Enigme astro/scientifico/ludique

[Tex murphy]

Bruno: Pour les satellites géostationnaires, la réponse est qu'il n'y a pas de solution possible à l'énoncé du problème.

[kenaroh]

Pour les satellites, je dirais 2 également.

[Tex murphy]

Pour les satellites, je dirais 2 également.

 

Mais non; Un satellite géostationnaire doit être à 35 786 km d'altitude au-dessus de l'équateur, pas à l'infini. Et pour arroser tout l'équateur il est nécessaire et suffisant d'en avoir 3. Mais comme les régions des pôles ne peuvent pas êtres arrosées, la solution est: Impossible.

['Bruno]

Bruno: Pour les satellites géostationnaires, la réponse est qu'il n'y a pas de solution possible à l'énoncé du problème.

Oui, c'est sûrement ça la bonne réponse. À moins que l'on suppose possible l'existence de satellites géostationnaires à latitude quelconque, et là le problème devient bien plus intéressant ! Dans ce cas, je dirais quatre satellites disposés selon un tétraèdre - ah, ben c'est ta toute première réponse d'ailleurs !

[kenaroh]

la solution est: Impossible.

Effectivement.

[yaplusdenuit]

je trouve (95-2)x9 + 5 donc ça fait 842 ? c'est bon ?

[yaplusdenuit]

Petit rappel: il suffit de se rappeler quelle est l'orbite obligatoire d'un géostationnaire..

Un géostationnaire à une latitude "quelconque" ne peut pas etre géostationnaire.

 

Il y a 3 conditions indispensables pour avoir un géostat..

-orbite circulaire et dans le plan de l'équateur terrestre (donc concentirique avec l'équateur)

-à la bonne distance pour tourner meme vitesse que la terre.

puis je crois que c'est tout ?

 

Avec ça c'est vite trouvé, d'ailleurs de nombreux on déja trouvé.

Comme ils ne sont pas à l'infini (les géostat), meme s''ils étaient touche touche, ya p'tét bien des endroits où ce serait dur de les voir....non?

['Bruno]

Je pense que le problème des satellites géostationnaires suppose qu'on peut les placer à latitude quelconque, c'est de cette façon qu'il devient intéressant. C'est physiquement faux, mais peu importe. Allez, faisons appel à la magie...

 

Il est facile de démontrer que trois satellites sont insuffisants. Je suppose dans la suite qu'on néglige la réfraction à l'horizon.

 

Pour un satellite donné, appelons "calotte de visibilité" la portion de la sphère terrestre qui voit le satellite. Si ce satellite était situé à l'infini, ce serait un hémisphère complet centré sur le point d'intersection de la droite satellite - centre de la Terre avec la surface terrestre. Comme le satellite n'est pas à l'infini, il voit en réalité une portion plus petite, une calotte, toujours centrée sur ce point. Le problème consiste à trouver le nombre et la disposition des satellites pour que les calottes recouvrent entièrement la surface terrestre.

 

Une petite remarque technique : si S est le satellite, T le centre de la Terre et P un point quelconque de la surface terrestre, P est invisible depuis S (ou : S est invisible depuis P, c'est pareil) si la mesure de l'angle STP est supérieure ou égale à 90°. Remarque : si cet angle vaut exactement 90°, P reste invisible car S n'est pas à l'infini et l'angle limite - la rayon angulaire de la calotte - est strictement inférieur à 90° (l'angle limite vaut presque 80° si S est distant de 36.000 km du centre de la Terre).

 

Un seul satellite est bien sûr insuffisant puisqu'une calotte et même un hémisphère ne recouvrent pas toute la sphère.

 

Deux satellites sont tout aussi insuffisants. La réunion de deux hémisphères opposés donne bien une sphère (si les satellites sont à l'infini, deux suffisent en effet), mais pas la réunion de deux calottes, même opposées.

 

Si on choisit trois satellites, ils définissent un plan.

 

a) Supposon que ce plan ne passe pas par le centre de la Terre (si les satellites sont disposés d'un seul côté, en quelque sorte). La droite passant par T (le centre de la Terre) et perpendiculaire à ce plan coupe la surface terrestre en deux pôles dont l'un est le plus éloigné du plan (c'est le pôle opposé au plan, notons-le P). Pour tout point S de ce plan, l'angle STP est plus grand que 90°, donc P est invisible depuis S (l'autre pôle, par contre, est visible).

 

Supposons que ce plan passe par le centre de la Terre (par exemple les satellites sont tous disposés sur l'équateur). La droite passant par T perpendiculaire à ce plan définit toujours deux pôles, et cette fois l'angle STP fait exactement 90° (pour chaque pôle). Comme les satellites ne sont pas à l'infini, c'est encore trop grand : les pôles ne sont toujours pas visibles.

