Enigme mathématique (difficulté moyenne)

[Estonius]

Quel est le seul nombre suivant immédiatement un carré et précédant immédiatement un cube !

[Leimury]

26 entre 5 au carré et 3 au cube.

Pas sur que ce soit le seul

 

5 entre les 4 côtés du carré et les 6 faces du cube.

[Leimury]

On inverse le question, comme ça c'est plus simple et plus rigolo:

 

Quel est le seul nombre suivant immédiatement un cube et précédant immédiatement un carré du même entier ?

[Jeff Hawke]

Si c'est un entier, à part 0 et 1, le cube est strictement supérieur au carré...

 

Je ne vois donc pas comment caser un nombre (même un réel ou un rationnel), après le cube et avant le carré du même entier...

[GéGé]

C'est pas ça la question

 

Pour moi, même réponse que Leimury!

[Leimury]

Si c'est un entier, à part 0 et 1, le cube est strictement supérieur au carré...

 

Je ne vois donc pas comment caser un nombre (même un réel ou un rationnel), après le cube et avant le carré du même entier...

 

Sur N, j'ai pas restreint à N+

[Jeff Hawke]

Sur N, j'ai pas restreint à N+

 

OK, dans ce cas, facile...(MP)

 

Cela dit, N, ce sont les entiers naturels. Si tu ajoutes les entiers négatifs, c'est Z.

[Leimury]

Bien fait pour moi.

Tu as raison et je suis aussi rouillé qu'un vieux clou.

Je vais changer mon pseudo pour Tethanos

 

On sait toujours pas pour la question d'Estonius.

[Lasilla]

pff elle est nulle ton énigme, Leimury

 

Pardon, pas pu m'empêcher!!

[Jeff Hawke]

Je n'ai pas osé la faire...

[Lasilla]

Te connaissant, je me doutais bien qu'elle te brûlait pourtant les doigts...

[Leimury]

Même pas honte

 

Je vous en poserais de meilleures quant j'aurais une meilleure monture

[Lasilla]

Une sphinx, j'en ai vu une sans le capot, une fois... Belle mécanique!

[GéGé]

Fiontus-le-grand-mécanicien ne l'aime pas, je ne sais toujours pas pourquoi.

 

[Jeff Hawke]

Voilà, ce fil navigait dans les hauteurs, sur les sommets purs de la théorie mathématique (et de son fleuron arithmétique), et nous voilà soudain crashés sur les moteurs et les engrenages...

[Lasilla]

[Jean-ClaudeP]

Quel est le seul nombre suivant immédiatement un carré et précédant immédiatement un cube !

 

Ceci revient à chercher deux entiers naturels x et y tels que

Ce problème intéressant a une longue histoire qui est d’ailleurs loin d’être terminée.

Vous avez le droit de trouver cette question bien gratuite. S’il est vrai qu’autrefois ce genre de problèmes d’arithmétique n’avait que peu d’applications, ainsi Jacobi, au XIX-ième siècle, disait qu’on l’étudiait seulement Pour l’honneur de l’esprit humain,

 

La question posée ici en contenu dans un problème plus général intitulé problème de Bachet-Fermat qui revient à trouver les solutions de l’équation diophantienne

où d est un entier.

 

Quelques précisions sur ce problème. Dire que l’équation est diophantienne (en référence au mathématicien grec Diophante, le premier à s’être posé ce genre de question) signifie qu’on en cherche des solutions qui soient des entiers, a priori de signe quelconque. On fait donc de l’arithmétique (on dit parfois, plus pompeusement, de la théorie des nombres). Chercher les solutions signifie deux choses, qui vont parfois se traiter séparément : trouver des solutions, puis (et comme le fait remarquer Fermat c’est cela le plus difficile) être sûr qu’on les a trouvées toutes. Précisons aussi que d peut être un entier positif (problème d’Estonius) ou négatif, les deux cas étant également intéressants mais assez différents.

 

 

Cette équation semble avoir été étudiée pour la première fois en 1621, dans le cas d = 2, par Bachet (Claude Gaspard Bachet de Méziriac, 1581-1638) qui, à partir de la solution évidente x = 5, y = 3, a donné une méthode géométrique pour construire des solutions rationnelles (c’est-à-dire des fractions). En fait, à cause de la présence du carré et d’une autre puissance, un cube, rechercher les solutions entières ou les solutions fractionnaires n’est pas la même chose.

 

Sur cette même équation, Fermat, lui, se pose le problème d’en trouver les solutions entières. Il y a évidemment la solution x = 5, y = 3, mais Fermat va plus loin :

 

Peut-on trouver en nombres entiers un carré autre que 25 qui, augmenté de 2, fasse un cube ? A première vue cela paraît d’une recherche difficile ; sous forme de fractions une infinité de nombres se déduisent de la méthode de Bachet ; mais la doctrine des nombres entiers, qui est assurément très belle et très subtile, n’a été cultivée ni par Bachet, ni par aucun autre dans les ècrits venus jusqu’à moi.

 

Dans une lettre de 1657 à son correspondant anglais Sir Kenelm Digby, il revient sur ce problème et sur le cas d = 4. La encore vous ne manquerez pas d’en trouver une solution. Mais, écoutez Fermat :

 

Je lui avais écrit (à Frénicle) qu’il n’y a qu’un nombre carré entier qui, joint au binaire, fasse un cube, et que ledit carré est 25, auquel, si vous ajoutez 2, il se fait 27, qui est un cube. Il a peine à croire cette proposition négative, et la trouve trop hardie et trop générale. Mais, pour augmenter son étonnement, je dis que, si l’on cherche un carré qui, ajouté à 4 fasse un cube, il ne s’en trouvera jamais que deux en nombres entiers, savoir 4 et 121, car 4 ajouté à 4 fait 8 qui est un cube et 121 ajouté à 4 fait 125 qui est aussi un cube ; mais, après cela, toute l’infinité des nombres n’en saurait fournir un troisième qui ait la propriété.

 

Aviez-vous bien vu les deux solutions ? Même si c’est le cas, vous concevrez aisément qu’il n’est pas évident de montrer qu’il n’y en a pas d’autres.

Comme c’est habituel chez Fermat, qui entretient sa réputation de bon mathématicien, il n’y a pas vraiment de traces de la solution de ce problème dans ses oeuvres, de sorte qu’il est difficile de dire comment il pouvait démontrer les faits annoncés ci-dessus.

 

Quoiqu’il en soit, on montre que le problème d’Estonius

n’a qu’une seule solution donnée après par Leimury. La démonstration en est un peu technique, si vous êtes motivé, vous la trouverez dans

 

http://www.math.u-psud.fr/~perrin/Conferences/OlympiadeDP.pdf

 

Où j’ai trouvé d’ailleurs la matière de ce petit commentaire.

 

Pour en revenir au problème d’Estonius amélioré, mais dans lequel on recherche les solutions fractionnaires on trouve y = 129/100 et x = 383/1000. Y a-t-il maintenant d’autre solution. La réponse est oui mais nous ’irons pas plus loin sur cet aspect du problème qui constitue une partie de l’immense théorie très complexe des courbes elliptiques. Il faut savoir qu’on ne connait pas exactement, à l’heure actuelle, l’ensemble des solutions rationnelles de l’équation

Il y a bien une conjecture, due à Birch et Swinnerton- Dyer, qui le donne, mais elle n’est pas prouvée. C’est même l’un des sept problèmes du millenaire (et donc sa solution vaut un million de dollars ).