La Conjecture de Poincaré-Perelman

[Jean-ClaudeP]

Dépèche de l'AFP (18 mars 2008) améliorée

PARIS — Le Russe Grigori Perelman a été de nouveau récompensé jeudi par le Clay Mathematics Institute pour avoir résolu la conjecture de Poincaré, listée par cet institut comme l'un des sept problèmes les plus difficiles en maths au tournant du millénaire.

Pour avoir résolu ce problème, Perelman avait déjà été récompensé en 2006 par la médaille Fields, considérée comme l'équivalent du prix Nobel en mathématiques.

 

La conjecture (préliminaires)

 

Si l'on étire un élastique autour de la surface d'une pomme, nous pourrons alors le réduire à un point en le déplaçant lentement, sans le déchirer et sans lui permettre de quitter la surface. Ce sont les lacets représentés L1 et L2.

 

 

D'autre part, si nous imaginons que l'élastique en caoutchouc a été quelque peu tendue dans la position appropriée, autour d'un beignet, alors il n'y a aucun moyen de le reserrer jusqu'à un point sans casser ni l'élastique ou le beignet.

 

 

Nous disons que la surface de la pomme est "simplement connexe", mais que la surface de l'anneau ne l’est pas. Poincaré, il y a presque cent ans, savait qu’une sphère à deux dimensions est essentiellement caractérisée par cette propriété de connectivité simple, en particulier

 

Toute forme fermée (sans bord) limitée et simplement connexe est (homéomorphe) analogue à une sphère.

 

 

Le mot homéomorphe signifie que l'on peut déformer sans être brutal la surface pour la transformer en sphère;

A titre de remarque voici une surface à 2 bords indiqués par les flèches rouges.

 

La conjecture

 

Poincaré en a induit la conjecture suivante.

 

Dans un espace à 4 dimensions, une forme fermée (sans bord), limitée et simplement connexe est (homéomorphe) analogue à une sphère.

 

Pendant un siècle, les mathématiciens se sont cassés les dents pour prouver cette conjecture. Les tentatives aboutissaient à des bizarreries baptisées "singularités", par analogie avec des phénomènes étranges en physique.

"La formation de singularités, un peu comme la formation de trous noirs dans l'évolution du cosmos, défiait l'entendement des mathématiciens", rappelle dans un communiqué l'université parisienne Pierre-et-Marie Curie (UPMC).

 

Quelques indications

 

Ni la sphère ni un autre espace tridimensionnel dépourvu de frontière autre que (l'espace ordinaire) ne peuvent être dessinés proprement comme objets dans l'espace ordinaire à trois dimensions. C'est l'une des raisons pour lesquelles il est difficile de visualiser mentalement le contenu de la conjecture.

En effet, nous sommes ici transportés dans un espace à 4 dimensions et cette sphère est quelque chose d’inimaginable. Dans l’espace habituel à 3 dimensions, une sphère peut être imaginée comme un ballon et plus précisément par la surface à deux dimensions du ballon, surface qui se comporte localement comme une petite portion de plan sur laquelle on peut écrire, faire courir une puce, etc.

 

 

Dans une espace à 4 dimensions une sphère est un objet à 4 dimensions dont la surface possède 3 dimensions, c’est-à-dire que c’est un espace à 3 dimensions analogue à celui dans lequel on vit. C’est peut être la forme de notre univers et nous vivons dans la surface à 3 dimensions d’une sphère à 4 dimensions. Ce qui expliquerait qu’en allant droit dans l’espace on finirait peut-être par arriver d’où on est parti:b:.

Il faut essayer plutôt mal que bien se représenter des formes curieuses, fermées et sans bord telle cette bouteille de Klein, projection en 3D d’un objet étrange à 4 dimensions.

 

 

"Perelman est parvenu à une compréhension des singularités" sur lesquelles avaient buté ses prédécesseurs, souligne dans son communiqué le Clay Mathematics Institute, une structure américaine dédiée à la diffusion du savoir en maths.

"Perelman a développé ses nouvelles idées et ses méthodes avec une grande maîtrise technique et a décrit les résultats obtenus avec élégance et concision. Les mathématiques en ont été grandement enrichies", juge l'institut.

Faisant fi des canons de la presse scientifique, Perelman, aujourd'hui âgé de 43 ans, avait publié sa démonstration en 2002 sur un site internet.

[elarwen]

Sous ses allures de savant fou, Grigoryi Perelman est l'un des plus grands génies de l"histoire des mathématiques. Il fuit tout ce qui peut ressembler à une "socialisation" et en particulier les nombreux prix que lui valent ses travaux ( car la conjecture de Poincaré n'est son premier coup d'éclat).

La résolution de cette conjecture est un deuxième coup de tonnerre consécutif "à l'échelle du siècle" dans le monde des mathématiques, après la démonstration du Grand Théorème de Fermat en 1995 par Andrew Wiles.

[solea]

euh excusez moi de poser cette question simpliste : une pomme c'est une sphere a 3 dimensions ?

[Jean-ClaudeP]

Non Solea, ta question n'est pas simpliste dans un domaine qui est de toute façon compliqué et qui fait honneur à la sagacité de Perelman et de tous les mathématiciens qui se sont appliqués à travailler sur ce sujet en commençant par Henri Poincaré.

 

une pomme c'est une sphàre a 3 dimensions ?

Ce qu'on appelle sphère c'est le tour de l'objet, sa surface, ici la peau de la pomme qui a deux dimensions. Mais l'objet pomme constitué de sa surface (la peau) de la pulpe et du trognon est un objet à 3 dimensions car il n'a pas la forme d'une feuille de papier et dès qu'on le saisit on a l'impression d'une certaine épaisseur et grosseur.

Pour nous la surface de la pomme, sa forme en fait, n'est pas une sphère mais pour le mathématicien elle est analogue à une sphère car en déformant sa surface on peut la transformer en sphère. De même qu'un ballon dégonflé n'est pas une sphère mais est analogue à une sphère car si on le gonfle il prendra la forme d'une sphère parfaite. Cette partie des mathématiques qui étudie la forme des objets sans avoir recours à des nombres pour les mesurer s'appelle la topologie (plus précisément topologie algébrique), c'est passionnant ....et très compliqué.

Je ne sais pas si j'ai répondu à ta question mais si ce que je dis n'est pas clair ne craint pas de poser d'autres questions.

 

Vous pouvez lire l'ouvrage de George G. Spiro, La conjecture de Poincaré chez LC Lattès. C'est abordable pour un non mathématicien. C'est l'histoire de cette conjecture depuis le 18e siècle jusqu'à Perelman qui l'a démontrée recemment.