problème conditions initiales sur calcul de géodésiques

[fab13]

Bonjour à tous,

 

j'ai développé en matlab une application visant à déterminer la trajectoire d'un rayon lumineux dans un espace euclidien (k=0) en expansion (métrique de Friemann Walker Robertson). L'image suivante illustre cette modélisation : http://forums.futura-sciences.com/attachments/astronomie-astrophysique/82212d1246862408-probleme-conditions-initiales-calcul-de-geodesiques-geo4.jpeg . J'ai utilisé la méthode de runge kutta à l'ordre 4 pour résoudre numériquement un système de 4 équations différentielles du second ordre ( on peut donc se ramener à 8 équations du 1er ordre dans rk4). Les inconnues sont : le temps (c*t en fait), rho, theta et phi (elles sont toutes les 4 fonction d'un paramètre arbitraire "s" dans ce système d'ode ). J'obtiens la figure ( voir image geo2.pdf ) qui représente la trajectoire d'un rayon lumineux (en abcisse le temps exprimé en Megaparsec et en ordonnée la distance de la galaxie qui s'éloigne (trait plein) et celle du rayon lumineux (pointillé)). le rayon part d'une distance de 3000 Megaparsec. Les conditions initiales sont les suivantes :

 

(1) c*t=(2*c)/(3*H0) ( âge de l'univers dans un univers euclidien (avec lambda=0) multiplié par c )

(2) r=dist ( distance de la galaxie en Mégaparsec, 3000 ici)

(3) theta=pi/2

(4) phi=pi/2

 

(5) d®/ds=-1

(6) d(theta)/ds=0

(7) d(phi)/ds=0

 

De par la définition de la métrique de FWR, il y a une relation entre les dérivées premières (par rapport au paramètre arbitraire "s") des quatres variables (c*t, r, theta, phi). On peut donc déduire d'après (5) (6) (7), d(ct)/ds :

 

d(ct)/ds=sqrt((R0*R0*(3*H0)/(2*c)*ct)^(4/3)*((d®/ds)^(2)+r^(2)*(d(theta)/ds)^(2)+r^(2)*(sin(theta))^(2) *(d(phi)/ds)^(2)));

 

 

Maintenant, j'aimerais pouvoir simuler la trajectoire de deux rayons lumineux ( et + par la suite ) représentant chacun les extrémités d'une galaxie ( voir http://forums.futura-sciences.com/attachments/astronomie-astrophysique/82209d1246861818-probleme-conditions-initiales-calcul-de-geodesiques-galax.jpeg'>http://forums.futura-sciences.com/attachments/astronomie-astrophysique/82209d1246861818-probleme-conditions-initiales-calcul-de-geodesiques-galax.jpeg ). J'utilise une boucle ( 2 itérations pour l'instant) dans laquelle j'appelle le solver d'ode de matlab) :

 

for j=0:1

 

%les C.I sont :

theta=pi/2;

phi=-0.05+0.1*j;

r=dist/(cos(phi));

 

.... appel du solver d'ode

 

end

 

Le problème est que les deux rayons ne convergent pas vers le même point comme sur l'image galax.jpeg. J'obtiens la figure geo3.pdf qui est un zoom sur l'arrivée des deux rayons dans notre galaxie.

 

Comment faire en sorte que les deux rayons convergent, dois-je modifier d(theta)/ds et d®/ds simultanément et si oui, de quelle façon ?

 

D'une manière générale, comment modéliser une source lumineuse telle qu'une galaxie et les C.I du départ de ses rayons lumineux afin de les faire converger et ainsi déterminer l'angle alpha comme sur l'image ( http://forums.futura-sciences.com/attachments/astronomie-astrophysique/82209d1246861818-probleme-conditions-initiales-calcul-de-geodesiques-galax.jpeg ) sous lequel on pourrait les observer dans un télescope ?

 

 

 

 

Merci d'avance pour vos réponses.

[Poussin38]

Pourquoi veux tu que les rayons convergent ?

 

Selon moi s'ils convergent tel que ta figure, c'est parce qu'il y a une source d'énergie infinie type trou noir qui les attirera, en tout cas certainement pas un astram et son collecteur de photon, si puissant soit-il

 

Dans un télescope, c'est l'oculaire qui sert à rassembler au foyer les rayons pour former une image, pas la déformation de l'espace temps.

 

ou bien je n'ai pas compris ta question, ce qui est toujours possible

[ChiCyg]

fab13, si je comprends bien tes figures, tu traces r en fonction du temps (en fait ct). Pour voir l'angle sur le ciel de la galaxie, il me semble qu'il faudrait faire intervenir un angle (theta ou phi). Mais bon, je ne comprends pas trop ce que tu veux obtenir.

