Vendredi 13

[Estonius]

Rassurez-vous, je n'ouvre pas un post sur les superstitions.

 

Non, c'est beaucoup plus basique que ça :

 

Je fais parfois du soutien scolaire pour une petite voisine, qui est en 3ème. Elle a un devoir de mathématique dont l'énoncé est à peu près celui-ci :

Combien peut-il y avoir de Vendredi 13 dans une année (minimum et maximum).

 

La réponse me semble être (intuitivement) 1 et 3, mais je n'arrive pas à trouver une formule de calcul un peu... élégante...

 

Si un astram matheux voulait bien me rendre ce service...

 

merci d'avance

[astromania74]

1+3= 13 (calcul selon Jean Claude Vandamme)

[roger15]

Bonjour Estonius,

 

Il peut en effet y avoir un, deux ou trois vendredis 13 dans une même année.

 

Ainsi, en 2008 il n'y en a eu qu'un seul : le vendredi 13 juin 2008 ; en 2009 il y en aura en revanche trois : le vendredi 13 février 2009, le vendredi 13 mars 2009, et enfin le vendredi 13 novembre 2009 ; enfin, en 2010 il n'y en aura encore qu'un seul : le vendredi 13 août 2010. En 2011 il n'y en aura toujours qu'un seul : le vendredi 13 mai 2011. Enfin en 2012 il y en aura de nouveau trois : vendredi 13 janvier 2012, vendredi 13 avril 2012, et vendredi 13 juillet 2012.

 

Ce n'est qu'en 2013 qu'il y aura deux vendredis 13 dans l'année : vendredi 13 septembre 2013 et vendredi 13 décembre 2013.

 

Je fais parfois du soutien scolaire pour une petite voisine, qui est en 3ème. Elle a un devoir de mathématique dont l'énoncé est à peu près celui-ci :

Combien peut-il y avoir de Vendredi 13 dans une année (minimum et maximum).

 

La réponse me semble être (intuitivement) 1 et 3, mais je n'arrive pas à trouver une formule de calcul un peu... élégante...

 

Si un astram matheux voulait bien me rendre ce service...

 

Hélas, Estonius, je ne suis pas un "matheux", mais un "touche à tout curieux" et j'ai trouvé un site qui permet de calculer tous les vendredis 13 d'une année à l'aide d'un tableur Excel, voir : http://pagesperso-orange.fr/yoda.guillaume/Culture/Vendre13.htm#Vendredi13. J'espère que ça te sera une bonne piste de départ pour trouver une formule mathématique "un peu élégante" adaptée à la question qu'on a posé à ta petite voisine…

 

Roger le Cantalien.

[Estonius]

Merci pour ce lien, mais ce n'est malheureusement pas ce que je cherche.

 

Je vais essayer de synthétiser ce que j'ai trouvé, car j'ai bien trouvé, j'ai vérifié, c'est bon.... mais ce n'est pas élégant (pas du tout même !)

 

1) on part du principe inébranlable qu'il n'y a que 14 calendriers civils possibles (7 non-bissextiles et 7 bissextiles)

 

2) je calcule la suite des quantièmes de tous les 13 du mois

soit : 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 pour les années de 365 j

13 44 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 pour les bissextiles

 

3) je simplifie la suite en extrayant le modulo 7 de

6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 pour les années de 365 j

6 2 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 pour les bissextiles

 

4) j'attribue le chiffre 1 au lundi, 2 au mardi... jusqu'à 7 pour le dimanche

 

5) et c'est là que ça se corse :

 

si le 1er janvier est un dimanche : je pose dimanche = 7 + 6 (le modulo de janvier) = 13, j'ajoute 7 partout et je trouve une suite de 12 mois. Là où apparaît le nombre 13, c'est un vendredi... idem pour les années de premier janvier bissextiles

 

dim 13 9 9 12 7 10 12 8 11 13 9 11 soit 2 V13

dim/b 13 9 10 13 8 11 13 9 12 7 10 12 soit 3 V13

 

6) et ça devient carrément inélégant

 

si le 1er janvier est un lundi : je pose lundi = 1 + 6 le modulo de janvier = 7 ça va encore... mais pour le reste de la suite, les chiffres sont trop petits.

 

J'ai donc le choix entre trafiquer la formule avec une constante de 7 (la constante d'estonius) qui devient : modulo du mois + numéro du jour de la semaine + 7 (la constante) et la ça marche !

