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Problème De Math ; Qui Arivera A Y Répondre?

thirionlio

Par thirionlio
dans Science

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thirionlio

thirionlio

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Bon moi qui aime faire des petit problème de math je vous en fait un .

Alors on vas commencer +-facilement ok?

 

2 mobiles sont animés chaqun d'un mouvement rectiligne uniforme dans un même plan (par exemple ,2 trains se déplacant sur des voies rectilignes ).A 12 h ,leur distance est de 1 km ;à 13 h,leur distance est 2 km ;à 14 h ,leur distance est 4 km .

A quelle heure leur distance sera-t-elle minimum , et quel est ce minimum????

Même problème pour 2 véhicule spatiaux animés chaqun d'un mouvement rectiligne uniforme dans l'espace ,mais pas nécessairement dans un même plan.

 

:question::question::question::question::question:

thirionlio

thirionlio

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a oui encore un pour passer le temps :

 

Soient a et b deux nombre réels donnés, avec a plus grand que 0 et b plus grand que 0 .Résoudre dans R l'équation :

 

 

b

a+----------------- = x

b

a+--------------

b

a+......--

x

 

 

(avec n barres de fractions).

jul77

jul77

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système D : ils sont partis a 10h (étant donné que dans tous les excercires ils partent tjs a une heure ronde :a: )

Littlesoket

Littlesoket

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Message écrit par thirionlio@19/08/2005 - 18:59

ehhhhhh ouai bon alors on vas dire que ce problème s'est pour ceux qui travaillent

et oui il y en qui travaillent déjà :be::-/

 

Qu'est ce tu crois je suis au boulot moi aussi et ce depuis quelques années aussi. :<<: Je pensais à ces petits écoliers, lycéens, et autres qui sont encore en vacances :b:

Félix

Félix

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Je vais aussi hasarder mon grain de sel :

Disons que la distance entre ces engins ne sera jamais nulle tout en tendant vers zéro au bout d'un temps infini dans le passé. On ne peut guère être plus précis.

Ceci rappelle le paradoxe de la flèche qui ne doit jamais atteindre son but car il faut un temps pour parcourir la moitié du trajet puis la moitié de la moitié etc, ce qui ajoute chaque fois un temps supplémentaire. :)

Lilipucien

Lilipucien

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Message écrit par thirionlio@19/08/2005 - 16:12

A quelle heure leur distance sera-t-elle minimum , et quel est ce minimum????

 

:question: :question: :question: :question: :question:

 

 

Moi je dirais que vus que leurs distancent double toutes les heures le départ des trains a eu lieu la veille à 23 heures et la distance était de 12,5 cm environ B)B) .

 

Attention risque d'erreur possible, car je sais pas compté :be::be:

moaledragon

moaledragon

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Salut

C'est les vacances mais bon, on va bouger les méninges

Ma solution au problème est que le chef de gare est tellement bourré qu'au 3ème kilomètre d'écart il s'est mélangé sur les pinceau,

au lieu de lire sa montre à 14h à l'écart de 3km et à 15h à l'écart de 4km il a mal noté, il a noté seulement une ligne: à 14h c'est 4km.

Et les deux trains sont partis de la même gare à 11h.

@+

Estonius

Estonius

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S’il n’y a pas d’erreur dans l’énoncé, la distance double toutes les heures

Donc à 11 heures la distance est de 500 m

10 heures 250 mètres

9 heures 125 mètres

8 heures 60 mètres (on arrondi) Or deux trains n’on pas le droit de se suivre à une distance aussi proche sur une même voie donc on va continuer avec deux voies parallèles

7 heures 30 mètres

6 heures 15 mètres

5 heures 7 mètres

4 heures 3,5 mètres

3 heures ….. Allez on arrête on arrivera jamais à Zéro, ils ne sont donc jamais partis…. !pomoi!

 

:malade: C’est avec des raisonnements comme ça que certains expliquent que le parler d’un avant big bang n’a pas de sens parce que on ne peut pas concevoir un temps Zéro.

