Tore Et Espace Plat

[jean-émile]

Bonjour ,

 

Je lis quelquefois que le tore est un "espace plat" .

 

Or sa courbure gaussienne (donc intrinsèque) n'est pas nulle

 

Espace plat signifie-t-il donc "localement euclidien" ?

 

ou bien alors fait-on référence à l'espace de recouvrement universel qui , dans le cas du tore , est un plan euclidien ?

 

Merci

[Galiléen]

Salut Jean-Emile,

 

tiens étrange, je pensais d'après le théorème de Gauss-Bonnet, que l'Euler caractéristique d'un tore etait zéro ainsi l'intégrale de la courbure au-dessus du tore était également zéro ?

et que la courbure gaussienne d'un cylindre est zéro à tous les points ainsi la contribution du segment du cylindre est zéro.

Dans le cas du tore avec 2π [sin(φ(a)) - sin(φ(z))] , φ(a) = φ(z).

(j'ai pris z car avec b on ontient un smiley

 

Mais peut être suis-je dans l'erreur

Est-ce vrai pour la courbure de révolution ? hum hum...

 

PS : ton site sur la région en Ligurie et Toscane est très bien réalisé, bravo a te

[jean-émile]

Je ne parlais pas de l'intégrale de la courbure sur le tore tout entier mais de la courbure gaussienne en un point du tore

 

La coubure gaussienne en chaque point d'un cylindre est bien égale à 0

 

En fait ce que je ne comprends pas c'est l'expression "espace plat"

 

PS : en effet Toscane, Ligurie , Méditerrannée !!!! Le rêve !!!!

[Galiléen]

"Bien que l’espace du tore soit fini, un être qui y vit a l’illusion de voir un espace, sinon infini (en pratique, des horizons limitent la vue), du moins plus grand que ce qu’il n’est en réalité. Cet espace fictif a l’aspect d’un réseau construit à partir d’une cellule fondamentale, qui répète indéfiniment chacun des objets de la cellule.

 

Une surface sans courbure, par exemple, n’est pas nécessairement le plan. Il suffit de découper une bande dans le plan et d’en coller les extrémités pour obtenir un cylindre. Mais il présente une différence fondamentale avec le plan: il est fini dans une direction. Ce type de propriété relève de la topologie et non de la courbure. En découpant le plan et en le recollant, nous n’avons pas changé sa forme locale, sa courbure, mais nous avons changé radicalement sa forme globale, sa topologie." Par conséquent on retomberait dans un univers ou espace monoconnexe ou plat.

 

Source Unesco.

 

PS : je laisse ma place à Gaetan et autres....

bon courage jean-émile

[Gaétan]

Murf

 

Il faudrait peut-être poser cette question sur futura-sciences.