 

la première colonne est donc le jour de semaine du 1er janvier (une dois normale, une fois bissextile)

 

lu 14 10 10 13 8 11 13 9 12 14 10 12 soit 2 V13

lu/b 14 10 11 14 9 12 14 10 13 8 11 13 soit 2 V13

ma 15 11 11 14 9 12 14 10 13 15 11 13 soit 2 V13

ma/b 15 11 12 15 10 13 15 11 14 9 12 14 soit 1 V13

me 16 12 12 15 10 13 15 11 14 16 12 14 soit 1 V13

me/b 16 12 13 16 11 14 16 12 15 10 13 15 soit 2 V13

je 17 13 13 16 11 14 16 12 15 17 13 15 soit 3 V13

je/b 17 13 14 17 12 15 17 13 16 11 14 16 soit 2 V13

ve 18 14 14 17 12 15 17 13 16 18 14 16 soit 1 V13

ve/b 18 14 15 18 13 16 18 14 17 12 15 17 soit 1 V13

sa 19 15 15 18 13 16 18 14 17 19 15 17 1 V13

sa/b 19 15 16 19 14 17 19 15 18 13 16 18 soit 1 V13

 

l'autre choix avec les petits chiffres consiste à ne plus chercher les vendredi 13... mais les vendredi 6 en se disant que si le 6 tombe un vendredi, le suivant sera forcément le 13...

 

On doit donc pouvoir trouver plus beau !

[astrotophe]

Je suis d'accord avec le site que Roger nous propose. Le plus simple à faire, c'est d'effectuer un dénombrement.

[Estonius]

Le plus simple à faire, c'est d'effectuer un dénombrement.

 

sans doute... mais on demande un calcul...

 

jusqu'aux modulos c'est bon et logique...

après ça reste bon mais tiré par les cheveux...

[robton kob]

sinon, je me demande pourquoi Roger n'a pas bondi sur l'occasion pour nous expliquer pourquoi le vendredi13 attire tous les fanas d'ésotérisme et de mystère... en panne, Roger???

[astrotophe]

sans doute... mais on demande un calcul...

 

jusqu'aux modulos c'est bon et logique...

après ça reste bon mais tiré par les cheveux...

 

Le dénombrement est une méthode mathématique qui est très utilisée.

[Estonius]

Le dénombrement est une méthode mathématique qui est très utilisée.

 

Admettons mais je ne pense pas que ce soit ce qu'on attend comme solution proposée par une élève de 3ème ! (toi-même) :)

[robton kob]

et si on calculait la fréquence d'apparition des vendredis 13, et qu'on l'applique à une période donnée..., on devrait pouvoir en sortir une règle statistique nan?

 

Elarwen??? une idée?

[Estonius]

et si on calculait la fréquence d'apparition des vendredis 13, et qu'on l'applique à une période donnée..., on devrait pouvoir en sortir une règle statistique nan?

 

Elarwen??? une idée?

 

Non, tu poses mal le problème : il n'y a que 14 calendriers civils possibles

[roger15]

sinon, je me demande pourquoi Roger n'a pas bondi sur l'occasion pour nous expliquer pourquoi le vendredi13 attire tous les fanas d'ésotérisme et de mystère... en panne, Roger ???

 

Bonjour Antoine le Rémois,

 

Non, je ne suis pas en "panne" d'explication sur le caractère "mystérieux" du vendredi 13 . Si ça te passionne, il y a un excellent site là-dessus : http://www.vendredi13.us/.

 

J'avais tout simplement suivi ce qu'avait indiqué Estonius à l'ouverture de ce "topic" :

Rassurez-vous, je n'ouvre pas un post sur les superstitions.

 

Roger le Cantalien.

[Newton]

La méthode simple non "mathématique", est effectivement de poser les 14 cas différents. 7 cas ont une année de 365 jours, 7 autres cas ont une année de 366 jours.

Les 7 cas sont:

- le 1er janvier étant un lundi

- le 1er janvier étant un mardi...

-...

- le 1er janvier étant un dimanche

Pour chaque cas, on utilise un calendrier "perpétuel" pour déterminer si le vendredi est un 13 et on compte le nombre de vendredi 13 sur l'année.

 

Et c'est tout...

