Trouver l'instant où deux planètes sont le plus proche

[tobiasBora]

Bonjour !

Voilà : j'ai acheté le livre "Calculs astronomiques à l'usage des amateurs" de Jean Meeus et je n'arrive pas à faire l'exercice "Trouver l'instant où deux planètes sont le plus proche" (p 38).

 

Voilà l'énoncé : pdf

 

et un chapitre en rapport : pdf : interpolation

 

Pourriez vous m'expliquer comment faire SVP ? En effet je ne vois pas comment on peut interpoler en même temps deux données différentes.

 

Merci d'avance

['Bruno]

Houlà, si j'en crois la p. 39 il utilise une méthode tordue (*)... Je pensais qu'il fallait utiliser directement les distances (et donc n'interpoler que sur le tableau des distances) mais apparemment il faut interpoler sur les ascensions droites et les déclinaisons. Qu'est-ce qui te bloque exactement ? Logiquement il n'y a pas de difficulté puisqu'on interpole deux données complètement indépendantes - en fait, c'est comme si on avait deux tableaux : un tableau d'ascension droite, et on interpole les ascensions droites, et un tableau de déclinaisons, et on interpole les déclinaisons.

 

----

(*) La méthode que je serais tenté d'employer, c'est de calculer les distances pour les dates de référence, puis d'utiliser un algorithme itératif (genre dichotomie) pour déterminer le minimum de la distance (qui serait la seule donnée à interpoler).

[tobiasBora]

Alors comment on met en rapport à la fin les 2 tableaux ? Et comment faut-il interpoler ? Il faut prendre le plus grand ? Quand alpha=0 ? Bizarre...

['Bruno]

En y re-réfléchissant, je pense qu'il faut faire un tableau en mettant les distances (calculées à partir des coordonnées). La recherche de l'instant où les planètes se rapprochent le plus devient équivalente à la recherche de l'instant où la distance est la plus petite. Pour ça, je ne sais pas si le livre propose une méthode. On peut utiliser un algorithme itératif en procédant ainsi :

 

- On part de la date du tableau pour laquelle la distance est la plus petite : le minimum a lieu forcément entre la veille et cette date ou bien entre cette date et le lendemain, ce qui donne deux intervalles possibles.

- Par interpolation, on calcule la distance aux dates correspondant au milieu des intervalles (12h avant et 12h après) puis on repère la date qui correspond à la plus petite distante (soit celle de tout à l'heure, soit l'une des deux nouvelles). Le minimum a forcément lieu 12h avant ou 12h après cette date, d'où deux nouveaux intervalles (deux fois plus petits que tout à l'heure).

- On réitère en calculant par interpolation la distance correspondant au milieu des deux nouveaux intervalles et ainsi de suite.

[tobiasBora]

Euh... Tu parles dans ton premier message de la page 39... Or, ce n'est pas la page 39 qui m'intéresse pour le moment (une difficulté à la fois ^ç) mais le dernier exercice de la page 38 :

 

D'après les coordonnées ci dessous, trouver l'instant et la valeur de la plus petite distance entre Mercure et Saturne.

 

[cf lien pour le tableau]

 

Réponse...

 

Sauf que moi je trouve une différence de 1h et demie !

:

Je convertie toutes les données en degrés, puis en décimal, et je fais la méthode page 37 :

 

cos d = sin dzeta1...

si l'angle est "grand", sinon d=racine(...).

 

J'obtiens alors le tableau suivant :

2.521135829

0.9917137582

0.5942538635

2.214477581

3.870950936

 

après interpolation, j'obtiens x = 13.68860801, soit le 13 à 16h31 au lieu de 15h6, et avec y=0°.47626587 ce qui est loin du résultat.

 

Où ais-je fais l'erreur ?

 

Est-ce comme ça qu'il faut procéder ?

 

Merci d'avance !

['Bruno]

La page 39, c'est parce qu'elle suggérait d'utiliser la formule de l'interpolation pour faire le calcul inverse (trouver le temps à partir de la valeur) et c'est sûrement ce qu'il faut faire (la formule interpolée revient à un polynôme, on peut donc de trouver le minimum et ce sans passer par la méthode itérative dont je parlais plus haut). J'imagine que cette méthode a déjà été décrite ailleurs. [Ah oui, c'est dans le chapitre sur l'interpolation, que je n'avais pas lu.]

 

Bon, voyons les calculs...

 

Pfou... Trop long à faire à la main. En plus je n'ai pas compris la méthode de recherche du minimum (apparemment ça reste itératif). Heu... ce n'est pas juste une erreur de calcul ? (Tu es loin de la solution ou tout près ?)

[tobiasBora]

Je tombe à 1h30 de la solution et j'ai refais mes calculs 2 fois... Donc c'est quand même loin du résultat !

 

Au moins est-ce la bonne solution ?

['Bruno]

Les calculs sont trop longs pour moi, donc je ne pourrai pas t'aider. 1h30 c'est déjà un petit peu beaucoup, donc il doit y avoir une erreur, mais c'est quand même pas trop loin, donc plutôt une erreur de calcul qu'une erreur de compréhension...

 

Je te conseille de passer au chapitre suivant (celui-ci ne servira pas de point de départ pour d'autres)...

[tobiasBora]

Ok, merci.

 

J'ai réussi sans problème le chapitre suivant. Par contre est-ce qu'après on propose une technique pour calculer l'angle minimum entre 2 planètes sans utiliser les éphémérides ?

 

Merci d'avance

 

PS : si vous trouver une erreur dans mon calcul ou que je n'utilise pas la bonne méthode, dites le moi SVP car j'avoue que je ne comprend pas le "calculer dzeta1*dzeta2 et alpha1-alpha2 par interpolation"... Puisqu'on ne sais pas à quoi interpoler...

