers pairs : 2, 4, 6, 8, etc.

 

Quel que soit le moment où vous vous arrêtez de compter, vous pouvez facilement calculer que leur nombre est toujours égal à la moitié du nombre total des entiers passés en revue, puisque pour chaque nombre pair, vous devez ajouter un nombre impair pour obtenir le nombre total des entiers.

Et vous voyez clairement que cela restera vrai, même si vous comptez très loin vers l'infini : un nombre impair, un nombre pair, un nombre impair, etc. C'est une alternance impeccable et ultra simple, que vous pouvez continuer indéfiniment.

 

Et bien quand vous y êtes précisément à l'infini, et que vous comptez le nombre infini des nombres entiers que vous avez passés en revue, et le nombre des nombres pairs que vous avez pointés une fois pour deux entiers, vous trouvez que ces deux nombres ne sont pas le double et la moitié l'un de l'autre, mais qu'ils sont parfaitement et strictement égaux l'un à l'autre.

http://perso.numericable.fr/cricordeau41/quatuor/Math10.htm

 

Hello Hello,

 

Passionnant, mais.......

 

Mais quoi ?

 

Et bien ceci sous-entend qu'on accepte l'infini comme un instrument mathématique bien défini.

 

Pour ma part, l'infini n'est que le reflet d'un manque de compétence/connaissance/temps/... qui fait qu'on va choisir une solution de facilité pour synthétiser notre idée, cette solution, c'est l'infini. J'accepte l'idée que l'infini soit un élément à part entière, il a certainement beaucoup de vertues, mais je n'adhère pas.

 

Donc pour moi, que tu sois à l'inifini, ou à 10 maxi, le nombre d'entier et le nombre de nombres pairs dans une liste allant de 0 à "où on veut" seront toujours le double et la moitié l'un de l'autre.

 

Comparé un nombre infini de quoi que ce soit à un nombre infini de quoi que ce soit d'autre est un non sens. Je prends cette expression "infini" comme une variable dont on ne connait pas la valeur. Ne connaissant pas la valeur, les calculs sont pour moi impossibles.

 

exemple : Infini divisé par deux = un demi infini. Où sont les informations pertinentes dans cette équation ? "Un truc que je connais pas" divisé par deux est égale à "un nouveau truc que je connais encore moins que le précédent".

 

C'est mon avis, très certainement risible pour les matheux de pure souche, mais aucun de ceux que j'ai pu rencontré n'a pu me convaincre du contraire. Je suis pourtant ouvert à tout changement d'orientation, mais là, je reste toujours sur ma faim concernant ce point.

 

AtY

[John BARLOW]

Discussion sur le conceptuel de la Mathématique...

 

Ca vous pose un homme.

Pas de démonstration,

Pas d'axiome,

Pas de travaux

 

Discussion de bar avec les Maths comme cacahuettes et la philo comme boisson.

 

Ca donne carrément pas envie.

[mariposa]

Ca donne carrément pas envie.

 

donc tu t abstiens merci

[John BARLOW]

donc tu t abstiens merci

 

D'accord,

Mais j'ai le droit d'aller faire pipi ?

[aty]

D'accord,

Mais j'ai le droit d'aller faire pipi ?

 

Lorsqu'un programme ne te plait pas à la tété, tu écrits à la chaine en question pour leur exprimer ton manque d'intérêt ? J'imagine que non, tu regardes un autre programme, voire tu éteints la télé. Autant faire la même chose sur les forum

[Jeff Hawke]

Pour ma part, l'infini n'est que le reflet d'un manque de compétence/connaissance/temps/... (...)

 

Le problème, c'est que ce n'est pas toi qui décide ce qu'est l'infini, ni moi, ni personne en particulier... Il y a des définitions qui existent, et qui reposent sur le résultats de travaux de recherche, acceptées par une communauté de chercheurs.

 

Comparé un nombre infini de quoi que ce soit à un nombre infini de quoi que ce soit d'autre est un non sens.

Cela a au contraire un sens très clair et très précis. Cela se fait à l'aide de fonctions (bijections, surjections, injections, et tout ça....), qui sont elles aussi connues et parfaitement définies.

 

les calculs sont pour moi impossibles.

Encore une fois, ce n'est pas 'toi' qui décide de la calculabilité des propositions mathématiques.

 

exemple : Infini divisé par deux = un demi infini

 

Non.

 

"Un truc que je connais pas" divisé par deux est égale à "un nouveau truc que je connais encore moins que le précédent".

Non plus. On connait des infinis, et on sait réaliser des opérations sur eux.

 

C'est mon avis, très certainement risible pour les matheux de pure souche,

Ce n'est pas la question que ce soit "risible" ou pas. C'est que la réalité mathématique (qu'elle soit formelle ou réelle) ne tient pas forcément compte de ton avis.

[aty]

Le problème, c'est que ce n'est pas toi qui décide ce qu'est l'infini, ni moi, ni personne en particulier... Il y a des définitions qui existent, et qui reposent sur le résultats de travaux de recherche, acceptées par une communauté de chercheurs.