[Poussin38]

c'est ce que proposais Christophe plus haut et qui est mathématique : le dénombrement (autre méthode : si le 13 janvier est un vendredi, si le 13 février est un vendredi...) dans les 2 cas sextiles

[vesta03]

1) on part du principe inébranlable qu'il n'y a que 14 calendriers civils possibles (7 non-bissextiles et 7 bissextiles)

 

2) je calcule la suite des quantièmes de tous les 13 du mois

soit : 13 44 72 103 133 164 194 225 256 286 317 347 pour les années de 365 j

13 44 73 104 134 165 195 226 257 287 318 348 pour les bissextiles

 

3) je simplifie la suite en extrayant le modulo 7 de

6 2 2 5 0 3 5 1 4 6 2 4 pour les années de 365 j

6 2 3 6 1 4 6 2 5 0 3 5 pour les bissextiles

 

4) j'attribue le chiffre 1 au lundi, 2 au mardi... jusqu'à 7 pour le dimanche

 

5) et c'est là que ça se corse :

 

si le 1er janvier est un dimanche : je pose dimanche = 7 + 6 (le modulo de janvier) = 13, j'ajoute 7 partout et je trouve une suite de 12 mois. Là où apparaît le nombre 13, c'est un vendredi... idem pour les années de premier janvier bissextiles

 

dim 13 9 9 12 7 10 12 8 11 13 9 11 soit 2 V13

dim/b 13 9 10 13 8 11 13 9 12 7 10 12 soit 3 V13

 

6) et ça devient carrément inélégant

 

si le 1er janvier est un lundi : je pose lundi = 1 + 6 le modulo de janvier = 7 ça va encore... mais pour le reste de la suite, les chiffres sont trop petits.

 

J'ai donc le choix entre trafiquer la formule avec une constante de 7 (la constante d'estonius) qui devient : modulo du mois + numéro du jour de la semaine + 7 (la constante) et la ça marche !

 

la première colonne est donc le jour de semaine du 1er janvier (une dois normale, une fois bissextile)

 

lu 14 10 10 13 8 11 13 9 12 14 10 12 soit 2 V13

lu/b 14 10 11 14 9 12 14 10 13 8 11 13 soit 2 V13

(...)

ve 18 14 14 17 12 15 17 13 16 18 14 16 soit 1 V13

ve/b 18 14 15 18 13 16 18 14 17 12 15 17 soit 1 V13

(...)

 

Ta méthode me paraît pas mal, mais ce qui me gène, c'est que je penses que c'est beaucoup trop difficile pour un élève de collège ; et je suis quasiment sûre que ce n'est pas ce qu'attend le prof de maths de ton jeune. De plus, les modulos ne sont pas au programme de maths de 3ème (ni même de 2nde, je pense). Il faudrait au moins revoir la façon de la présenter pour qu'elle soit plus compréhensible.

La méthode par dénombrement est une méthode mathématique tout à fait valable, à condition qu'elle soit bien présentée et qu'elle soit correctement argumentée (et c'est là que réside toute la difficulté).

 

Je te conseille d'utiliser des couleurs pour la présentation de la solution, de ne pas hésiter à détailler le chemin de réflexion qui vous aura amené à trouver ce que vous aurez découvert (même si certaines pistes de ce chemin ne sont pas satisfaisantes, en expliquant pourquoi elles ne le sont pas). Au vu de ce que tu en dis, je penses que c'est d'un "problème ouvert" qu'il s'agit. Et à ce moment là, ce qui va intéresser le plus le prof c'est de connaître la façon qu'a eu l'élève de résoudre le problème. Et le but n'est pas forcément d'arriver à une réponse bien ficelée et rigoureuse. Le but, c'est que l'élève cherche ! Et qu'il essaie vraiment de trouver une réponse qui soit le plus efficace possible.

 

Je penses qu'on demande un calcul pour avoir en fait une méthode qui permettrait de trouver le nombre de fois qu'un autre jour quelconque dans l'année (comme par exemple, le nombre de mardi 19), sans avoir à se refaire toute une réflexion très compliquée à détailler. Donc arriver à justifier une méthode de calcul qui pourrait marcher pour m'importe quel jour.

 

En conclusion, faire surtout attention à la présentation de la solution et ne pas hésiter à détailler les chemins de réflexions (même s'ils ne sont pas exprimés de façon très mathématique).

 

En espérant t'avoir été un peu utile.

N'hésite pas à me redemander, ou à me contacter par MP pour plus de détails.

 

Vesta03, prof de maths en collège.

[Estonius]

Merci Vesta03.

Un grand merci pour ce message

J'avoue que ta démarche est interessante, et je pense que je vais fonctionner comme ça (je la vois demain, soir, la 'tite voisine).

Sinon j'avais pensé :

- à une réglette qu'il suffirait de déplacer 7 fois (mais ça fait intervenir aussi les modulos)

- à une formule algébrique, mais ça prend vraiment la tête

Mais effectivement je crois ce qui est important c'est les 2 premières phases du raisonement

- affirmer qu'il n'y a que 14 calendriers civils (ce qui n'a rien d'intuitif) et le démontrer (facile)

- établir une (double) série de quantièmes et les déclarer invariables.