[fab13]

Je veux déterminer grâce à cette simulation numérique l'angle alpha sous lequel on observerait une galaxie à une distance donnéee en paramètre, voir la figure suivante : http://forums.futura-sciences.com/attachments/astronomie-astrophysique/82209d1246861818-probleme-conditions-initiales-calcul-de-geodesiques-galax.jpeg

 

Le problème est de trouver les bonnes conditions initiales (d(phi)/ds et dr/ds) pour que les deux rayons représentant les 2 extrémités de la galaxie convergent et arrivent en même temps dans le référentiel de notre galaxie. On pourrait alors en prenant la tangente de ces deux rayons déterminer cet angle alpha comme c'est illustré sur la figure précédente.

 

je mets le code matlab en pièce jointe,

 

merci par avance.

[fab13]

code matlab :

 

function geodesiques2


dist=input('Distance de la galaxie :');

%format long;

R0=1;
H0=65000;
cv=3*10^(8);
ctk=(2*cv)/(3*H0);
w1=ctk;

for j=0:1


y1=pi/2;
z1=-0.05+pi/2+0.1*j;
x1=dist/(cos(z1/10));
%x1=dist;


%z1=pi/2;
%x1=3000;

xp=-1;
yp=0;
zp=0;

%wp=sqrt((R0*R0*(3*H0)/(2*cv)*w1)^(4/3)*(xp^(2)+x1^(2)*yp^(2)+x1^(2)*(sin(y1))^(2)*zp^(2)));

%disp(wp);


%options=odeset('RelTol',10^(-10),'AbsTol',10^(-12), 'Stats','on');
%[s,ys]=ode45(@syseq,[0:0.1:8000], [ w1;wp;x1;xp;y1;yp;z1;zp ], options);


%yp=0;
wp=sqrt(R0*R0*((3*H0)/(2*cv)*w1)^(4/3)*(xp^(2)+x1^(2)*yp^(2)+x1^(2)*(sin(y1))^(2)*zp^(2)));

disp('wp=');
disp(wp);

init=[ w1;wp;x1;xp;y1;yp;z1;zp];

%s=0:0.0001:10000;
[s,y]=ode23tb(@syseq,[0:0.1:15000],init);

figure(1);

hold on;

plot(y(:,1),abs(y(:,3)),'b');

end

%com2=R0*((3*H0)/(2*cv)*y(:,1)).^(2/3)*dist;

%plot3(y(:,7),com2,y(:,1));
%rotate3d on;


function dydt = syseq(s,y) 
R0=1;
H0=65000;
cv=3*10^(8);

dydt=zeros(8,1);
dydt=[ y(2) ;                        
      -((2/3)*R0^(2)*((3*H0/(2*cv))^(4/3))*y(1)^(1/3))*(y(4)^(2)+abs(y(3))^(2)*y(6)^(2)+abs(y(3))^(2)*(sin(y(5)))^(2)*y(8)^(2)) ;
      y(4) ;
      -(4/(3*y(1)))*y(2)*y(4)+abs(y(3))*(y(6)^(2)-(sin(y(5)))^(2)*y(8)^(2));                            
      y(6) ;
      -(2/abs(y(3)))*y(4)*y(6)-(4/(3*y(1)))*y(2)*y(6)+((sin(2*y(5)))*(y(8)^(2))/2);                           
      y(8) ;
      -2*y(8)*((2/(3*y(1)))*y(2)+(cot(y(5)))*y(6)+(1/abs(y(3)))*y(4)) ];                   


end



end

[ArthurDent]

On dirait que tu considères deux rayons lumineux émis sur la même géodésique, mais depuis une distance radiale différente, vers l' observateur. Si c' est ça, ça ne peut pas converger.

 

Il faut exprimer que chacunes des géodésiques cherchées coupent :

 

1) le point d' espace-temps occupé par l' observateur

 

2) la droite d' espace-temps (parallèle à la direction temps) décrites par une des extrémités de la galaxie observée, supposée comobile,

sachant que si les deux extrémités sont sur une coupe spatiale isochrone (en temps cosmologique) le paramètre temps pour lequel les géodésiques cherchées coupent les 2 droites sera le même. Si ce n' est pas le cas, il faut exprimer la relation entre les deux temps d' émission (qui dépends de la position relative des deux extrémités).

 

Et résoudre..

 

Mais si tu ne t'intéresse qu' à l' angle, je pense qu'il est préférable d' exprimer l' angle sous lequel est vue la galaxie dans les équations avant de résoudre, ça doit simplifier le système ...