 

Sinon la femme du chef de gare à 43 ans et l’amant est caché dans le second placard :)

 

PS : au fait quand tu te goures dans tes post, il y a une fonction "éditer"... :p

Jean-Christophe

Jean-Christophe

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Message écrit par thirionlio@20/08/2005 - 10:45

Bon aller je croit que je vais donner la raiponse là car ca devient de plus en plus farfelu :be:

La distance parcourue pour chaque train sera:

 

d1(t)= v1 . t + k1

 

d2(t)= v2 . t + k2

 

ou v1 et v2 étant les vitesses constantes des trains

et k1 et k2 des constantes

 

Et Il y a un angle entre les directions des 2 trains.

 

Pour la suite, il va falloir faire un peu de trigonométrie :p

Estonius

Estonius

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;) Ben oui toute l'astuce est là, c'est que les trains ne vont pas dans la même direction, l'écart est donc la base d'un triangle dont les autres côtes sont leur parcours !

 

C'est gonflant ces trucs, parce que les énoncés sont toujours brumeux et on perd un temps fou dans des fausses directions (c'est le cas de le dire)

 

Et puis quand on a trouvé l'astuce on a plus trop envie de faire les calculs... et d'ailleurs je ne sais plus les faire...

 

Sinon je confirme l'âge de la femme du chef de gare, c'est bien 43 ans ! :jesors:

Jean-Christophe

Jean-Christophe

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Bon, de toute façon, si les 2 trains avaient un mouvement rectiligne uniforme, leur vitesse d'éloignement serait constante.

Or là, ce n'est pas le cas. Entre 12h et 13h, la vitesse moyenne entre les 2 trains est de 1km/h. Entre 13h et 14h, elle est de 2km/h.

Il y a donc un phénomène d'accélération...

nicus

nicus

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Après quelques petits raisonnements et , voila ce que je trouve :

Les 2 trains sont au plus près à 12h10, à 935 mètres de distance.

 

Et a mon avis, dans le cas des vehicules spatiaux, on trouve exactement la meme chose !

:)

thirionlio

thirionlio

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Message écrit par Jean-Christophe@20/08/2005 - 15:17

La distance parcourue pour chaque train sera:

 

d1(t)= v1 . t + k1

 

d2(t)= v2 . t + k2

 

ou v1 et v2 étant les vitesses constantes des trains

et k1 et k2 des constantes

 

Et Il y a un angle entre les directions des 2 trains.

 

Pour la suite, il va falloir faire un peu de trigonométrie :p

 

 

Effectivement c'est bien penser Jean-Christophe .

Si vous voulez la raiponse demander la moi même si je prèfererait pas pq sa prend longtemps à écrire :be::be:

julien83

julien83

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je voi kome réponce a la distance minimum linfinimen peti

 

Modération: Merci de ne pas utiliser le style SMS dans les messages...

DavidG

moaledragon

moaledragon

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Message écrit par DavidG@23/08/2005 - 21:39

"La critique est facile, l'Art est difficile"

 

vive les maths ! :be:

Salut DavidG

C'est pas mal ton chat sportif !!!

:mdr:

 

Ton numéro là, n'est ce pas le numéro à ne jamais utiliser? Sinon!!! Cata...!

 

Je voulais pas flooder cette file mais juste une question traitement d'images, t'as créé par quel soft ton avatar animé?

@+

DavidG

DavidG

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ne jamais utiliser ces chiffres !! ils sont maudits !!

 

sinon, l'avatar je l'ai trouvé sur le net... (je pourrais te donner l'adresse par MP si tu veux :wink:)

'Bruno

'Bruno

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Juste pour dire que ce petit problème m'a l'air drôlement intéressant ! Tu l'as trouvé quelque part ou bien c'est ton imagination qui est bien tournée ?

 

Bon, essayons de le résoudre...

