Une bien curieuse série...

Toutiet · 31 mai 2009

Soit la série :

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....

Cette série converge vers un nombre bien précis : 0,693

Très bien.

Supposons maintenant que l'on additionne ces mêmes termes dans un ordre différent, par exemple en faisant suivre un nombre positif de deux nombres négatifs, comme ci-après :

1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + ....

Tous les termes de la série initiale sont bien présents : on n'en a ajouté ni oublié aucun.

On s'attend donc à ce que cette nouvelle série ait la même somme que la précédédente. Eh bien, pas du tout !

En effet, reprenons la série précédente et plaçons-y des parenthèses :

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

En simplifiant dans les parenthèses, il reste :

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - 1/12 + ...

Et, en mettant 1/2 en facteur commun :

1/2 ( 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....)

Ainsi, on constate qu'en ayant simplement modifié l'ordre des termes, on a divisé par deux la somme de la série initiale (que l'on retrouve bien dans la parenthèse) :b: .

Etrange, non :?: ....? Qui saura trouver l'explication...?

michelB · 31 mai 2009

Sauf erreur, la premiere serie converge mais pas absolument (la serie de ses valeurs absolues diverge)

Il doit vaguement y avoir un theoreme qui dit que dans ce cas elle n'est pas commutative

Donc on peut obtenir n'importe quel resultat en modifiant arbitrairement l'ordre des termes

t'as de ces questions !!!! :rolleyes:

Tex murphy · 1 juin 2009

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....

Cette première série me fait penser à une sinusoïde amortie:

Elle m'a l'air de converger très lentement certes mais de converger vers une valeur quand même.

1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + ...

On ne peut pas dire que c'est équivalent à la première.

Tu ne peux pas ramener du lointain des nombres vers le début sans fausser le résultat;

Tu laisses tomber 1/7, 1/9 et 1/11 qui sont positifs donc le résultat sera inférieur.

Et si on continue le développement on continue aussi à éliminer des termes positifs donc niet.

Toutiet · 1 juin 2009

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....
Cette première série me fait penser à une sinusoïde amortie:

Elle m'a l'air de converger très lentement certes mais de converger vers une valeur quand même.

1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + ...

On ne peut pas dire que c'est équivalent à la première.

Tu ne peux pas ramener du lointain des nombres vers le début sans fausser le résultat;

Tu laisses tomber 1/7, 1/9 et 1/11 qui sont positifs donc le résultat sera inférieur.

Et si on continue le développement on continue aussi à éliminer des termes positifs donc niet.

Oui, je l'ai dit, la série converge vers la valeur 0,693.

Par ailleurs, je n'ai laissé tombé aucun terme (je te laisse le soin de continuer la série avec + 1/7 - etc) et tu verras toi-même qu'il ne manque absolument rien. (Sinon, le jeu serait faussé).

Tex murphy · 1 juin 2009

Tu en étais à

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

Il manque 3 termes positifs jusqu'à 1/12, ce sont 1/7+1/9+1/11 = 0.3448

Je continue avec

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + (1/7 - 1/14) - 1/16 + ...

Il manque 4 termes positifs jusqu'à 1/16, ce sont 1/9+1/11+1/13+1/15 = 0.3456

Je continue avec

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + (1/7 - 1/14) - 1/16 + (1/9 - 1/18) - 1/20 + ...

Il manque 5 termes positifs jusqu'à 1/20, ce sont 1/11+1/13+1/15+1/17+1/19 = 0.3459

...

Donc finalement il va manquer la moitié de 0.693 = 0.3465

ghim31 · 1 juin 2009

Vous en avez des jeux les gars!!! :b:

Toutiet · 1 juin 2009

Tu en étais à
(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

Il manque 3 termes positifs jusqu'à 1/12, ce sont 1/7+1/9+1/11 = 0.3448

Je continue avec

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + (1/7 - 1/14) - 1/16 + ...

Il manque 4 termes positifs jusqu'à 1/16, ce sont 1/9+1/11+1/13+1/15 = 0.3456

Je continue avec

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + (1/7 - 1/14) - 1/16 + (1/9 - 1/18) - 1/20 + ...

Il manque 5 termes positifs jusqu'à 1/20, ce sont 1/11+1/13+1/15+1/17+1/19 = 0.3459

...

