ellipse et périhélie

[Estonius]

Question pour les forts en math

 

soit le schéma suivant

 

L'aphélie d'un corps en mouvement est toujours FA

 

Mais est-ce que le périhélie est toujours FP ? Ne peut-il pas être FP2 ?, ou ce genre d'ellipse est-il structurellement impossible (dans lequel FP2 serait plus court que FP) ?

 

merci d'avance pour vos réponses

[syncopatte]

Pas de schéma...

 

Patte.

[Estonius]

moi, je le vois, mais je le reposte tout de même (testé avec IE et avec Firefox)

[pejive]

bonjour

non c'est totalement impossible;la distance entre l'objet et le foyer évolue selon la loi: r=a(1-e²)/(1+e/cos(theta))

avec a=demi grand -axe,e = excentricité, et theta angle de position mesuré par rapport au périastre (périhélie si le corps est en orbite autour du Soleil)

Pour theta= 90° on a r(90°)=a(1-e²) alors que la distance périhélique est

r(0)=a(1-e²)/(1+e)=r(90°)/(1+e)

[syncopatte]

à l'attention de ceux qui ne sont pas forts en maths, il y a un moyen très facile pour le constater:

 

Deux punaises (les foyers) et une corde plus longue que la distance entre les deux foyers (cela détermine l'excentricité)

 

On tend un crayon et on fait le tour: hop une belle ellipse.

On voit que la distance la plus courte par rapport à un foyer est à l'opposé de la plus grande.

On voit aussi que si on rapproche les punaises, le tracé devient plus circulaire.

 

Patte.

[Jeff Hawke]

non c'est totalement impossible;la distance entre l'objet et le foyer évolue selon la loi: r=a(1-e²)/(1+e/cos(theta))

 

 

Et voilà...

 

La loi mathématique est dure, mais c'est la loi.

['Bruno]

Sur ce dessin, le foyer est mal placé, il est en réalité beaucoup plus près, pratiquement collé au point P, qui est effectivement obligatoirement le point du périhélie.

 

D'ailleurs ça peut se calculer. Sur le dessin, le rapport petit-axe sur grand-axe vaut quasiment 0,15 (sur mon écran : 2,5 cm et 26,7 cm). Or l'excentricité est égale à la racine carrée de 1 - (b/a)^2 soit 0,99 (0,9886... j'ai arrondi). L'excentricité est égale au rapport entre OF et OP (O : centre de l'ellipse, F : foyer, P : périhélie). Sur mon écran : OP = 8,35 cm et OF = 8,25 cm : le foyer est à seulement 1 mm de P.

[Toutiet]

Estonius,

Je vais essayer de te répondre "sans formule":). Mon scanner étant en panne, je ne peux hélas te présenter deux figures qui aideraient la compréhension mais on va se débrouiller sans.

 

Je récapitule :

- la Terre décrit, dans l'espace, une ellipse dont le Soleil occupe un des

deux foyers.

- une ellipse est le lieu des points dont la somme des distances à

deux points fixes appelés "foyers" est constante.

- comme l'a dit Syncopatte, pour en tracer une, il suffit de relier les deux foyers que l'on se sera fixés par une ficelle (de longueur supérieure à la distance de ces deux foyers), d'y glisser un crayon, de tendre la ficelle avec le crayon et de déplacer la main autour des deux foyers (méthode classique de traçage).

 

Je te propose d'en tracer une (première figure), d'appeler F1 le foyer de gauche, F2 celui de droite, et M un point de l'ellipse ainsi tracée.

Soit d1 la distance MF1 et d2 la distance MF2.

Par définition, on a d1 + d2 = K (constante)

 

Seconde figure :

Tu traces un axe horizontal sur lequel tu reportes les F1 et F2 précédants, ainsi que le point M.

Tu traces F2M (distance d2) que tu prolonges du segment MP (distance d1).

Tu as alors F2P = d1 + d2 = K (constante). Ceci reste vrai quelle que soit le point M puisque tous ceux-ci doivent répondre à la définition de l'ellipse.

Le point P décrit donc, quand M parcourt l'ellipse, un cercle de centre F2 et de rayon K. En particulier, il vient en Po lorsque M vient en Mo sur l'axe F1F2.

 

Considère maintenant le triangle PMF1 et la perpendiculaire MH abaissée de M sur PF1.

 

Que constate-t-on ?

- que MF1 est nécessairement toujours plus grand que HF1 (puisque hypothénuse du triangle rectangle MHF1).

- et surtout que, à la limite, lorsque P se rapproche de Po, M se rapproche de Mo, milieu de PoF1.

 

La conséquence de tout cela est que MoF1 est nécessairement plus petit que HF1, lequel est nécessairement plus petit que MF1 (dans le triangle MHF1)

 

Concrètement, MoF1 est la distance au Soleil quand la Terre est au périhélie Mo, et tout autre point M de la trajectoire de la Terre est à une distance MF1 au Soleil (F1) obligatoirement supérieure à la distance au périhélie.