 

Le train A parcourt une droite, le train B parcourt une autre droite. Munissons le plan d'un repère Oxy dans lequel Ox est la droite de A, et où O correspond au point où se trouve A à 12h. Notons (x_0, y_0) les coordonnées de B à 12h. (u,0) est la vitesse de A, (v,w) celle de B. On a donc :

 

x_A(t) = ut ;

y_A(t) = 0 ;

 

x_B(t) = x_0 + vt ;

y_B(t) = y_0 + wt ;

 

où t est le temps écoulé depuis 12h.

 

L'hypothèse dit que le train B parcourt une droite qui coupe trois cercles, C_0 de centre (0,0) et de rayon 1, C_1 de centre (u,0) et de rayon 2 et C_2 de centre (2u,0) et de rayon 4, les points d'intersection étant les positions de B à 12h, 13h et 14h. Ces points doivent être équidistants et se succéder. À partir de là, on peut déterminer la trajectoire du train B, donc répondre à la question.

 

Eh bien ça fait 1h que je tourne en rond ! J'ai pu démontrer que si u=1 et (x_0,y_0) = (0,1) alors il existe deux trajectoires possibles (impossibles à calculer sinon peut-être en valeur approchée). Par ailleurs il y a 5 inconnues (u, v, w, x_0 et y_0) et seulement 3 données, donc il me semble qu'il y a une infinité de solution (à démontrer car je n'ai pas examiné si le cas général était possible).

 

Voici un algorithme pour trouver une valeur approchée, dans le cas particulier où u = 1 (donc A est en (0,0) puis (1,0) puis (2,0)) et (x_0,y_0) = (0,1). Il resterait à le programmer...

 

1/ Fonction qui, pour un angle w entre 0° et 90° sur le cercle de centre (1,0) et de rayon 2, calcule les distances B_0B_1 et B_1B_2, puis la différence entre les deux.

 

- Coordonnées de B_1 (position à 13h) : (1+2 cos w, 2 sin w) /* car B_1 est situé sur le cercle de centre (1,0) et de rayon 2. */

- Coefficient directeur de la droite (B_0B_1)) : a=(2 sin w - 1)/(2 cos w + 1).

- Un calcul de discriminant (intersection droite/cercle): Delta' = 12a^2 - 4a + 15.

- Abscisse de B_2 : x = [-(a-2) + sqrt(Delta')] / (a^2+1).

- Ordonnée de B_2 : y = ax + 1.

- Distance B_0B_1 : D_1^2 = (2 cos w + 1)^2 + (2 sin w - 1)^2.

- Distance B_1B_2 : D_2^2 = (x - 2 cos w - 1)^2 + (y - 2 sin w)^2.

- Calculer Delta = D_2 - D_1.

 

2/ Algorithme :

 

- wmin = 0° et wmax = 90°. /* Delta<0 pour 0° et >0 pour 90°, c'est ça qui prouve qu'il existe une solution, par continuité */

- Début de boucle.

- w = (wmin + wmax) /2

- Calculer Delta(w).

- Si Delta(w)<0 (ou Epsilon) alors wmin =w, sinon si Delta(w)>0 (ou Epsilon) wmax = w, sinon sortir de la boucle (c'est fini, on a trouvé le w !)

- Fin de boucle.

/* Ici on a trouvé w */

- Calculer les coordonnées de B_1 en fonction de w, d'où l'équation de la trajectoire du train B. Ouf !

 

Une fois la trajectoire connue, il reste à calculer le moment de la plus proche distance, ce qui est sûrement plus facile.

 

Tout ça est trop compliqué pour moi ! J'ai donné une idée, j'ai démontré (sur mon brouillon) qu'il existe au moins une solution dans un cas particulier, ça me suffit.

 

Je vous laisse donc continuer !

nicus

nicus

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Message écrit par 'Bruno@30/08/2005 - 03:50

Tout ça est trop compliqué pour moi ! J'ai donné une idée, j'ai démontré (sur mon brouillon) qu'il existe au moins une solution dans un cas particulier, ça me suffit.

