Une bien curieuse série...

[Toutiet]

Alors Tex, je te réponds et te donne la position de l'auteur de cette "bizarrerie". Je cite :

 

" Si on considère un nombre fini de termes, alors peu importe l'ordre dans lequel on les additionne, mais on vient de faire l'erreur de croire que cette règle s'étendait aux sommes infinies.

Supposons que l'on décide de considérer en premier tous les termes positifs et que l'on garde pour la fin tous les termes négatifs. Alors le problème vient du fait que chacune de ces deux séries ne converge pas. l

 

Mais ces remarques n'en rendent pas moins époustouflant le résultat qu'a obtenu Riemann en 1854 : en modifiant habilement l'ordre des termes, la somme des termes de la série peut donner n'importe quel nombre fixé à l'avance."

 

Et voilà pourquoi votre fille est muette...!

 

("Mathémagique ! - Balades mathématiques" - par David Acheson, physicien, professeur au Jesus College à Oxford)

[Tex murphy]

Merci Toutiet.

Je pensais qu'il y aurait une explication plus abordable pour quelqu'un qui n'a jamais entendu parler de convergence. Tant pis.

Donc ce serait aussi Riemann qui l'a découvert avant de le démontrer.

Encore un rigolo tout comme Gauss.

[Jean-ClaudeP]

Encore un rigolo tout comme Gauss

Deux grands mathématiciens, quoi !

[Toutiet]

Merci Toutiet.

Je pensais qu'il y aurait une explication plus abordable pour quelqu'un qui n'a jamais entendu parler de convergence. Tant pis.

Donc ce serait aussi Riemann qui l'a découvert avant de le démontrer.

Encore un rigolo tout comme Gauss.

Je suis comme toi, je reste un peu sur ma faim bien qu'ayant une certaine "culture" sur les séries qui, comme chacun sait, est "ce qui reste quand on a tout oublié".... Mais je vais continuer à réfléchir au sujet...

[Jean-ClaudeP]

Tout se joue sur les deux séries :

A : -1/1-1/3-1/5-1/7- etc

B : 1/2+1/4+1/6+1/8+ etc

La première diverge vers -l'infini et la seconde vers + l'infini. Or les termes généraux ( 1/n) de chacune de ces séries tendent vers 0.

En gros pour fabriquer une nouvelle série qui convergera vers le nombre N de votre choix, il suffit de prendre dans chacune de ces séries A ou B leurs termes, en commençant vers la gauche et de façon à rester le plus près possible de N.

Supposons que vous vouliez obtenir N=0,

vous faites d'abord:

1/2+1/4+1/6+1/8=1,04...

vous faites alors

1/2+1/4+1/6+1/8-1/1=0,04...

vous faites ensuite

1/2+1/4+1/6+1/8-1/1+1/10+1/11+1/12+1/13=0,39...

vous faites ensuite

1/2+1/4+1/6+1/8-1/1+1/10+1/11+1/12+1/13-1/3=0,059...

Si vous avez compris trouvez l'étape suivante.

Etc.

 

Vous voyez bien que l'on épuise les termes des deux séries A et B par la gauche et que le resultat de notre série est de plus en plus proche de 0.

Donc notre série fabriquée contiendra tous les termes de la série

1-1/2+1/3-1/4+1/5-etc

et aura pour limite 0. Ce que nous voulions

Je ne sais pas si c'est plus clair ?

['Bruno]

Je trouve qu'une façon simple de comprendre pourquoi ça ne marche pas, c'est de comprendre qu'une série n'est pas une somme infinie (ça a déjà été dit plus haut) mais la limite d'une suite, la suite des séries partielles. Or les séries partielles ne sont pas identiques quand on a modifié l'ordre. J'ajoute que « 1+2+3+... » (par exemple) est un raccourci d'écriture pour « limite de la suite des 1+2+3+...+n quand n tend vers l'infini ».

[Tex murphy]

Merci à tous les deux.

J'ai bien compris le principe, mais à voir l'énoncé je pensais que quelqu'un avait trouvé une astuce pour expliquer rapidement la différence entre les deux suites sans parler de série ou de convergence.

Parce qu'il est bien évident que si on a déjà vu cette série on ne se pose plus la question normalement.

