Casse-tête: Problème à données minimum

[Tex murphy]

On a déjà vu ici 2 problèmes à données minimum.

 

- Le problème de la corde autour de la planète.

- Le problème de la planète percée.

 

Maintenant une nouvelle curiosité géométrique.

Mais on va aller plus loin dans le minimum puisqu'il n'y plus aucune donnée de connue. C'est à vous de trouver celle qui est nécessaire.

 

Une expédition spatiale est chargée de mesurer la surface du premier anneau de Saturne.

Elle peut survoler cet anneau à sa guise mais ne peut prendre que les mesures de ce qu'elle voit.

Elle ne peut pas prendre la distance entre l'anneau et le centre de Saturne qu'elle ne voit pas par exemple.

Elle ne peut pas prendre non plus la distance entre l'anneau et la surface de Saturne qui est trop fluctuante.

 

On considèrera que l'anneau est plein et on ne s'occupe pas de l'épaisseur.

On estimera qu'on n'a aucune donnée fiable concernant Saturne et ses anneaux.

 

Quelle mesure vont-ils prendre afin de pouvoir calculer la surface de cet anneau ?

Quel est le rapport entre la surface et cette mesure ?

 

Svp, ne cherchez pas sur le net, le jeu n'a plus d'intérêt sinon.

[syncopatte]

Une seule mesure????

 

Patte.

[Tex murphy]

Oui, Une seule mesure.

 

Indice: un peu de logique suffit comme pour le problème de la planète percée.

[syncopatte]

Je ne l'avais pas suivie celle-là...

 

Bon, au boulot.

 

Patte.

[syncopatte]

Bon, je me lance,

 

spoiler:

la longueur entre les points croisés par une tangente du cercle interne avec l'externe

Patte.

[Tex murphy]

Il y a un petit souci avec la messagerie lorsqu'on répond à un message. 2eme fois que ça m'arrive. Pas grave.

 

Donc je réponds en public à celle qui m'a écrit en privé sur le sujet.

 

Bonjour, tu peux écrire ton message dans le sujet, c'est autorisé, je ne l'ai pas précisé

Ce n'est pas la peine de chercher comment ils vont faire la mesure.

Fais comme s'ils pouvaient prendre un mètre pour mesurer.

L'expression "les différents points" ne colle pas, il faut une seule mesure.

Mais il y tout de même un concept de correct dans ton énoncé, je ne dis pas lequel.

 

syncopatte:

Est-ce que tu pourrais reformuler ta proposition sous la forme:

Tracer une droite ... et mesurer la distance entre ...

car j'ai un petit doute.

Et quel est le rapport entre la surface et cette longueur ?

[Tex murphy]

Syncopatte, ta réponse vient d'atteindre mon cerveau central, elle est confirmée comme correcte.

 

Manque la relation entre surface et longueur. (pas de calculs à faire)

[syncopatte]

Avec un dessin (par MP) ce serait plus simple mais je n'ai pas le temps là.

 

Précision:

tracer la tangente du cercle interne de l'anneau

mesurer la distance entre les points coupés par cette tangente et le cercle externe de l'anneau

Cette donnée devrait suffire pour déterminer la surface de l'anneau

Faudrait encore que je trouve la relation mesure > surface, mais je pense que ça ne devrait pas être trop compliqué (suis à la bourre là) sauf si je me suis triomphalement planté évidemment...

 

Patte.

 

PS: grâce à cette mesure on aura deux donnée: le rayon du cercle externe et la largeur de l'anneau, donc assez pour calculer la surface

[syncopatte]

Pas de calculs à faire?

 

J'y réfléchis ce soir, je n'ai pas une solution simple et élégante pour l'instant

 

Patte.

[Tex murphy]

Donc syncopatte a trouvé la réponse a la première question.

 

Explication:

Quelles mesures caractéristiques peut-on prendre sur un anneau ?

1 - Le diamètre du cercle interne,

2 - Le diamètre du cercle externe,

3 - La largeur de l'anneau.

4 - La longueur de la tangente au cercle interne (corde)

 

Chacune des 3 premières mesures ne permet pas de déterminer la surface de l'anneau.

De plus ces mesures obligent à viser le centre de l'anneau ce qui n'est pas possible sans prendre d'autres mesures. (On n'a droit qu'a une seule mesure)

 

Il ne reste plus qu'une mesure possible la 4ème.

C'est donc le résultat attendu dans la première question puisque c'est la seule possible.

Pas besoin de démontrer que l'énoncé est correct.

