Appel aux trigono-matheux

[Estonius]

soit le schéma suivant

 

La couche atmosphérique que doit traverser un observateur quand il regarde au zénith est estimé à 50 km (on ne tient pas compte de la mésosphère)

 

Sachant que (par convention) une observation à l'horizon va faire un angle de 90° avec l'observation au zénith, comment peut-on par calcul trouver l'épaisseur de la couche à traverser dans cette direction ?

 

je l'ai estimé au pif à 100 km avec un centimètre et une règle de trois, mais il doit y avoir plus... élégant.

 

Merci d'avance aux matheux

[Newton]

Posons:

R = le rayon de la Terre

R' = le rayon de la Terre + la couche atmosphérique (= R + 50 km)

D = la distance que tu veux calculer à l'horizon

 

Et bien pythagore nous dit

 

R'² = D² + R²

Donc D = Racine carrée (R'² -R²)

[Estonius]

Oups !

 

Si R'' est la couche atmosphérique au Zénith on peut prolonger la ligne jusqu'au centre de la Terre et on a donc R, R' et R'' qui sont connus.... OK

 

Mais D ne peut pas être prolongé jusqu'au centre de la terre, puisqu'il part de sa surface (c'est une tangente, en fait).

[perefog]

le diametre de la terre =12756 km

le diametre da la terre + l atmosphere 12756+100 =12856

la fleche f déja donnée est donc de 50.

la corde est =2 *(racinecarrré )de f(D-f )

soit 1600 km.

la demi corde est donc de 800 km

[Newton]

euuuh... bah je vois pas pourquoi ma formule serait fausse ? Fait un schéma et on retrouve bien pythagore, non ?

 

D = Sqr ( (6378+50)² - (6378)² ) = 800 km

 

Edit: confirmé par perefog.

D'ailleurs, je peux généraliser la formule (attends une seconde...)

[Newton]

R'² = D² + R² - 2.D.R.cos(alpha + 90°)

R', R et D sont les mêmes données que tout à l'heure

 

alpha est l'angle par rapport à l'horizon:

= 0° si tu veux la distance à traverser à l'horizon (tu retombes sur 800 km)

= 90° si tu veux la distance au zénith (= 50 km)

 

Reste plus qu'à résoudre l'équation du 2nd degré pour trouver D:

D² - 2.D.R.cos(alpha + 90°) + R² - R'2 = 0

 

Je peux résoudre, mais là , ça va me gonfler

[Estonius]

Je ne voudrais (surtout pas) passer pour un casse pied

Mais entre 50 km au zénith et 800 km à l'horizon, ça fait un rapport de 1 à 16 !

 

L'examen du schéma, même s'il n'est pas joli, ne montre pas un tel écart : Où est l'erreur ?

[Newton]

Fait un schéma à l'échelle et compare un diamètre de la terre de 6000 km et une atmosphère de 50 km, je pense que tu auras la réponse.

Là, tu te fais avoir car le schéma n'est pas du tout aux bonnes dimensions. Or, le diamètre de la terre par rapport à celui de l'atmosphère intervient dans la formule.

[Estonius]

Fait un schéma à l'échelle et compare un diamètre de la terre de 6000 km et une atmosphère de 50 km, je pense que tu auras la réponse.

Là, tu te fais avoir car le schéma n'est pas du tout aux bonnes dimensions. Or, le diamètre de la terre par rapport à celui de l'atmosphère intervient dans la formule.

 

 

Et oui, elle était là l'erreur, dans l'échelle... et moi je me suis entété.

 

Merci donc à tous les deux de vos explications et de votre patience

bonne soirée

Estonius

[perefog]

c' est de la simple géométrie , les relations entre les élements d 'une circonférence

je n invente rien , pour une fois

 

faut pas se prendre les pieds dans la corde..

 

en tout cas le résultat me laisse baba..

on comprend mieux l'heure astronomique du soleil..

[Toutiet]

Bravo à Newton qui a donné immédiatement la simplissime solution !