Casse-tête: Géométrie

[Tex murphy]

Table des matières des problèmes de ce sujet;

 

1 - Se voir dans un miroir (Dans ce post-ci)

2 - Lézard et libellule sur une boîte

3 - Echelles croisées dans un couloir

4 - Surplomb de dominos empilés

5 - Pliage de papier (par Toutiet)

6 - Découpage de timbres (1)

7 - Découpage de timbres (2)

8 - Développé de cube

9 - Cercle sur 7 points

10 - Cercles sur 49 points

 

-------------------------------------------------------

 

Je commence par un problème tout simple de tous les jours:

Et la réponse est assez surprenante.

 

Quelle est la hauteur minimum d'un miroir par rapport à ma taille pour que je me voie entièrement dedans ?

 

On suppose le miroir plan sinon je peux me voir dans une bille.

[syncopatte]

Ma première pensée: n'importe, pourvu que je sois assez éloigné.

 

Puis....hum, non.

(même testé avec un petit miroir)

Ou alors avec une vue en perspective, comme être debout en dessous du miroir collé au plafond?

Je suppose que ce n'est pas ça "se voir en entier".

 

Retour au papier, simplification en mettant mes yeux sur ma tête.

J'obtiens ceci:

 

Un miroir placé à hauteur de mes yeux, de la moitié de ma taille, me permet de voir mes pieds, quelque soit la distance (loi de réflectivité avec les angles)

 

Surprenant en effet (si j'ai bon)

 

Patte.

[Tex murphy]

Effectivement c'est indépendant de la distance.

Quand je disais "se voir en entier", ça correspond à "ma taille", donc ma hauteur.

Et il y a une condition que je n'ai pas précisé c'est qu'il ne faut pas être vampire sinon le problème est insoluble.

 

Pour la réponse j'attends encore un peu d'autres propositions.

[Invité akira]

La moitie de sa taille

[Tex murphy]

Effectivement, Syncopatte a trouvé la bonne réponse.

 

On peut le démontrer avec Thalès.

Si on regarde le miroir placé à 2 mètres on voit notre double qui fait notre taille mais qui est à 4 mètres.

En regardant de profil, le triangle formé par notre oeil et la hauteur de notre double (à 4 m) est le double du triangle formé par notre oeil et la hauteur de notre image sur le miroir (à 2 m).

Donc l'image sur le miroir fait la moitié de notre taille.

[Tex murphy]

2ème problème, un peu plus compliqué.

 

Un lézard et une libellule sont à l'extérieur d'une caisse fermée qui repose sur le sol.

Ils sont sur les 2 plus petites faces opposées de la caisse qui a une taille de 20*20*84 cm.

Ils sont au milieu de la largeur de leur face, l'un à 2 cm du haut, l'autre à 2 cm du bas.

Quel est la longueur du trajet le plus court pour que le lézard rejoigne la libellule ?

 

(On ramène la taille des animaux à un simple point et la libellule ne s'enfuit pas.)

[syncopatte]

Sans calculer, au pif:

en diagonale jusqu'au milieu d'une arête de la caisse, puis ligne droite parallèle aux bords jusque l'arête située côté NGC457, de là en diagonale.

 

Patte.

 

EDIT: ouille, j'y retournerai, il est où mon compas?

 

EDIT2, non, ce n'est pas bon, pense avoir trouvé:

imaginons la caisse "dépliée", ouverte comme une ex-boite en carton qui prend la forme d'une croix.

suffit alors de tracer une ligne reliant les deux points: tout sera en diagonale.

[Tex murphy]

Hum, il y a de l'idée mais je crois qu'un zoli dessin s'impose

[syncopatte]

Faut que j'y aille là,

 

A +,

 

Patte.

[syncopatte]

Ah ben voilà, en cherchant dans google images "boite dépliée" (histoire de ne pas me taper ce dessin en entier), je suis tombé sur une illustration parfaite (ici ce n'est pas en croix mais l'idée est la même) pour expliquer mes propos:

 

EDIT, pas moyen de mettre le lien en "spoiler"

http://www.attracteur.qc.ca/10-2000/boite_ouverte.gif

 

Patte.

[Tex murphy]

Oui, oui, oui, belle boîte, mais comme tu vois la 2ème traversée n'est pas parallèle aux bords.

Et 7,2111 n'est pas la bonne réponse.

J'ai choisi les nombres pour que ça donne un nombre entier.

 

Edit: Ah je viens de voir ton edit2 du post #7

La croix classique ça ne va pas non plus, la solution est plus subtile.

[syncopatte]

Attention, j'ai édité la réponse avec la trajectoire parallèle au bord, dont je suis revenu.

 

Je pense que la bonne réponse est du même principe que l'exemple du lien avec la boite dépliée.

 

Pour la distance totale, il me faudrait mettre cela en application, mais je n'ai pas le temps pour l'instant.

(pour moi, c'est le principe qui compte, à moins qu'il y ait un "truc" permettant de trouver la solution sans calcul mais uniquement avec la logique)

 

Patte.

[Tex murphy]

Il n'y a pas d'autre méthode que de déplier correctement et de faire le calcul.

 

Edit: Rappel: La caisse repose sur le sol.

[syncopatte]

Ah 20 cieux, je me suis fourvoyé: je n'obtiens pas de chiffre rond????

 

Patte.

 

PS: zut alors, je vais rater mon RV!

[Tex murphy]

Mmm, c'est un lézard, pas une taupe

Regarde mon edit précédent.

[syncopatte]

Eh ben, pour l'instant je ne vois pô (normal pour une taupe!)

 

Curieux que je suis!