 

Cela a au contraire un sens très clair et très précis. Cela se fait à l'aide de fonctions (bijections, surjections, injections, et tout ça....), qui sont elles aussi connues et parfaitement définies.

 

Encore une fois, ce n'est pas 'toi' qui décide de la calculabilité des propositions mathématiques.

 

 

 

Non.

 

Non plus. On connait des infinis, et on sait réaliser des opérations sur eux.

 

Ce n'est pas la question que ce soit "risible" ou pas. C'est que la réalité mathématique (qu'elle soit formelle ou réelle) ne tient pas forcément compte de ton avis.

 

Bonjour Jeff,

 

J'en ai discuté avec plusieurs personnes. J'ai pris des avis ici et là afin d'y voir plus clair. j'ai également retourné le sujet dans tous les sens, je me suis documenté et j'ai lu de nombreus écrits.... suis même allé à la fnac pour trouver un bouquin qui traitait du sujet, je me suis assis dans les rayons et j'ai potassé.

 

Je ne maitrise pas grand chose en math, mais une chose est très claire et formelle pour moi :

 

Pour x allant de 0 à l'infini, lorsqu'on fera "pause" sur un entier pair, on pourra affirmer la chose suivante :

 

"Le nombre d'entiers et le nombre de nombres pairs seront respectivement le double et la moitié l'un de l'autre."

 

L'infini, au delà du fait qu'on sait le manipuler, représente une perte d'information. Donc me dire qu'un infini émanant d'une formule est égale à un "autre infini" émanant d'une autre formule est pour moi un raccourci (parce que c'est clairement le raisonnement, pour cet exemple, qui amène à ce résultat). Je concois et accepte que ça puisse servir à quelques chose, mais je n'y adhère pas.

 

J'ai même eu des réactions de personnes connaissant un peu le sujet qui me disaient, je cite :

 

"Un mathématicien, un tant soit peu sérieux, ne pourra te dire "le nombre d'entiers est égal au nombre de nombres pairs lorsqu'on tend vers l'inifini.""

 

Citation:

exemple : Infini divisé par deux = un demi infini

Non.

Oui effectivement, j'ai appris que :

 

l'inifini divisé par deux = l'infini.

 

Encore une fois, je concois que ça puisse servir à quelque chose, ne maitrisant absolument pas le sujet, mais je n'adhère pas, mais alors pas du tout.

 

Et bien entendu, je comprends aussi que les math n'ont que faire de mon avis.

 

Je comprends également que des éminentes "tronches" ont pensé au sujet bien avant moi. Je pense également que je suis perfectible dans ma définition de l'infini mais j'insiste sur l'exemple (et uniquement celui-ci, pour lequel j'ai réfléchi vraiment un très long moment en me documentant et tout et tout) des nombres pairs et entiers.

 

Je n'arrive pas à imaginer, pourquoi/comment/dans quelle mesure à un moment donné leur nombre devient égal. Franchement, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, ça ne vient pas.

 

Maintenant, je suis peut-être un brin idiot...

[Jeff Hawke]

Pour x allant de 0 à l'infini, lorsqu'on fera "pause" sur un entier pair, on pourra affirmer la chose suivante :

 

"Le nombre d'entiers et le nombre de nombres pairs seront respectivement le double et la moitié l'un de l'autre."

Oui.

 

L'infini, au delà du fait qu'on sait le manipuler, représente une perte d'information.

Qu'entends-tu par perte d'information ?

Donc me dire qu'un infini émanant d'une formule est égale à un "autre infini" émanant d'une autre formule est pour moi un raccourci. Je concois et accepte que ça puisse servir à quelques chose, mais je n'y adhère pas.

Encore une fois, ce n'est pas une question d'y "adhérer". La dénomination "égale" veut simplement dire qu'on peut établir une bijection entre les deux ensembles.

 

"Un mathématicien, un tant soit peu sérieux, ne pourra te dire "le nombre d'entiers est égal au nombre de nombres pairs lorsqu'on tend vers l'inifini.""

Ben oui, parce que c'est vrai sans que l'on "tende vers l'infini"...On peut établir une bijection entre l'ensemble des entiers et celui des nombres pairs. Voilà. C'est ainsi.

 

l'inifini divisé par deux = l'infini

Où as-tu appris ça ? Parce que c'est faux. L'infini n'est pas un nombre, et on ne fait pas d'opérations dessus.

 

Et bien entendu, je comprends aussi que les math n'ont que faire de mon avis.

Ben oui, mais bon, ne t'en fais pas. Ca arrive à d'autres. Par exemple Einstein (une tronche) n'adhérait pas à la réalité quantique. Et Bohr lui disait que la réalité (ou Dieu...) se f... de l'avis d'Einstein.

 

je suis perfectible dans ma définition de l'infini

Mais c'est quoi, TA définition de l'infini ?

Je n'arrive pas à imaginer, pourquoi/comment/dans quelle mesure à un moment donné leur nombre devient égal. Franchement, j'ai beau retourner le problème dans tous les sens, ça ne vient pas.