 

Il resterait à prouver qu'à partir d'un tétraèdre, les quatre calottes recouvrent complètement la surface terrestre. Vu que les satellites géostationnaires sont pas mal éloignés de la Terre, je pense que ça doit marcher, mais je laisse tomber la preuve...

 

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J'ai vu sur Wikipédia que l'angle entre un sommet du tétraèdre et son centre vaut 109,47°. Plaçons nos quatre satellites sur les sommets d'un tétraèdre inscrit sur une sphère de 36.000 km de rayon et de centre T. Pour chaque satellite S, on trace le segment [TS], qui coupe la surface terrestre en un point M. Ce point M est le point de la Terre pour lequel le satellite S est au zénith. Eh bien la propriété sur les angles des tétraèdres implique que l'arc de grand cercle qui joint chaque point M (ils sont quatre) fait 109,47°. Ces quatre points M définissent quatre triangles sphériques (équilatéraux et semblables) sur la sphère terrestre. Prenons-en un, on peut définir le centre de gravité du triangle (qui est aussi l'orthocentre, etc.), notons-le G. Eh bien si on recouvre la sphère avec des calottes dont le rayon angulaire est supérieur ou égal à SG, alors le recouvrement est complet.

 

Je n'ai pas envie de calculer la distance SG, c'est de la trigonométrie sphérique, c'est casse tête. Mais je sais que le point G est l'intersection des trois hauteurs et que la distance SG est égale à 2/3 de fois la longueur de la hauteur (si on la définit comme étant un segment). Or la hauteur est inférieure au côté du triangle. Donc SG est forcément inférieure à 2/3x109,47° c'est-à-dire à 72,98°. Comme les calottes de visibilité des satellites situés à 36.000 km du centre de la Terre ont un rayon angulaire de 79,80°, celui-ci est forcément plus grand que SG, donc le recouvrement est complet : tout point de la Terre est vu par au moins un satellite et vice-versa.

 

Ouf ! (Celui qui veut comprendre tout ce que je raconte a un intérêt à faire un dessin, à mon avis...)

Modifié 12 mai 2009 par 'Bruno

[yaplusdenuit]

Bonjour Bruno

Dans la question posée je parlais bien de géostat réels, pas de géostat fictifs qui seraient hors plan équateur (impossible comme d'ailleurs tu le dis).

 

Le but était en fait de faire découvrir qu'un géostat ne peut qu'avoir une orbite particuliére, et qu'il n'y a qu'une seule orbite géostat. (circulaire,dans plan équateur..) quand on a montré ça , la réponse est évidente.

 

Mais ce que tu proposes c'est en fait un autre probléme tout aussi intéressant d'ailleurs.

 

Tu pourrais le formuler en demandant combien il faut de projecteurs pour illuminer entiérement une sphére située à une distance d.

On voit que bien sur c'est fonction de la distance; si projecteurs à l'infini, il suffit de 2 opposés (mais ça n'éclairera pas beaucoup )

[yaplusdenuit]

Pour l'instant Tex Murphy et Kénaroh ont donné la bonne réponse. Bravo

Ceux qui donneront désormais la même réponse devront donc expliquer pourquoi.

 

Au post 217 j'ai presque tout dit, il suffit de faire un petit dessin..

je demande bien "combien il en faut au minimum, pour qu'en N'IMPORTE quel point de la surface terrestre, on en voit au moins un"

[Tex murphy]

si projecteurs à l'infini, il suffit de 2 opposés (mais ça n'éclairera pas beaucoup )

Si 2 projecteurs à l'infini, il y aura toujours 2 surfaces infinitésimales qui ne seront pas éclairées

On en revient au problème classique: est-ce que 1 = 0,999... ou pas ?

[Toutiet]

Effectivement, malgré quelques balbutiements chez certains , la bonne réponse est bien 842. Bravo à ceux qui ont trouvé.

 

En effet, 10^95 - 95 est un nombre constitué de un 1 suivi de 95 zéro, nombre auquel on soustrait 95. Après la soustraction, les trois derniers chiffres sont 905 précédés de 92 neuf.

Cela fait 93 neuf + 1 zéro + 1 cinq soit, en calculant la somme de tous ces chiffres : 837 + 5 = 842

['Bruno]

Yaplusdenuit : tu as lu ma réponse d'hier soir ? --> n° 196

 

Tex murphy : 1 = 0,999.... par définition. Ce n'est pas un problème.

Modifié 12 mai 2009 par 'Bruno

[yaplusdenuit]

Yaplusdenuit : tu as lu ma réponse d'hier soir ?