 

"la boite repose sur le sol"...

 

perdu là, mon trajet se fait par une face latérale, je ne saisi pas l'indice.

 

Ma langue au chat...

 

Patte.

['Bruno]

Je me demande si j'ai bien compris l'énoncé. Les deux plus petites faces sont carrés, donc la largeur de la face, c'est n'importe quel côté de cette face ? Au milieu de la largeur, c'est donc au milieu d'un côté. Mais de quel côté ? Et que veut dire "à 2 cm du haut" ? Du haut de la face ? Ça veut dire qu'il est au milieu de l'arête du haut, mais à 2 cm encore au-dessus ? La libellule, OK, elle vole, mais pas le lézard...

[Tex murphy]

Je ne me suis encore pas bien exprimé.

Je voulais dire sur l'axe vertical médian d'une face carrée, à 2 cm sous le haut et à 2 cm au-dessus du bas.

[sunshine]

2+84+18 = 104cm ?

 

Mais ça ne me parait pas assez "subtil". J'ai fait d'autres essais, mais pour l'instant c'est le plus court.

[Tex murphy]

C'est le plus court des trajets proposés pour l'instant qui soit réaliste.

['Bruno]

Ah, c'est ce que je pensais mais ça m'avait l'air trop trivial pour être ça... Dans ce cas, je ne vois pas comment faire mieux que 104 cm (si on passe par la face latérale ça donne 105,22 cm). Mais il paraît qu'il faut utiliser le fait que la boîte est sur le sol. Ah...

[Tex murphy]

Le chemin le plus court est inférieur à 104 cm.

 

Et pour m'exprimer autrement les bestioles sont posées chacune sur une face de 20*20 cm, à 10 cm du bord gauche, à 10 cm du bord droit et à 8 cm du centre de leur face , l'une au-dessus, l'autre en-dessous.

Ce 2 faces étant distantes de 84 cm.

Ceci pour lever tout doute.

['Bruno]

La boîte est posée dans le sens de la longueur, je suppose (sinon une des bestioles serait écrasée) ? Elle ne peut pas être ouverte ?

 

Prenons un des deux carrés. On va noter HG et HD les sommets en Haut à Gauche et en Haut à Droite, et de même BG et BD ceux du Bas. HM est le Milieu de [HG,HD] et BM est le Milieu de [bG,BD] (H comme haut, B comme bas, M comme milieu). On donne le même nom aux points de la face opposée. Nous sommes bien d'accord que l'une des bestioles est située à 2 cm en-dessous de HM, et l'autre sur la face opposée à 2 cm au-dessus de BM ?

[Tex murphy]

La boîte est bien posée dans le sens de la longueur, elle est fermée, on ne peut pas l'ouvrir et il faut en faire le tour.

 

J'ai fait un petit dessin correspondant à ce que tu as dit.

Tout ce que tu as dit est juste.

 

J'ai refait mon calcul aussi, il tombe bien sur un nombre entier < 104.

['Bruno]

Pour relier deux faces opposées, il faut passer par l'une des quatre faces rectangulaires.

 

Le chemin qui relie les deux bestioles se décompose en trois : le chemin sur la face carrée, le chemin sur la face rectangulaire, le chemin sur la face carrée opposée.

 

Le chemin sur la face rectangulaire fait obligatoirement au moins 84 cm (il vaut 84 cm si on le parcourt parallèlement au grand côté, plus de 84 cm si on le parcourt en biais).

 

Le chemin sur la face carrée fait obligatoirement au moins la distance entre le point et la face rectangulaire (il fait exactement cette distance si on atteint la face rectangulaire par la perpendiculaire).

 

- Si on passe par la face rectangulaire du haut, le chemin sur chaque face carrée fait au moins la distance entre le point et la face du haut, donc l'un des chemins fait au moins 2 cm et l'autre fait au moins 18 cm. Au total, le chemin fait au moins 104 cm.

 

- Si on passe par une des deux faces latérales, le chemin sur chaque face carrée fait au moins la distance entre le point et le face latérale, donc l'un des chemins fait au moins 10 cm et l'autre fait au moins 10 cm. Au total, le chemin fait au moins 104 cm (en fait le plus court est même de 155,22 cm).

 

- Si on passe par la face rectangulaire du bas, ben c'est pareil que par le haut : l'un des points est à 2 cm, l'autre est à 18 cm.

 

Donc si on passe par une des faces latérales, on ne peut pas faire mieux que 104 cm.

 

Alors par où faut-il passer ?...

[Tex murphy]

Commencer avec le lézard en haut.

Le chemin passe par la face du lézard, la face du haut, une des 2 faces latérales et la face de la libellule.

 

On peut le résoudre avec le lézard en bas mais c'est moins instinctif.

[sunshine]

Je ne trouve pas mais j'ai une question :

 

La libellule ne s'enfuit pas. Et si elle se dirigeait vers le lézard ? Dans ce cas, il n'aurait même pas à bouger son c...

[Tex murphy]

Non non, c'est un pur problème de géométrie.

Il n'y a aucun piège ici.

['Bruno]

Ah, mais oui, on peut passer par deux faces latérales ! On voit bien ça en dépliant le carton de façon à mettre une face carrée collée à la face du haut, et l'autre face carrée collée à la face latérale.

 

Du coup, le chemin est l'hypoténuse d'un triangle rectangle de côtés 10+18 = 28 cm et 2+84+10 = 96 cm. Ce qui fait 100 cm ! Ah, il fallait y penser !

[sunshine]

Ah oui, je trouve 100.

J'ai pensé à ta configuration mais j'avais mal placé une face.