 

Reste la question "relation entre surface et longueur ?" (pas de calculs à faire)

[ArthurDent]

Par le calcul c' est trivial, sans calcul, je ne vois pas (au minimum, on 'sent' bien qu'il va falloir multiplier par pi, et utiliser une propriété des triangles ... )

Le triangle défini par le rayon intérieur R1 qui coupe le cercle intérieur en A, le centre de l' anneau, et le rayon R2 qui coupe le cercle extérieur là où la tangente au cercle intérieur en A coupe le cercle extérieur est rectangle en A, donc (pythagore) : R2² = a²+R1² =>

Surface de l' anneau =pi*a², a étant la longueur du segment de droite tangent au cercle intérieur, délimité par le point de tangence, et le cercle extérieur.

 

[edit] surface de l' anneau = surface du cercle de rayon MA (sur ton dessin ci-dessous). Mais bon, la justification de ça sans calcul ?

[Tex murphy]

La réponse peut s'énoncer par une phrase en français sans formule, sans valeur numérique, sans constante.

 

Ton calcul est tout à fait correct, mais il manque la conclusion.

Et il y a une manière de procéder qui évite de faire ce calcul.

[Tex murphy]

Un petit dessin pour illustrer le calcul de ArthurDent:

 

[yaplusdenuit]

= surface du diamétre AB

[yaplusdenuit]

Non surface du cercle de diamétre AB

[yaplusdenuit]

Car surface = pi . (AO² - OM²) = pi AM²

donc AM doit etre le rayon d'un cercle ayant la surface cherchée, donc le diamétre doit etre 2 fois AM donc AB

[Tex murphy]

Ok, c'est bon pour la formulation de la surface de l'anneau en fonction de la longueur de cette tangente.

 

Pour être un peu plus pointilleux on pourrait dire quelque chose du genre:

La surface de l'anneau est [égale à] la surface du cercle dont le diamètre est la longueur de la corde du cercle extérieur [qui est] tangente au cercle intérieur.

 

Reste à déduire ça sans les maths à partir de la réponse à la 1ére question.

[yaplusdenuit]

Si on prend les 2 cas extrémes:

A - le diamétre du cercle interne est nul; longueur corde = diamétre grand cercle, qui se confond avec corde, donc ça marche bien sur.

B - diamétre cercle interne = diamétre cercle externe (surface couronne = 0), évidement car longueur corde = 0, donc ça marche aussi..

mais je ne prouve pas qu'entre ces 2 extrémes: surface anneau = surface cercle diamétre AB, car prendre des cas particuliers n'est jamais une preuve mathématique.

[Tex murphy]

C'est ok yaplusdenuit. ton cas A suffit.

 

Idem problème de la sphère percée;

 

La réponse 1 était que la surface dépend de la longueur de la corde.

Donc indépendante du diamètre du cercle interne.

Donc, à la limite, égal à la surface du cercle externe quand le cercle interne a un diamètre nul.

[yaplusdenuit]

Ah si... puisque ne mesurer qu'une seule chose permet de déterminer la surface anneau, je n'ai qu'à prendre le cas particulier le plus facile (qui est petit cercle à diamétre nul) qui montre immédiatement que surface anneau = surface cercle ayant pour diamétre la corde, puisque dans ce cas corde et diamétre cercle sont confondus.

[Tex murphy]

Donc problème résolu (Il me semble)

 

Chronologiquement:

Réponse 1 : Syncopatte

Réponse 2 par le calcul : ArthurDent

Réponse 2 sans calcul + formule : yaplusdenuit

[ArthurDent]

Ah oui, bien joué: Fallait penser à s' appuyer sur l' hypothèse de départ, au lieu de faire le sceptique et vérifier qu'elle est vraie

Celà dit, techniquement il y a quand même un calcul (il faut calculer la surface du cercle, pour avoir la surface de l' anneau ).

[Tex murphy]

Celà dit, techniquement il y a quand même un calcul

Absolument.

 

Petit ajustement sur ce que je disais:

La surface dépend de la longueur de la corde.

Donc est indépendante du diamètre du cercle interne.

 

Pas très rigoureux. Il vaudrait mieux dire:

Le calcul de la surface à partir de la longueur de la corde est indépendant du diamètre du cercle interne.

 

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Je me pose quelques petites questions. Je vous donnerai la réponse lorsque je me serai répondu

 

On a donc vu 3 problèmes de ce type:

- 1 dimension: corde autour cercle: Calcul de périmètre

- 2 dimensions: couronne: Calcul de surface

- 3 dimensions: sphère percée: Calcul de volume

Est-ce qu'il existe des problèmes de ce genre en 4 dimensions ou plus (Pas vu dans Twilight Zone)

Est-ce qu'il en existe d'autres dans les 3 premières dimensions ?

Est-ce qu'on peut créer une formule pour généraliser la création de ce genre de problèmes ?

 

Sur ce, bonne journée.