Leur nombre ne devient pas égal "à un moment donné".

 

N'essaie pas d'imaginer, contente toi de les compter, les nombres pairs .

 

1 : 2

2 : 4

3 : 6

4 : 8

 

etc...

 

Tu vois bien que tu arrives à en compter "autant" que d'entiers naturels...

[aty]

Oui.

Cool alors, je suis pas fou. Mais j'ai alors loupé un truc dans les liens donnés plus haut expliquant clairement le contraire. Je vais donc relire ce qui est dit plus haut.

 

Qu'entends-tu par perte d'information ?/

Mais c'est quoi, TA définition de l'infini ?

Pour moi, l'infini est l'environnement dans lequel on va appliquer un algo. J'assimile ça à une variable qui évolue selon un pas défini. Exemple :

 

Lorsqu'on a: "x allant de 1 à l'infini pour un pas de 1". On compte de 1 en 1, la "variable infini" prenant au fil du temps la valeur la plus haute de notre compte et ce sans limite haute dans le temps (ça dure éternellement).

 

On ne connait pas la valeur réelle de l'infini, mais celle-ci est réglée par la définition de notre algo. On lui impose une évolution réglée comme du papier à musique.

 

Enfin, à mon sens, lorsqu'un calcul/équation/... donne pour résultat une tendance à l'infini ou l'infini lui-même on a perdu une information. Quand je dis perdre une information, c'est qu'on est incapable de "remplir" la variable "infini" par une valeur finie.

 

Pfiouuu, pas simple d'y mettre des mots à cette chose. J'espère avoir fait part au moins d'un dixième de mon interprétation...

 

Encore une fois, ce n'est pas une question d'y "adhérer". La dénomination "égale" veut simplement dire qu'on peut établir une bijection entre les deux ensembles.

heu, bijection ? peux tu m'en dire plus à ce propos, même si, grâce à l'éthymologie j'arrive à y déceler une vague définition.

 

Où as-tu appris ça ? Parce que c'est faux. L'infini n'est pas un nombre, et on ne fait pas d'opérations dessus.

Donc mes sources à ce propos sont fausses, et du coup, ça me plait bien plus ! On est donc d'accord sur ce point ! Cool !

 

Ben oui, mais bon, ne t'en fais pas. Ca arrive à d'autres. Par exemple Einstein (une tronche) n'adhérait pas à la réalité quantique. Et Bohr lui disait que la réalité (ou Dieu...) se f... de l'avis d'Einstein.

Donc (par bijection ?) je pourrais dire que je suis l'égal d'Einstein ?

 

Leur nombre ne devient pas égal "à un moment donné".

 

N'essaie pas d'imaginer, contente toi de les compter, les nombres pairs .

 

1 : 2

2 : 4

3 : 6

4 : 8

 

etc...

 

Tu vois bien que tu arrives à en compter "autant" que d'entiers naturels...

Bah non, j'arrive pas à en compter autant si je m'efforce de faire évoluer les deux suites sur un même modèle.

 

Je m'explique :

 

Lorsque j'incrémente d'une unité (le pas de cette suite) mes nombres pairs en même temps qu'une unité de mes entiers (le pas de cette suite également, qui n'est pas égal au pas de la suite précédente), j'aurai forcément le double et la moitié.....

 

Merci pour le temps que tu prends à m'expliquer ce sujet.

 

AtY

[Jeff Hawke]

Mais j'ai alors loupé un truc dans les liens donnés plus haut expliquant clairement le contraire. Je vais donc relire ce qui est dit plus haut.

 

Non, tu ne trouveras pas de contradiction. Tu as bien dit que tu faisais "pause", et que tu comptais. On n'est plus sur l'infini, là.

 

Ta définition de l'infini me parait étrange, un mélange de variable, d'environnement,...Je pense qu'il faut se cantonner aux définitions des bouquins de maths (je ne m'en souviens plus, c'est loin...)

heu, bijection ? peux tu m'en dire plus à ce propos, même si, grâce à l'éthymologie j'arrive à y déceler une vague définition.

Une fonction (y=F(x)), pour laquelle pour tout y, il y a un x, et un seul.

C'est une fonction à la fois injective (2 x différents ne peuvent donner le même y) et surjective (tous les y ont un x).

 

Bah non, j'arrive pas à en compter autant si je m'efforce de faire évoluer les deux suites sur un même modèle.

 

Je m'explique :

 

Lorsque j'incrémente d'une unité (le pas de cette suite) mes nombres pairs en même temps qu'une unité de mes entiers (le pas de cette suite également, qui n'est pas égal au pas de la suite précédente), j'aurai forcément le double et la moitié.....

 

Oui, mais ça ne change pas le problème. Même si il n'y en a que la moitié (sur une quantité finie), en "tout", il y en a autant... C'est ça, les ensembles infinis. Ca énerve...

[aty]

Non, tu ne trouveras pas de contradiction. Tu as bien dit que tu faisais "pause", et que tu comptais. On n'est plus sur l'infini, là.