C'est donc bien Mo qui est la distance la plus courte entre la terre et le Soleil.

CQFD

 

PS : j'espère avoir été suffisamment clair et ne pas t'avoir conduit à anéantir ton stock d'Aspirine...

[Estonius]

Un grand merci à tous pour ces explications :)

['Bruno]

Une petite remarque : si cette ellipse est l'orbite d'une étoile double vue depuis la Terre, le périastre n'est pas forcément en P. Normalement, l'orbite que dessine l'étoile B par rapport à l'étoile A est une ellipse dont A est un foyer. Mais lorsque nous l'observons depuis la Terre, cette ellipse n'est pas vue de haut, elle est vue inclinée (il est même possible de la voir de profil, comme pour Com), d'où une ellipse apparente qui n'est pas la vraie ellipse, et le vrai périastre ne coïncide pas avec l'endroit où le compagnon est au plus proche de A vu depuis la Terre (donc sur l'ellipse apparente).

 

(En général le périastre est quand même proche du "périastre apparent" parce qu'il faut vraiment que l'inclinaison et sa direction soient particulières.)

 

Exemples :

 

• Castor :
  
  (Le graphique qui s'affiche est celui de la page de Dibon Smith : http://www.dibonsmith.com/constel.htm .) Le prochain périastre aura lieu un peu avant 2420, pourtant l'écart minimum a lieu plutôt vers 2435. L'étoile qui n'est pas franchement au centre est bien un des foyers de l'ellipse - de la vraie.
  
• Plus spectaculaire : 26 Draconis :
  
  Le prochain périastre aura lieu en 2026. Je viens de vérifier pour être sûr car ça semble étonnant (ce couple a une orbite de 76 ans, comme la comète de Halley...) En fait, l'excentricté de l'ellipse réelle est de 0,16 seulement : l'orbite est presque circulaire. Mais elle est vue avec une inclinaison tellement importante que c'est en 2018 et 2050 que la séparation apparente (vue de puis la Terre) sera la plus faible.
  

[Toutiet]

Tout ceci est parfaitement exact mais Estonius parlait des trajectoires réelles, et non apparentes.

[syncopatte]

Il est à noter aussi que l'aphélie et périhélie de la Terre ne correspondent pas aux solstices.

 

Patte.

[jr56]

Et qu'en hiver dans l'hémisphère Nord, c'est là où la terre est la plus éloignée de sa source de chaleur naturelle.

 

Oui, le dessin inital illustre bien que la géométie est " l'art de réussir à raisonner juste sur une figure fausse" comme aimait le répéter l'un de mes profs de maths!

 

Tout simplement, la courbe dessinée peut ressembler à une ellipse, mais elle ne répond pas aux lois de l'ellipse, ce n'est pas une ellipse (même très aplatie...) Autre façon de dire que déjà le foyer n'est pas bien placé...

 

Pour les étoiles doubles attention aussi: dire qu'un corps décrit autour d'un autre une trajectoire qui est une ellipse dont l'autre corps occupe l'un des foyers n'est exact que si l'un des corps a une masse "négligeable" devant l'autre. C'est assez vrai pour la terre et le soleil, par forcément pour des étoiles doubles. Si les deux corps ont des masses pas très différentes, les deux tournent autour de leur centre de masse commun, qui peut être très à l'extérieur de chacun d'entre eux (pour soleil/terre, les deux tournent aussi bien évidemment autour du centre de masse commun, mais ce centre de masse est quasi confondu en pratique avec le centre du soleil).

 

Dans les curiosités un peu du même genre, j'ai plusieurs fois lu que si la lune tourne bien autour de la terre, si on dessine sa trajectoire dans un référentiel fixe dont l'origine est le centre du soleil (donc en composant la rotation de la lune autour de la terre avec le déplacement de la terre autour du soleil), la trajectoire de la lune reste toujours concave vers le soleil (même quand elle est "entre la terre et le soleil"), et n'est pas l'espèce de sinusoïde courbe plaquée sur l'orbite de la terre comme on le dessine spontanément. Là aussi parce que la distance terre-lune est très inférieure à celle de la terre au soleil: on ne dessine donc jamais avec les bonnes échelles.

['Bruno]

J.R., je viens te contredire...

 

qu'en hiver dans l'hémisphère Nord, c'est là où la terre est la plus éloignée de sa source de chaleur naturelle

Non, c'est au contraire en hiver dans l'hémisphère nord que la Terre est au plus près du Soleil (le périhélie a lieu vers le 4 janvier, je crois).