 

A mon avis, ca te parait compliqué, parce que tu ne contentes pas d'essayer de repondre au probleme :s ! On ne te demande pas de calculer la trajectoire et la vitesse des 2 trains, mais juste de donner la distance minimale et l'heure correspondante... :)

 

Et puis un petit indice (pas forcement pour toi Bruno) : nul part dans l'ennoncé il n'est ecrit que la distance doublait toute les heures, ni meme que la distance ne faisait qu'augmenter entre 12h et 13h...

 

:)

ArthurDent

ArthurDent

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Message écrit par nicus@30/08/2005 - 09:10

A mon avis, ca te parait compliqué, parce que tu ne contentes pas d'essayer de repondre au probleme

 

Eh oui :)

Le plus dûr c' est de modéliser.

 

Pistes :

* On demande une distance et un temps. Peut-être faudrait-il chercher la distance en fonction du temps :&lt;&lt;:

 

* Les changements de repères, c' est pas pour les chiens. Pourquoi ne pas se placer dans le repère lié à l' un des deux trains (celui-ci sera donc immobile dans le repère considéré).

 

* On est libre de choisir l' origine des temps. Et si l' origine des temps, c'était 13h, humm ?

 

Petits rappels :

La distance d à l' origine d' un point de coordonnées x et y en géometrie euclidienne (c' est la cas ici, vu l' ordre de grandeur des vitesses), s' exprime : d² = x² + y²

De plus, les coordonnées x(t) et y(t) d' un point animé d' une vitesse constantes (Vx,Vy) s' expriment x(t) = X0 + Vx.t , y(t) = Y0 + Vy.t

 

Enfin, le minumum (ou maximum) d' une fonction continue dérivable d' une variable est le point pour lequel la dérivée de la fonction par rapport à cette variable s' annule.

 

A vous les studios :)

'Bruno

'Bruno

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Merci Nicus pour l'indication : ne pas vouloir trouver la trajectoire ! Et du coup on peut résoudre le problème, c'est tout bête, c'est génial ! :)

 

Voici ma solution : (tant pis pour le suspense, mais bon, je crois que le problème stagnait depuis quelques jours)

 

De façon générale, à quelle loi obéit la distance entre les deux train, en fonction du temps ? Ce n'est pas une fonction de t. Est-ce une fonction de t^2 ? Reprenons mes deux trajectoires :

 

x_A(t) = ut ;

y_A(t) = 0 ;

 

x_B(t) = x_0 + vt ;

y_B(t) = y_0 + wt ;

 

La distance est donc :

D(t)^2 = [x_0+(v-u)t]^2 + [y_0+wt]^2.

 

Autrement dit, la distance au carré est une fonction de t^2. On va donc chercher une fonction D(t)^2=at^2 + bt + c qui passe par 1^2, 2^2, 4^2 en t=0, 1, 2. Ça tombe bien : 3 inconnues, 3 coefficients à trouver !

 

Il faut donc résoudre le système :

D(0)^2 = 1^2 ;

D(1)^2 = 2^2 ;

D(2)^2 = 4^2.

 

Soit :

c = 1 ;

a + b + c = 4 ;

4a + 2b + c = 16.

 

Qui donne :

c = 1 ;

a + b = 3 ;

4a + 2b = 15.

 

Soit :

c = 1 ;

a = 9/2 ;

b = -3/2.

 

Donc : D^2(t) = 9/2t^2 -3/2t + 1.

(vérification OK)

 

Le but est de trouver pour quel t cette distance est minimale, et quelle est sa valeur.

 

Appelons cette fonction f, c'est plus simple. On a :

f'(t) = 9t - 3/2.

Donc :

f'(t) = 0 ssi t = 1/6 (soit 10 minutes) ;

f'(t) > 0 ssi t > 1/6 ;

f'(t) < 0 ssi t < 1/6.

Autrement dit, la distance commence par décroître, puis croît. La valeur de f en 1/6 est donc le minimum. Or :

D(1/6)^2 = f(1/6) = 9/2x1/36 - 3/2x1-6 + 1 = 1/8 - 1/4 + 1 = 7/8.

 

La distance minimale est donc atteinte à 12h10 (t=1/6) et vaut sqrt(7/8) km soit environ 0,935 km.

 

J'ai bon ?

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