Bah c'est pas parce que je me rends vers "l'infini" que j'ai pas le droit de m'arrêter boire une bière de temps en temps au chiffre 3 ou au chiffre 123395857394. Si ?

 

Ta définition de l'infini me parait étrange, un mélange de variable, d'environnement,...Je pense qu'il faut se cantonner aux définitions des bouquins de maths (je ne m'en souviens plus, c'est loin...)

C'est plus un ressenti qu'une définition. Si je me trompe, je n'ai alors aucune idée de ce que peut être l'infini. D'ailleurs, pour moi l'infini ne veut rien dire si il n'est pas cadré. Si on me dit "allant de x à l'infini avec incrément", j'y comprends quelque chose, mais "l'infini" tout court, je vois pas. Et "allant de x à l'infini avec incrément" est la définition d'un algo résistant au temps, il roule ad vitam eternam.

 

Une fonction (y=F(x)), pour laquelle pour tout y, il y a un x, et un seul.

C'est une fonction à la fois injective (2 x différents ne peuvent donner le même y) et surjective (tous les y ont un x).

Merci ! J'avais vu ça en BTS pourtant ! Mais à l'époque, je n'avais rien à faire de toutes ces informations. C'est que plus tard que je me suis intéressé à tout ceci.

 

Oui, mais ça ne change pas le problème. Même si il n'y en a que la moitié (sur une quantité finie), en "tout", il y en a autant... C'est ça, les ensembles infinis. Ca énerve...

......... J'y arrive vraiment, pas, encore une fois, je comprends le raisonnement, mais..... non, ça passe pas. Pis en plus, pour pouvoir utiliser le mot "en tout" ou encore "autant", il faut avoir pu dénombrer non ? Or l'infini selon ce que tu m'as expliqué n'est pas dénombré ?

 

(ceci dit, ne perds pas trop de temps avec moi sur ce point, car j'ai l'impression que mon problème est plus philosophique que mathématique. Pour preuve, je comprends parfaitement ce que tu me dis. Ce que je ne comprends pas, c'est en quoi ce raisonnement est valide !)

[aty]

Bon, je viens d'aller faire un tour du côté de wikipedia pour la définition d'infini.

 

En gros :

 

En théorie des ensembles [modifier]

 

Un ensemble E est infini si, et seulement si, il n'est équipotent à aucun intervalle borné de , ou de façon équivalente, s'il existe au moins une famille non vide de sous-ensembles de E qui n'a pas d'élément minimal pour l'inclusion. [1],[2],[3]

Articles détaillés : Ensemble fini et Ensemble infini.

Si l'on admet l'axiome du choix, et seulement à cette condition,[4] tout ensemble E est en correspondance biunivoque avec un ordinal ; le plus petit ordinal auquel E est équipotent est alors par définition le cardinal de E.

La notion de nombre cardinal, qui modélise la « taille » des ensembles, s'applique aussi bien aux ensembles finis qu'aux ensembles infinis. Le cardinal (on parle aussi de puissance) des ensembles infinis dénombrables est noté (« aleph-zéro »).

 

 

Essayez d'imaginer un poule cherchant quoi faire d'un couteau. C'est bon, vous avez l'image ? Ben à la place de la poule, vous mettez AtY et à la place du couteau, l'infini. Sans déconner, ça veut dire quelques chose ce truc ?

 

 

 

Ensembles infinis dénombrables [modifier]

 

Un ensemble infini est dit dénombrable si, et seulement si, il existe une bijection entre lui et . Intuitivement, un ensemble infini est dénombrable si, et seulement si, on peut « énumérer » ses éléments: le « premier » élément, le « deuxième » élément, le « troisième » élément, et ainsi de suite sans s'arrêter.

Par exemple, nous pouvons montrer que est dénombrable. Classons pour cela les fractions irréductibles de numérateur et dénominateur tous deux positifs de la manière suivante :

 

• pour toute fraction p/q, on calcule la somme p+q ;
  
• on classe les fractions par ordre croissant de cette somme p+q ;
  
• pour les fractions ayant la même somme p+q (comme 1/4 et 2/3), on les classe par ordre croissant de p ;
  
• ainsi on peut attribuer à chaque fraction un entier unique correspondant à son numéro d'apparition dans la liste ainsi construite, le début de cette liste serait :
  

1 → 02 → 1/13 → 1/24 → 2/15 → 1/3... Nous avons bien mis en bijection avec .

Le cardinal d'un ensemble fini est un nombre entier naturel. En revanche, le cardinal d'un ensemble infini dénombrable est dit « transfini ».

Dans l'exemple ci-dessus l'énumération des rationnels positifs est « effective » : le procédé d'énumération est un procédé calculatoire, un algorithme (décrit informellement). Mais on peut très bien avoir montré qu'un ensemble est infini dénombrable, par exemple en montrant qu'il est sous-ensemble des entiers et ne peut être fini[5], sans être capable de donner un procédé effectif d'énumération. Cette dernière notion est étudiée dans l'article ensemble récursivement énumérable.