 

un corps ne décrit autour d'un autre une trajectoire qui est une ellipse dont l'autre corps occupe l'un des foyers n'est exact que si l'un des corps a une masse "négligeable" devant l'autre

Tu es sûr ? Si on étudie le mouvement d'une étoile par rapport au centre de gravité du système, alors on obtient une ellipse dont le foyer est ce centre de gravité. Mais il me semblait que ça restait vrai si on étudiait le mouvement d'une étoile par rapport à sa compagne.

[pejive]

Si on étudie le mouvement d'une étoile par rapport au centre de gravité du système' date=' alors on obtient une ellipse dont le foyer est ce centre de gravité. Mais il me semblait que ça restait vrai si on étudiait le mouvement d'une étoile par rapport à sa compagne.[/quote']

bonjour,

tout à fait: les trajectoires sont toutes homothétiques; le mouvement relatif donne aussi une ellipse

[jr56]

J.R.' date=' je viens te contredire...

 

 

Non, c'est au contraire en hiver dans l'hémisphère nord que la Terre est au plus près du Soleil (le périhélie a lieu vers le 4 janvier, je crois)[/quote']

Oui, tu as totalement raison de me contredire, lapsus scirptae de fatigue nocturne sans doute

Du coup, je montre l'inverse de ce que je voulais illustrer: beaucoup de gens dans notre monde boréal pense spontanément que c'est à notre saison chaude que la terre est la plus proche du soleil, alors que c'est l'inverse.

 

Pour les trajectoires, oui ce sont des ellipses, mais ce n'est plus le centre d'une des étoiles qui est à l'un des foyers, non? Je me trompes?

[Toutiet]

Bruno, et aussi jr56 :

 

"Non, c'est au contraire en hiver dans l'hémisphère nord que la Terre est au plus près du Soleil (le périhélie a lieu vers le 4 janvier, je crois)".

 

L'hémisphère nord n'a rien à voir dans cette affaire ! La Terre forme un tout et c'est sa totalité qui est plus proche du Soleil en hiver, qu'en été.

[pejive]

Pour les trajectoires, oui ce sont des ellipses, mais ce n'est plus le centre d'une des étoiles qui est à l'un des foyers, non? Je me trompes?

bonjour

Les étoiles A et B décrivent 2 ellipses dont l'un des foyers est le centre des masses du système.

L'étoile B décrit une ellipse dont A occupe l'un des foyers.

De même A décrit une ellipse avec B à l'un des foyers.

Toutes ces ellipses sont homothétiques de celle que décrirait un mobile fictif dont la masse serait la masse réduite du système [mu=MaMb/(Ma+Mb) ]et se déplaçant à la distance AB d'un point fixe

[Jeff Hawke]

L'hémisphère nord n'a rien à voir dans cette affaire ! La Terre forme un tout et c'est sa totalité qui est plus proche du Soleil en hiver, qu'en été.

 

Oui, quand c'est l'hiver dans l'hémisphère Nord...

 

 

...Pendant l'été austral, si tu préfères...

[Toutiet]

Oui, quand c'est l'hiver dans l'hémisphère Nord...

 

 

...Pendant l'été austral, si tu préfères...

Of course !

[Goosebumps]

Bruno, et aussi jr56 :

 

"Non, c'est au contraire en hiver dans l'hémisphère nord que la Terre est au plus près du Soleil (le périhélie a lieu vers le 4 janvier, je crois)".

 

L'hémisphère nord n'a rien à voir dans cette affaire ! La Terre forme un tout et c'est sa totalité qui est plus proche du Soleil en hiver, qu'en été.

 

Certes mais si Bruno avait seulement dit "c'est en hiver" la phrase ne voudrait rien dire...

 

Notre été, c'est l'hiver argentin.

[Toutiet]

Ben oui, c'est exact, tout ceci me semble finalement très correct. Je ne sais pas ce qui m'a pris... J'ai vu "le mal" là où il n'était pas et je fais publiquement mon mea culpa:be:

Je mérite d'etre!spacecraft! (C'est pour le 14....)

['Bruno]

[Petite parenthèse hors-sujet]

 

Toutiet, ton erreur d'interprétation est intéressante. Elle illustre l'importance de la ponctuation. En effet, si j'avais écrit : « c'est en hiver, dans l'hémisphère nord, qu'a lieu le périhélie » là, la phrase aurait été ambiguë. En ce qui me concerne, je fais attention à la ponctuation, et quand je n'en mets pas, ce n'est pas pour rien. Mais sur les forums on lit souvent des textes dépourvus (ou mal pourvus) de ponctuation et il faut faire l'effort de deviner ce que ça veut dire... C'est peut-être devenu un réflexe pour toi : à force de décoder, tu l'as fait aussi avec mon texte.

 

Moralité : faites attention à la ponctuation. Si on l'oublie, on aura plein de malentendus de ce genre.

 

[Je ferme la parenthèse.]