['Bruno]

Voilà comment je m'y prendrais...

 

Compter les vendredis 13, c'est comme compter les lundis 13 ou les mardis 13 ou etc. C'est la même chose : tous les jours de la semaine sont logés à la même enseigne (1 tous les 7 jours)

 

Donc on va compter les jours de la semaine qui tombent le 13.

 

Si le 13 janvier tombe un lundi, quels seront les jours de la semaine des 13 de chaque mois ? Ça dépend du nombre de jours de chaque mois, et il faut séparer les années bissextiles ou non.

 

1) Pour une année non bissextile :

 

Lundi 13/01 ==> Jeudi 13/02 ==> Jeudi 13/03 ==> Dimanche 13/04 ==> Mardi 13/05 ==> Vendredi 13/06 ==> Dimanche 13/07 ==> Mercredi 13/08 ==> Samedi 13/09 ==> Lundi 13/10 ==> Jeudi 13/11 ==> Samedi 13/12 (==> Mardi 13/01 suivant : comme on le sait, 365 jours plus tard on a un jour de semaine de plus).

 

Comptons les jours :

- lundi : 2

- mardi : 1

- mercredi : 1

- jeudi : 3

- vendredi : 1

- samedi : 2

- dimanche : 2

 

Au cours d'une année, tous les jours de la semaine peuvent tomber le 13 du mois, certains à une reprise, d'autres à deux ou trois reprises, mais ni plus ni moins.

 

Cette analyse supposait que le 13 janvier tombait un lundi, mais bien sûr on ne change pas la conclusion ("chaque jour intervient entre 1 et 3 fois") si c'était un mardi, un mercredi, un jeudi, etc. Ce qui change, c'est juste le décompte précis (1, 2 ou 3 jours), mais pas la fourchette.

 

2) Pour une année bissextile :

 

Lundi 13/01 ==> Jeudi 13/02 ==> Vendredi 13/03 ==> Lundi 13/04 ==> Mercredi 13/05 ==> Samedi 13/06 ==> Lundi 13/07 ==> Jeudi 13/08 ==> Dimanche 13/09 ==> Mardi 13/10 ==> Vendredi 13/11 ==> Dimanche 13/12 (==> Mercredi 13/01 suivant : deux jours de semaine de plus après une année bissextile).

 

Cette fois :

- lundi : 3

- mardi : 1

- mercredi : 1

- jeudi : 2

- vendredi : 2

- samedi : 1

- dimanche : 2

 

À nouveau chaque jour de la semaine intervient entre 1 et 3 fois obligatoirement, ni plus ni moins. Et à nouveau, on obtiendrait la même conclusion si le 01/01 tombait un quelconque autre jour de la semaine, mais avec une distribution différente des nombres de jour.

 

Conclusion : au cours d'une année donnée, un jour quelconque de la semaine peut tomber le 13 du mois, et ce entre 1 et 3 fois.

 

Corollaire : chaque année, il y a entre 1 et 3 vendredis 13.

 

Remarque : d'après ce qui précède, il y a donc trois vendredis 13 :

- les années non-bissextiles, lorsque le 13/01 tombe un mardi (car 3 jeudis 13 pour le lundi 13/01, donc 3 vendredis 13 pour le mardi 13/01) donc lorsque le 1er janvier tombe un jeudi ;

- les années bissextiles, lorsque le 13/01 tombe un vendredi (il y a 3 lundis 13 lorsque c'est le 13/01, donc il y a 3 vendredis 13 lorsque c'est le 13/01) donc lorsque le 1er janvier tombe un dimanche.

 

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Notons que ce serait pareil avec n'importe quel rang du mois entre 1 et 28 puisque le nombre 13 ne jour pas de rôle dans le raisonnement. Ainsi, à la question "combien peut-il y avoir de dimanche 25 dans l'année ?" la réponse sera la même. Et les années non-bissextiles, il y aura 3 dimanche 25 lorsque le 25/01 tombera un jeudi, donc lorsque le 1er janvier tombera un lundi. (Ce serait différent pour les rangs 29, 30 et 31 du fait qu'ils ne sont pas distribués dans chaque mois.)

 

Je pense que l'intérêt de cet exercice, c'est d'être capable de déterminer que la réponse à la question ne dépend pas du fait que c'est un vendredi (ou que c'est le 13).

[Estonius]

Pas mal, Bruno.

et effectivement je ne sais pas pourquoi je me suis compliqué la vie avec mes quantièmes et mes modulos, puisqu'il suffit d'aller chercher un calendrier et de dénombrer