[Jean-ClaudeP]

Je trouve qu'une façon simple de comprendre pourquoi ça ne marche pas, c'est de comprendre qu'une série n'est pas une somme infinie (ça a déjà été dit plus haut) mais la limite d'une suite, la suite des séries partielles.

En effet, soit la série suivante donnée au début :

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....

en changeant l'ordre des termes ainsi

-1/2 +1-1/4+1/3-1/6+1/5 +...

Sa somme ne changera pas car les sommes partielles contiennent approximativement autant de termes positif que négatifs.

Par contre dans la série donnée aussi par Toutiet :

 

1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + 1/7 -1/14 -1/16+1/9+...

 

 

Vous voyez bien que les termes négatifs n'arrivant que tous les 3 termes, prennent du "retard" dans la "compensation" et ce retard ne fait que s'accentuer. Ce qui apparaitra facilement dans les sommes partielles.

Vous pouvez m'objecter que si les deux séries

A=-1/2-1/4-1/6-1/8-1/8-...

B=1+1/3+1/5+1/7+1/9-...

étaient convergentes cette anomalie ne se produirait pas. Effectivement, mais ces deux séries divergent vers -infini et +infini et tout le problème est là !

[Tex murphy]

(Ce sont les termes positifs qui prennent du retard )

 

Oui, c'est aussi ce que je montrais dans le post #5

http://www.webastro.net/forum/showpost.php?p=620120&postcount=5

[Leimury]

Soit la série :

1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....

Cette série converge vers un nombre bien précis : 0,693

Très bien.

 

Supposons maintenant que l'on additionne ces mêmes termes dans un ordre différent, par exemple en faisant suivre un nombre positif de deux nombres négatifs, comme ci-après :

 

1 - 1/2 - 1/4 + 1/3 - 1/6 - 1/8 + 1/5 - 1/10 - 1/12 + ....

 

Tous les termes de la série initiale sont bien présents : on n'en a ajouté ni oublié aucun.

 

On s'attend donc à ce que cette nouvelle série ait la même somme que la précédédente. Eh bien, pas du tout !

 

En effet, reprenons la série précédente et plaçons-y des parenthèses :

(1 - 1/2) - 1/4 + (1/3 - 1/6) - 1/8 + (1/5 - 1/10) - 1/12 + ...

 

En simplifiant dans les parenthèses, il reste :

1/2 - 1/4 + 1/6 - 1/8 + 1/10 - 1/12 + ...

 

Et, en mettant 1/2 en facteur commun :

1/2 ( 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + ....)

 

Ainsi, on constate qu'en ayant simplement modifié l'ordre des termes, on a divisé par deux la somme de la série initiale (que l'on retrouve bien dans la parenthèse) .

 

Etrange, non ....? Qui saura trouver l'explication...?

 

Bof, c'est faux.

 

Addition et soustraction sont commutatives jusqu'à preuve du contraire.

 

C'est pas juste en changeant l'ordre que tu change le résultat.

 

Dans ton premier exemple, tu va jusqu'au sixième avec 6 termes (1 -> 1/6 sans rien manquer).

Dans ton deuxième exemple, tu va jusqu'au douzième mais surtout tu saute des termes (ou sont les neuvième, onzième et septième ? C'est plus la même suite)

 

Pour moi, ces petits extraits de suite ne parlent pas du tout de la même chose.

Normal que tes résultats soient différents.

Y'a vraiment pas de mystère là dedans.

 

Refais tes deux calculs (ordre et désordre) sur le même échantillon et sans oublier de termes d'un à l'autre.

Tu auras forcement le même résultat.

Si tu compare deux suites différentes, tu risque pas d'arriver au même résultat.

 

Bon ciel

[Leimury]

Alors....?

 

Je n'ai toujours pas de réponse satisfaisante : est-ce que oui ou non

 

"...en ayant simplement modifié l'ordre des termes, on a divisé par deux la somme de la série initiale ? "

 

Qui saura donner une réponse claire...?

 

La soustraction et l'addition sont commutatives.

Ton affirmation "...en ayant simplement modifié l'ordre des termes, on a divisé par deux la somme de la série initiale ? " est fausse.

 

Je vois pas plus clair.

 

Si tu arrive à un autre résultat, soit les maths sont fausses soit tu as commis une petite erreur de raisonnement, mon ami.