Donc finalement il va manquer la moitié de 0.693 = 0.3465

Mais non, pas du tout, il ne manque rien : la suite des termes qui te semblent manquants sont implicitement dans les "points de suspension" qui m'ont évité de tout écrire ... jusqu'à l'infini ! .

Je pensais que tu l'avais compris...

bb98 · 1 juin 2009

On dit que la série harmonique alternée n'est pas commutativement convergente.

(juste le temps de maitriser LaTex ici, et je vous le démontre ;) ))

les "infinis" ne se laissent pas manipuler aussi simplement que semble le croire notre ami ;)

les "séries" ne sont pas des "sommes" , que "vaut" : 1-1+1-1+1...... ? ;)

Tex murphy · 1 juin 2009

Je suis d'accord même si je ne me souviens plus des termes mathématiques exacts de l'époque où j'ai étudié ça. Fourier et Laplace ça fait un bail pour moi.

Mais ça me faisait effectivement penser à la suite 1+1-1+1-1... qui elle n'est pas convergente.

Même si je n'ai pas fait une démonstration rigoureuse, j'ai quand même montré que la différence entre la première suite et la deuxième tendait vers la première/2.

Rappel:

1ère suite: 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ...

2ème suite: (1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

Toutiet · 1 juin 2009

Mais pas du tout, car ta "démonstration" repose sur des soit-disant termes manquants, ce qui est absolument inexact : ils sont tous bien présents dans la seconde série.

michelB · 1 juin 2009

heu ... je ne voudrais insister mais ce n'est pas suffisant de dire qu'elle n'est pas absolument convergente et que du coup faire un regroupement de terme arbitraire donnera un autre resultat ?

bb98 l'a précisé aussi ? non ?

bb98 · 1 juin 2009

je crois que notre ami ne distingue pas la nature profonde des "séries" ;)

l'infini est un concept "mathématique", pas un concept "physique" ;)

lien utile : http://www.ilemaths.net/maths_p-serie.php

Toutiet · 1 juin 2009

Alors....?

Je n'ai toujours pas de réponse satisfaisante : est-ce que oui ou non

"...en ayant simplement modifié l'ordre des termes, on a divisé par deux la somme de la série initiale ? "

Qui saura donner une réponse claire...?

Tex murphy · 1 juin 2009

Bon, tu es convaincu que ta 2ème expression est la moitié de la 1ère.

Moi aussi, c'est évident.

Mais tu veux que je prouve quoi ?

Ce n'est pas une modification de l'ordre des termes, c'est une autre série.

Toutiet · 1 juin 2009

Mais ce n'est pas une autre série. La seconde expression résulte bien d'une simple modification de l'ordre des termes de la première série, et uniquement de cela. Disons que c'est la même série disposée autrement.

Donc je repose la question :

Est-ce que oui ou non

"...en ayant simplement modifié l'ordre des termes, on a divisé par deux la somme de la série initiale ? "

bb98 · 1 juin 2009

http://matexo.smai.emath.fr/exemaalt/exos_individuels/pdf_navigable/convergence-commutative.pdf

je ramasse les copies dans 1h..... ;)

pas de réponse, il aura "zéro" ;)

disons, qu'en organisant les termes, on peut obtenir .....LE RESULTAT QU'ON VEUT !!

Etonnant, non ?

Tex murphy · 1 juin 2009

Il me semblait bien que c'était de ce niveau là, Bac+2.

Mais va faire comprendre ça à un gamin de 10 ans avec des mots simples.

Pour toi Toutiet, je ne sais pas quoi répondre.

Je persiste sur le fait que c'est une nouvelle série.

Et pour l'exercice de bb98 va me falloir encore un peu de temps pour réviser

Tex murphy · 1 juin 2009

Bon, j'ai fait le calcul et j'obtiens ln(2) pour la 1ère et la moitié pour la 2ème.

Et dans mon bouquin de maths où ils en parlent ils disent:

"La série harmonique alternée est semi-convergente.

Elle n'est pas commutativement convergente, c.a.d. qu'il est impossible de modifier l'ordre des termes sans changer la somme"

michelB · 1 juin 2009

bon allez, on s'auto félicte et on attend la reponse de toutiet ...