 

 

De ce que j'ai compris, de ce point, ça ressemble à notre problème.

 

 

 

Ensembles infinis non dénombrables [modifier]

 

Un ensemble infini non dénombrable ne peut pas être mis en bijection avec . On ne peut pas établir une liste de ses éléments.

Par exemple, l'ensemble des réels compris entre 0 et 1 est non dénombrable : la démonstration s'appuie sur l'argument de la diagonale de Cantor.

On dit que a la puissance du continu, sa puissance (ou son cardinal) est (le cardinal de l'ensemble des parties de ). L'argument diagonal de Cantor montre du même coup que , le plus petit cardinal non dénombrable, est inférieur ou égal à (dans ZFC). L'égalité de ces deux cardinaux, que l'on appelle l'hypothèse du continu, est indépendante des axiomes de la théorie des ensembles ZFC.

 

 

heu, faut vraiment que j'aille me fournir en drogue chez les matheux, ça a l'air vraiment efficace.

[Jeff Hawke]

Si tu veux améliorer ta compréhension des choses en allant sur Wikipedia, je ne peux rien pour toi...

[aty]

Si tu veux améliorer ta compréhension des choses en allant sur Wikipedia, je ne peux rien pour toi...

 

 

Han, le coup bas !

 

J'ai juste tapé infini dans google et j'ai cliqué sur le premier lien (ou le deuxième). Pis bon, a priori, une définition est une définition on peut espérer qu'il sache faire copier/coller chez wikipedia.

[Jeff Hawke]

Bah c'est pas parce que je me rends vers "l'infini" que j'ai pas le droit de m'arrêter boire une bière de temps en temps au chiffre 3 ou au chiffre 123395857394. Si ?

 

Oui, tu peux t'arrêter, mais ça anéantit tout raisonnement sur l'infini. Sauf à boire une Leffe, qui, c'est bien connu, a une dimension philosophique.

 

......... J'y arrive vraiment, pas, encore une fois, je comprends le raisonnement, mais..... non, ça passe pas. Pis en plus, pour pouvoir utiliser le mot "en tout" ou encore "autant", il faut avoir pu dénombrer non ? Or l'infini selon ce que tu m'as expliqué n'est pas dénombré ?

 

Si, si, les infinis comme celui des entiers naturels, sont dénombrables (on peut compter les éléments...même si on ne s'arrête jamais de compter).

 

Ce sont, par exemple, les nombres réels qui ne sont pas dénombrables. c'est à dire qu'on ne peut trouver de fonction bijective entre lN et lR.

[aty]

Oui, tu peux t'arrêter, mais ça anéantit tout raisonnement sur l'infini. Sauf à boire une Leffe, qui, c'est bien connu, a une dimension philosophique.

 

 

 

Si, si, les infinis comme celui des entiers naturels, sont dénombrables (on peut compter les éléments...même si on ne s'arrête jamais de compter).

 

Ce sont, par exemple, les nombres réels qui ne sont pas dénombrables. c'est à dire qu'on ne peut trouver de fonction bijective entre lN et lR.

 

Ce qui est dingue, c'est que je comprends ce que tu me dis.

 

Mais bon, je pense que je vais m'arrêtez à tous les chiffres, puis ensuite à tous les nombres pour boire une bierre. Comme ça grosso modo vers l'infini, ça n'aura plus la moindre importance !

 

Merci pour le temps que tu auras passé. Je vais pas en rajouter (car ça veut toujours pas passer ), je pense que tu as fait le tour pour bien me faire comprendre la chose et que maintenant c'est à moi de digérer. Je vais essayer d'aller me trouver un bon bouquin sur le sujet. Il doit forcément me manquer une donnée importante qui fait que je n'adhère pas. Je suis constitué de la même manière que tout le monde, si d'autres accèptent/comprennent/adhèrent (rayer la mention inutile), pourquoi pas moi ?!

['Bruno]

Aty, je vais essayer de vuilgariser les articles qui semblent te faire mal à la tête...

 

Une bijection d'un ensemble A vers un ensemble B, ça veut dire qu'on peut marier tous les élements de A à tous les éléments de B, et qu'il n'y a pas de polygamie ni de célibataires. Si on peut marier A et B, c'est qu'ils ont autant d'éléments. On dit qu'ils ont la même cardinalité (tous ces mariages à grande échelle, c'est sans doute un cardinal qui s'en occupe )

 

Maintenant, qu'est-ce que signifie que A=B. Si A et B sont des nombres, je te laisse deviner. Mais si A et B sont des fractions ? Est-ce que 1/2 est égal à 2/4 ? Est-ce que 0,9999... est égal à 1 ? Et que signifie que deux fonctions sont égales ? On doit définir précisemment ce que signifie le mot "égal" car la définition du langage courant ne marche que sur les nombes entiers, et c'est pour ça que l'égalité entre l'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres entiers peut sembler bizarre si on croit qu'elle a la signification du langage courant (or il est impossible qu'elle l'ait, puisque le nombre d'éléments de ces ensemble n'est pas un nombre entier).