 

Tex murphy : 1 = 0' date='999.... par définition. Ce n'est pas un problème.[/quote']

 

Salut bruno

 

Oui je pense, mais donne moi le numéro du post auquel tu fais allusion, je n'ai peut etre pas vu

[Lasilla]

Non

 

En fait, quand tu parles de somme, je ne sais pas si tu veux la somme "réelle" ou la somme réduite, c'est à dire la somme des sommes jusqu'à ce qu'on ne puisse plus additionner 2 chiffres.

C'est cette dernière que je t'ai donné.

 

Par exemple, pour 842 (au hasard ), je continue: 8+4+2=14 puis 1+4=5

 

Donc 5.

[R V]

Bonjour,

 

Un p'tit hors sujet,ça me turlupine l'esprit...pourquoi l'orsque j'ai installé mes

paraboles pour la tv je les ai orienté vers le haut(je ne me souviens plus des

degrés)et pas du tout en direction des satellites géostationnaire.C'est étrange

non?.Bien sur il y a un truc qui m'échappe,mais quoi??.

 

Hervé

['Bruno]

C'est cette dernière que je t'ai donné.

C'est ballot, du coup la lunette Takahashi te glisse entre les doigts. N'avais qu'à mieux lire l'énoncé...

 

---------

R V : tu les as orientées au zénith ? Si les satellites étaient situés à l'infini, il faudrait les orienter à 90°-latitude. En fait un peu plus bas. De chez moi par exemple, ça doit être de l'ordre de 40°.

Modifié 12 mai 2009 par 'Bruno

[Toutiet]

En fait, quand tu parles de somme, je ne sais pas si tu veux la somme "réelle" ou la somme réduite, c'est à dire la somme des sommes jusqu'à ce qu'on ne puisse plus additionner 2 chiffres.

C'est cette dernière que je t'ai donné.

 

Par exemple, pour 842 (au hasard ), je continue: 8+4+2=14 puis 1+4=5

 

Donc 5.

 

Je pense que la question était clairement posée, sans ambiguïté possible :

"Qui peut me donner la somme des chiffres du très grand nombre 10^95 - 95 ?"

Le nombre en question est composé de chiffres (comme beaucoup de nombre ) dont je demande simplement la somme. Quoi de plus clair...

[GéGé]

En fait, quand tu parles de somme, je ne sais pas si tu veux la somme "réelle" ou la somme réduite, c'est à dire la somme des sommes jusqu'à ce qu'on ne puisse plus additionner 2 chiffres.

C'est cette dernière que je t'ai donné.

 

Par exemple, pour 842 (au hasard ), je continue: 8+4+2=14 puis 1+4=5

 

Donc 5.

 

Non non .... tu n'as pas pris le temps de lire l'énoncé, et tu t'es trompée.

 

Voilà .

[R V]

Je ferme le hors sujet....en fin de compte les paraboles vont bien en direction

des satellites,c'est la distance et la courbure de la terre qui m'ont perturbé

l'esprit...

 

Hervé

[Lasilla]

Ben disons que... comment dire...

 

Additionner les 93 9 et y ajouter 5, ça me semblait un peu simplet par rapport aux trucs tordus qu'on a eu avant...

['Bruno]

Bon, je me permets de poser le problème suivant...

 

C'est le jeu du Compte est Bon. Je vais vous donner un nombre final qu'il faut atteindre en combinant plusieurs nombres de départ.

 

Nombre à atteindre : 7 625 597 484 987

 

Vous avez le droit d'utiliser n'importe quelle combinaison de n'importe quelle opération connue au collège avec n'importe quel nombre. Le but est de trouver la solution la plus simple. Plus simple = avec le moins de nombres possibles, le moins d'opérations possibles et des nombres les plus petits possibles.

[GéGé]

C'est du vice à l'état pur!

 

['Bruno]

Non, non, c'est très simple ! (D'ailleurs quand j'ai vu que tu m'avais répondu, je me suis dit : zut, ça n'aura pas tenu plus de cinq minutes...)

[Toutiet]

Ben disons que... comment dire...

 

Additionner les 93 9 et y ajouter 5, ça me semblait un peu simplet par rapport aux trucs tordus qu'on a eu avant...

 

C'était une ruse... ! T'en fais pas, je vous en prépare un chouet...!

[Toutiet]

Bruno!plasma!

[Lasilla]

Heu...

3^27?

 

 

Désolée...

[Jean-ClaudeP]

Sous la responsabilité de Lasilla...En fait c'est ça!

Modifié 12 mai 2009 par Jean-ClaudeP

['Bruno]

Je préfère la version de Jean-Claude : on n'utilise qu'un seul nombre, et un petit (3) et qu'un seul opérateur.

[Toutiet]

Sympa, on dit merci qui ? : "MERCI GOOGLE" !