Prends la conclusion qui te plaît.

Après tout, personne ne t'interdira formellement de te prendre pour Napoléon mais tout le monde rigolera bien.

 

Bon ciel

[Tex murphy]

Ok, c'est bon. L'affaire est entendue.

[Jeff Hawke]

La soustraction et l'addition sont commutatives.

 

Ben non, pas quand on considère des séries, avec un nombre infini de termes...

 

Ou, plus précisément, les séries ne sont pas des additions et des soustractions.

 

Pas plus qu'un hôtel avec un nombre infini de chambres n'est réellement un hôtel.

[Leimury]

Ben non, pas quand on considère des séries, avec un nombre infini de termes...

 

Ou, plus précisément, les séries ne sont pas des additions et des soustractions.

 

Pas plus qu'un hôtel avec un nombre infini de chambres n'est réellement un hôtel.

 

Bonjour,

 

Si tu préfère, la modélisation de la série a un bug.

 

Un hôtel avec un nombre infini de chambres...

http://www.allocine.fr/film/fichefilm_gen_cfilm=111138.html

 

"http://www.youtube.com/watch?v=Izq7QcWyYiI" via YouTube
ERROR: Si vous lisez ce texte, YouTube est hors-ligne ou vous n'avez pas installe Flash

 

Pour ceux qui ont vu la série, le rapport entre les deux est très tenu.

Pas grand chose en commun à part le titre en fait.

 

Bon ciel

[Jean-ClaudeP]

Je confirme que le calcul de Toutiet est exact.

Tout le problème vient du fait que les deux séries,

A=-1/2-1/4-1/6-1/8-1/8-...

B=1+1/3+1/5+1/7+1/9-...

dont on choisit plus ou moins rapidement les termes successifs, divergent vers l' infini.

Si ces deux séries convergeaient vers des nombres réels, il n'y aurait pas de problème et on pourrait mélanger comme on veut leurs termes pour obtenir le même résultat.

Il faut remarquer que dans une série convergente, ce sont les premiers termes qui comptent, au-delà de ceux-ci la queue de la série ne compte pour pratiquement rien. En revanche, dans une série divergente c'est exactement le contraire, c'est la queue de la série qui compte et pas les premiers termes. Donc, si on fait intervenir avec un retard de plus en plus accentué les termes d'une série divergente, comme les termes positifs dans la série de Toutiet, l'incidence de ce retard ne pourra que se faire ressentir.

[Toutiet]

"Je confirme que le calcul de Toutiet est exact ".

 

Merci. Cela fait plaisir , n'en déplaise à certains...

 

Evidemment, je connaissais l'explication mais je voulais savoir comment les lecteurs réagiraient. Mon intention n'était donc pas de leurrer qui que ce soit, mais simplement de mettre en évidence quelque chose de troublant... au premier examen.

[Jean-ClaudeP]

L'exemple de cette série est intéressant et montre les difficultés liées à l'infini.

Ainsi, il est clair qu'il y a autant de nombres pairs que de nombre impairs, mais on peut admettre plus difficilement qu'il y en a autant que de nombre entiers, or pourtant c'est ce qu'on montre en mathématique.

[Tex murphy]

Donc le problème de l'hôtel avec un nombre infini de chambres toutes occupées et où débarque un nombre infini de touristes a bien une solution.

[Jeff Hawke]

on peut admettre plus difficilement qu'il y en a autant que de nombre entiers, or pourtant c'est ce qu'on montre en mathématique.

 

Il y en a même autant que de nombres rationnels.

 

Or, cet ensemble des nombres rationnels, Q, est dense dans R.

 

Ce qui veut dire qu'il y une infinité de rationnels "entre" deux réels quelconques.

 

Or R n'est pas dénombrable... (ie, il y en a "bien plus" que des rationnels, si l'on puis dire).

 

Ca, c'est un résultat plutôt étrange...Mais c'est ainsi.

[Jeff Hawke]

Donc le problème de l'hôtel avec un nombre infini de chambres toutes occupées et où débarque un nombre infini de touristes a bien une solution.

 

Bien sûr.

 

Mais la construction de l'hôtel a pris du retard (comme souvent, dans le Bâtiment).