 

En fait, la notion d'égalité est basée sur le bijection. Sur les mariages, disons.

 

On dit qu'un ensemble est de cardinalité finie si chaque élément de cet ensemble peut être marié à un nombre entier (au sens de la bijection) et s'il y a un "nombre le plus grand" (dans ce cas, tous les nombres au-dessus de ce "nombre le plus grand" restent célibataires). Si ce n'est pas le cas, on dit que la cardinalité est infinie. Note bien : l'infini n'est pas un nombre, c'est une cardinalité. C'est le fait de ne pas pouvoir définir de bijection avec un sous-ensemble borné des nombres entiers (pas de mariage avec "nombre le plus grand"). Il y a deux possibilités :

 

- Si le mariage est possible mais qu'il n'y a pas de "nombre le plus grand", ça veut dire que les éléments de l'ensemble sont mariés avec tous les nombres entiers. Dans ce cas, on dit que l'ensemble est infini dénombrable. Chaque élément est marié à un nombre, et aucun nombre n'est célibataire.

- Si le mariage est impossible, autrement dit si des éléménts de l'ensemble restent célibataires (l'ensemble est "plus grand" que l'ensemble des nombres entiers), on dit que l'ensemble est infini non-dénombrable.

 

Exemples d'ensembles dénombrables : les nombres entiers, les nombres entiers pairs, les nombres premiers, les fractions. Tous ces ensembles ont la même cardinalité (puisqu'il y a une bijection entre eux), le même infini en quelque sorte. Par exemple on peut marier toutes les fractions à tous les nombres entiers (le procédé de mariage est astucieux).

 

Exemples d'ensembles non-dénombrables : l'ensemble des sous-ensembles de nombres entiers (ou de tout autre ensemble dénombrable), les nombres réels. Ces deux exemples sont d'ailleurs bijectifs : leur cardinalité est la même. Mais il est impossible de marier tous les nombres réels à tous les nombres entiers : il reste forcément des nombres réels célibataires. Par contre, on peut marier tous les nombres de l'intervalle [-1;+1] (ou de tout autre intervalle fini) aux nombres réels. Le procédé de mariage est la fonction détermination principale de l'arc-tangente : tout nombre x de l'intervalle est marié au nombre Arctg(x). Ce faisant, ils sont tous mariés, il n'y a pas de polygamie ni de célibataires. Sur la droite réelle, un intervalle de longueur finie a donc la même cardinalité qu'un intervalle de longueur infinie (ce qui peut paraître surprenant, je ne sais pas...)

 

Bref, on a deux types d'infini : la cardinalité des nombres entiers (ou des fractions) et la cardinalité des nombres réels (de tous les réels, ou uniquement des réels entre a et . Y a-t-il un infini entre les deux ? Ça dépend des axiomes, un peu comme le postulat des parallèles d'Euclide. Y a-t-il un infini au-dessus de celui des réels ? Oui : l'ensemble de sous-ensembles de nombres réels, qui forme un "niveau 2" (niveau 0 = nombres entiers, niveau 1 = nombres réels). Et de même, on peut former un "niveau 3", un "niveau 4" et ainsi de suite en prenant à chaque fois l'ensemble des sous-ensembles de... Il y a donc une hiérachie d'infinis.

 

Tout ça a été découvert par G. Cantor à la fin du 19è siècle. Inutile de préciser qu'il est devenu fou et a fini sa vie à l'asile (authentique).

[aty]

Bon, j'ai lu...... et devine quoi ? Ben il faut que je relise !

 

J'intègre tout ça, je bosse un peu dessus et je reviens avec certainement des questions.

 

Merci à tous les deux de prendre du temps pour quelque chose d'inutil en définitive.

 

AtY

[aty]

Bon, j'ai relu.

 

j'ai bien compris pas mal de choses. J'ai des questions bien évidement et des points que je n'ai pas saisis.

 

Cependant, je me permets d'imprimer ça, de bien y réfléchir et de ne pas revenir avec les mêmes affirmations ou les mêmes questions pour lesquelles Jeff s'est déjà expliqué.

 

Je pense te faire un retour dans la soirée ou encore demain matin.

 

PS : J'introduirai certainement un autre point avec lequel "je ne suis pas d'accord". Il est aussi possible que ce point soit éclairci une fois ton pavé digéré. Donc wait and see.

 

AtY

[Jeff Hawke]

Tout ça a été découvert par G. Cantor à la fin du 19è siècle. Inutile de préciser qu'il est devenu fou et a fini sa vie à l'asile (authentique).

 

Evidemment, on se demande toujours quel est l'enchainement exact de causalité. Comme Gödel. Fou furieux avant, pour sortir son théorème ? Ou conséquence ?

[aty]

Aty' date=' je vais essayer de vuilgariser les articles qui semblent te faire mal à la tête...