Tex murphy · 2 juin 2009

bon allez, on s'auto félicte

Mais personne n'a prétendu avoir trouvé la réponse qu'attend Toutiet :b:

Quand à moi j'ai essayé de donner une explication pour quelqu'un qui n'a pas étudié les séries puisque la question du sujet est conçue pour des gens qui ne l'ont jamais vu forcément.

Je serais quand même curieux de connaître l'explication qu'a donnée celui qui a écrit ce problème là ou tu l'as lu, Toutiet.

Jeff Hawke · 2 juin 2009

Disons que c'est la même série disposée autrement.

Ben non, ce n'est pas la même série, puisqu'elle est disposée autrement.

Non-commutativité...Do you see the point ? :cool:

bb98 · 2 juin 2009

Ben non, ce n'est pas la même série, puisqu'elle est disposée autrement.

Non-commutativité...Do you see the point ?

;)

Peut être

Mais pour Toutiet, l'addition EST commutative......

Je comprend son incompréhension

Une série n'est pas une somme...mais cela n'est pas forcément évident

Tex murphy · 2 juin 2009

$mimetex.cgi?\infty$ <== Là, l'infini

Jean-ClaudeP · 2 juin 2009

Mais pour Toutiet, l'addition EST commutative......
Je comprend son incompréhension

La série

$mimetex.cgi?\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots etc$

a pour limite $mimetex.cgi?+\infty$ alors que chacun de ses termes tend vers 0.

Prenez un nombre quelconque, mettons 2.

On peut fabriquer avec les termes de la série précédente, mais en leur affectant judicieusement des + et des - une série convergant vers 2.

Je commence :

$mimetex.cgi?2-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$

je ne peux pas retirer le suivant $mimetex.cgi?\frac{1}{4}$ il est trop grand.

Donc je l'ajoute:

$mimetex.cgi?2-\frac{1}{1}-\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

ensuite, je vais enlever le suivant $mimetex.cgi?\frac{1}{5}$ et ainsi de suite, en restant le plus possible proche de 0 et positif, de cette façon la série obtenue:

$mimetex.cgi?\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4} +\frac{1}{5} + \cdots$

convergera vers 2.

Toutiet · 2 juin 2009

Que veux-tu démontrer... :?:

bb98 · 2 juin 2009

les séries absolument convergentes sont les seules pour lesquelles l'ordre des termes de la série n'a pas d'importance.

Par contre, il est TOUJOURS possible de réordonner les termes des séries convergentes NON ABSOLUMENT CONVERGENTES afin de faire converger la série finale vers n'importe quel réel.

Ceci est le théorème de réarrangement de Riemann.

De mon temps, ça se démontrait en Math Sup ;)

Donc, notre ami Toutiet a redécouvert ce théorème : c'est bien !

Le démontrer est un peu plus délicat et dépend du niveau des lecteurs....

Jean-ClaudeP · 2 juin 2009

Que veux-tu démontrer...

Mince, je viens de m'apercevoir que ma construction n'est pas exacte. Il faut prendre, en fait, les deux séries :

A : -1/1-1/3-1/5-1/7- etc

B : 1/2+1/4+1/6+1/8+ etc

pour construire une nouvelle série qui a pour limite 2 il suffit de se servir successivement dans chacune de ces séries en prenant, par la gauche, des termes, de façon qu'en les ajoutant on trouve toujours un nombre positif et le plus près possible de 2.

on se sert d'abord dans la série B pour obtenir par somme un nombre à peine supérieur à 3, on lui ajoute -1/1 de la série A, on complète avec des termes de la série B pour obtenir un nombre à peine plus grand que 2+1/3, on ajoute alors le terme -1/3 de la série A, on complète ensuite avec des termes de la série B pour obtenir un nombre à peine plus grand que 2 + 1/4, etc.

Maintenant on a bien construit avec les termes de la série initiale (harmonique alternée) une série convergeant vers 2.

Tex murphy · 6 juin 2009

:up:

Je serais quand même curieux de connaître l'explication qu'a donnée celui qui a écrit ce problème là ou tu l'as lu, Toutiet.

J'ai de la "suite" dans les idées.

éluria · 6 juin 2009

Oups... me suis gourée de cours. Désolée, j'voulais pas déranger... :be:

Tex murphy · 6 juin 2009

T'inquiète pas, tu n'as dérangé la classe, elle dormait.

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Une bien curieuse série...

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