 

Une bijection d'un ensemble A vers un ensemble B, ça veut dire qu'on peut marier tous les élements de A à tous les éléments de B, et qu'il n'y a pas de polygamie ni de célibataires. Si on peut marier A et B, c'est qu'ils ont autant d'éléments. On dit qu'ils ont la même cardinalité (tous ces mariages à grande échelle, c'est sans doute un cardinal qui s'en occupe )[/quote']

 

Ok !

 

Maintenant, qu'est-ce que signifie que A=B. Si A et B sont des nombres, je te laisse deviner. Mais si A et B sont des fractions ? Est-ce que 1/2 est égal à 2/4 ? Est-ce que 0,9999... est égal à 1 ? Et que signifie que deux fonctions sont égales ? On doit définir précisemment ce que signifie le mot "égal" car la définition du langage courant ne marche que sur les nombes entiers, et c'est pour ça que l'égalité entre l'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombres entiers peut sembler bizarre si on croit qu'elle a la signification du langage courant (or il est impossible qu'elle l'ait, puisque le nombre d'éléments de ces ensemble n'est pas un nombre entier).

 

Peux tu préciser la dernière phrase de ce paragraphe ? En effet, j'ai pas bien compris dans quelle mesure le nombre d'éléments de ces ensembles n'est pas un nombre entier.

 

En fait, la notion d'égalité est basée sur le bijection. Sur les mariages, disons.

 

Ok !

 

On dit qu'un ensemble est de cardinalité finie si chaque élément de cet ensemble peut être marié à un nombre entier (au sens de la bijection) et s'il y a un "nombre le plus grand" (dans ce cas, tous les nombres au-dessus de ce "nombre le plus grand" restent célibataires). Si ce n'est pas le cas, on dit que la cardinalité est infinie. Note bien : l'infini n'est pas un nombre, c'est une cardinalité. C'est le fait de ne pas pouvoir définir de bijection avec un sous-ensemble borné des nombres entiers (pas de mariage avec "nombre le plus grand"). Il y a deux possibilités :

 

- Si le mariage est possible mais qu'il n'y a pas de "nombre le plus grand", ça veut dire que les éléments de l'ensemble sont mariés avec tous les nombres entiers. Dans ce cas, on dit que l'ensemble est infini dénombrable. Chaque élément est marié à un nombre, et aucun nombre n'est célibataire.

- Si le mariage est impossible, autrement dit si des éléménts de l'ensemble restent célibataires (l'ensemble est "plus grand" que l'ensemble des nombres entiers), on dit que l'ensemble est infini non-dénombrable.

 

Ok !

 

Exemples d'ensembles dénombrables : les nombres entiers, les nombres entiers pairs, les nombres premiers, les fractions. Tous ces ensembles ont la même cardinalité (puisqu'il y a une bijection entre eux), le même infini en quelque sorte. Par exemple on peut marier toutes les fractions à tous les nombres entiers (le procédé de mariage est astucieux).

 

Ok !

 

Exemples d'ensembles non-dénombrables : l'ensemble des sous-ensembles de nombres entiers (ou de tout autre ensemble dénombrable), les nombres réels. Ces deux exemples sont d'ailleurs bijectifs : leur cardinalité est la même. Mais il est impossible de marier tous les nombres réels à tous les nombres entiers : il reste forcément des nombres réels célibataires. Par contre, on peut marier tous les nombres de l'intervalle [-1;+1] (ou de tout autre intervalle fini) aux nombres réels. Le procédé de mariage est la fonction détermination principale de l'arc-tangente : tout nombre x de l'intervalle est marié au nombre Arctg(x). Ce faisant, ils sont tous mariés, il n'y a pas de polygamie ni de célibataires. Sur la droite réelle, un intervalle de longueur finie a donc la même cardinalité qu'un intervalle de longueur infinie (ce qui peut paraître surprenant, je ne sais pas...)

 

Non, je ne trouve pas ça surprenant.

 

Bref, on a deux types d'infini : la cardinalité des nombres entiers (ou des fractions) et la cardinalité des nombres réels (de tous les réels, ou uniquement des réels entre a et . Y a-t-il un infini entre les deux ? Ça dépend des axiomes, un peu comme le postulat des parallèles d'Euclide. Y a-t-il un infini au-dessus de celui des réels ? Oui : l'ensemble de sous-ensembles de nombres réels, qui forme un "niveau 2" (niveau 0 = nombres entiers, niveau 1 = nombres réels). Et de même, on peut former un "niveau 3", un "niveau 4" et ainsi de suite en prenant à chaque fois l'ensemble des sous-ensembles de... Il y a donc une hiérachie d'infinis.

 

Ok aussi !

 

Tout ça a été découvert par G. Cantor à la fin du 19è siècle. Inutile de préciser qu'il est devenu fou et a fini sa vie à l'asile (authentique).

 

Franchement ? ça ne m'étonne pas !

 

Donc en conclusion de ce que tu viens d'écrire, j'ai compris ce qui est dit dans ce pavé que je croyais imbuvable (finalement, pas si compliqué que ça).

 

Cependant, je n'arrive pas à trouver l'application de cette affirmation dans ce que tu viens d'énoncer :

 

"Pour x allant de 0 à l'infini et pour tout x pair, on aura toujours un nombre de nombres entiers deux fois supérieur au nombre des nombres pairs".

 

J'ai l'impression que nous ne sommes tout simplement pas dans le même "secteur mathématique" et que l'infini exprimé ici n'est pas "celui" des quelques explications que tu viens de me donner. Mon sentiment étant que mon affirmation ne travaille pas avec les ensembles mais avec une suite logique toute bête.

 

Moyennant tes explications, je comprends mieux le problème, sans être sûr de son réel intérêt.

 

Finalement, existe t'il une application "physique" (i.e. vérifiable) à chercher à jouer avec l'infini ?

 

Enfin, j'aurai une question qui me perturbe et qui cause encore de l'infini. Lorsque j'étais môme, on m'a dit : "on ne peut pas diviser par zéro". Cependant, au grès de mes recherches pour cerner mon problème avec l'infini, jai vu que des zigotos divisaient par zéro et que le résultat tendait vers l'infini. "On divise une valeur par des bouts de longueur "zéro"". Pour moi, deux façon d'aborder la chose :

 

- On accepte que diviser une valeur par des bouts de "zéro" de longueur/largeur/"ce qu'on veut" est une solution viable. Pour moi, il n'y a donc pas de division, donc le résultat est la "valeur initialement divisée". Mais non, il paraitrait que ça tend vers l'inifini. Je pourrai être à même d'accepter ce fait, d'y comprendre le raisonnement, mais il y aura une mauvaise sensation en moi. Le zéro aurait il une vertue que je ne connais pas ?

- On accepte pas le fait de diviser par zéro parce qu'on y trouve un non sens (je penche pour cette solution).

 

AtY

['Bruno]

Peux tu préciser la dernière phrase de ce paragraphe ? En effet, j'ai pas bien compris dans quelle mesure le nombre d'éléments de ces ensembles n'est pas un nombre entier.

Le nombre d'éléments de l'ensemble des nombres entiers n'est pas un nombre... Du coup la phrase est tarabiscotée, et je ne devrais pas dire "nombre d'élements". En fait, il n'existe aucun nombre N tel que l'ensemble des nombres entiers a N éléments. On ne peut donc pas dire que l'ensemble des nombres entiers a un nombre (fini) d'éléments.

 

Dire que les nombres entiers et les nombres pairs ont même cardinalité (plutôt que "même nombre d'éléments", puisque ce n'est pas un nombre) n'a rien à voir avec la notion courante d'égalité entre les nombres.

 

"Pour x allant de 0 à l'infini et pour tout x pair, on aura toujours un nombre de nombres entiers deux fois supérieur au nombre des nombres pairs".

Si je comprends bien, cette phrase signifie que quel que soit le nombre pair x (entre 0 et l'infini - précision à mon avis inutile...), il y a toujours deux fois plus de nombres entiers que de nombres pairs entre 0 et x. Évidemment, si on remplace x par l'infini ça devient faux.

 

Moyennant tes explications, je comprends mieux le problème, sans être sûr de son réel intérêt. Finalement, existe t'il une application "physique" (i.e. vérifiable) à chercher à jouer avec l'infini ?

On se demande souvent si l'univers est fini ou infini. Or il faut bien comprendre que le mot "infini" est ici employé dans son sens mathématique, puisque l'univers est décrit par un modèle mathématique. Dire que l'univers est infini signifie en fait que l'espace-temps qui modélise l'univers est de mesure infinie, "mesure" au sens mathématique du terme, là encore. Tout l'intérêt de cette discussion, il me semble, était de bien rappeler que la notion d'infini, au sens mathématique, est définie très précisemment, que ce n'est pas une notion floue comme dans le langage courant, que lorsqu'on parle d'un univers infini, cela a un sens très précis, que ce n'est pas par ignorance que nous pouvons employer cette notion, etc.

 

Lorsque j'étais môme, on m'a dit : "on ne peut pas diviser par zéro".

Pour la division des nombres, on ne peut diviser que par un nombre non-nul.

 

Mais c'est vrai pour toutes les divisions (qu'on veuille diviser des polynômes ou des matrices ou je ne sais quoi) puisque 0 est l'élément absorbant de la multiplication (*) : a/0 = q signifierait que a = 0xq (0xq est forcément nul puisque 0 est l'élément absorbant), or : 1° cette égalité n'est vraie que si a=0 donc on ne peut pas diviser un élément non-nul par 0 ; 2° si a=0, cette égalité est vraie quel que soit q, donc 0/0 n'est pas défini (pour être défini, il doit valoir une valeur unique).

 

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(*) Lorsqu'on définit une addition et une multiplication dans un ensemble, on appelle 0 l'élément neutre de l'addition, c'est l'élément absorbant de la multiplication : ax0 = 0. "Diviser par 0" signifie "trouver un élément tel que sa multiplication par l'élément absorbant donne l'élément de départ" - or cette multiplication ne peut donner que l'élément absorbant.