[Jean-ClaudeP]

le dernier exercice de la page 38 :

Je prends le relais de Bruno, il faut dire que tous ces calculs sont fastidieux, j'y ai passé un certain temps, dont l'essentiel fut de corriger mes propres erreurs !

J'ai refait les calculs de TobiasBora du message du 23 août, je trouve les mêmes résultats que lui et le minimum est atteint

le 13 à 16 heures 39' 40".

Comme l'a remarqué Bruno, les procédures ne sont pas toujours très claires.

Pour obtenir ces résultats j'ai interpolé sur les angles. Ce n'est certainement pas le mieux à faire, je ne sais l'expliquer mieux, disons que les angles ne sont pas des distances et qu'il vaut mieux interpoler sur les données initiales, c'est flou je le reconnais.

En revanche si on interpole sur les cosinus on obtient bien le résultat de la page 38:

Voici pour les cosinus:

12 : 0.9990320628552983

13 : 0 .9998502086671406

14 : 0.9999462145402216

15 : 0.9992531846231179

16 :0.9977186344823546

Il faut faire attention que dans ce cas il faut chercher le maximum, car la fonction cosinus est décroissante sur le domaine [0;180°]: un minimum sur les angles correspond à un maximum pour les cosinus.

On trouve alors que le minimum à lieu le 13 à 15h 06' 29'' pour un écart de 0° 3' 45'' ce qui est conforme au texte;

J'ai programmé les calculs sous Maple, à la main c'est infernal, surtout quand il y a des erreurs. De toutes façon tous ces types de calcul doivent être programmés, une bonne calculatrice doit suffire.

['Bruno]

Puisqu'on ne sais pas à quoi interpoler...

A priori on interpole la distance angulaire, non ? (calculée d'après la formule du livre à l'aide des coordonnées). C'est ça que tu appelles « les angles », Jean-Claude ? Il s'agit bien de distance.

 

(La méthode que je crois avoir comprise, c'est d'interpoler les distances angulaires, autrement dit de trouver le polynôme d'interpolation et de calculer son minimum (puisque c'est un polynôme, on peut faire le calcul direct). En parcourant rapidement le chapitre sur l'interpolation, je n'ai pas vu la formule qui donne le minimum, mais je suis passé en vitesse parce que ce genre de calcul est fastidieux. Si on a un ordinateur, autant éviter d'interpoler : on calcule directement les coordonnées des planètes, d'où leurs distances, et on procède par itération. Le calcul par interpolation devrait être nettement plus rapide (et moins précis), mais avec les ordinateurs actuels on ne verra pas la différence...)

[Jean-ClaudeP]

Pour obtenir le résultat du livre j'ai construit le polynôme d'interpolation sur les cosinus donnés par la formule de la page 38, si on construit le polynôme d'interpolation à partir des angles on obtient le résultat de TobiasBora quelque peu différent du précédent. Pourquoi ?

Il n'y a aucune raison simple pour laquelle les deux résultats pourraient être égaux, en effet ni les fonctions trigonométriques ni l'interpolation ne sont ici linéaires. Quelle est la meilleure méthode ? Je suppose que c'est celle du livre, mais je ne sais pas pourquoi ?

[tobiasBora]

Merci pour votre aide !

 

En gros la technique du livre est d'interpoler non pas d, mais cos d ? et ensuite prendre le maximum afin de le retransmettre en un angle minimum ?

 

Et par contre, j'ai réussi à avoir un 3eme résultat :

Voilà le tableau que j'ai :

x:12

x:13

x:14

x:15

x:16

 

y:2.521135829

y:0.9917137582

y:0.5942538635

y:2.214477581

y:3.870950936

 

Pour l'interpolation :

A:-11.529422071

B:-0.3974598947

C:1.620223718

D:1.65473355

E:1.131962176

F:2.017683612

G:0.0362496375

H:0.8857214361

J:-1.981433975

K:-2.867155411

 

Après interpolation:

x_final=13.63645154, soit 15h16m29sec. (exactement 10mn de trop)

y_final=0.4768752208, soit 0°28'37" soit plus de 20 degrés de différence.

 

En fait j'avais une erreur sur ma casio : au lieu de faire une succession du même calcul de type x = qqch/qqchx

et en commençant de zéro et en continuant jusqu'à ce que après 2 calculs le résultat soit le même, je faisais juste une fois le calcul. Jean-ClaudeP, as tu fais la suite de calculs ? Car cette fois avec la suite de calcul je tombe à 1Omn du résultat... (ou à mois que l'erreur ne vienne pas de ça mais d'une autre erreur...)

 

Et à votre avis quelle technique est la meilleure ?

 

--EDIT--

@bruno : si il y a une formule qui donne le minimum : la deuxième. En fait, elle donne les EXTREMUMS, soit minimum ou maximum. Corrigez moi si je me trompe.

[Jean-ClaudeP]

Je ne comprends pas trop dans ton tableau à quoi correspond les yi et les A, B, C, etc. donc je ne peux te donner d'avis la-dessus.

 

Non je n'ai pas fait la suite des calculs.

 

Effectivement, La technique du livre consiste à interpoler sur cos(d) et je pense qu'il faut suivre cette méthode.

 

Il existe de nombreuses techniques d'interpolation avec polynômes ou autre fonctions et toute cette partie est bien théorisée depuis longtemps. On sait même calculer les erreurs faites quand les fonctions à interpoler (ici les coordonnées réelles des deux planètes) satisfont certaines conditions. Ceci constitue des mines de problèmes qui sont actuellement (ou l'étaient) données en L1, L2 et classes préparatoires, sans être difficile, c'est assez intéressant mais technique et fastidieux.

[tobiasBora]

Les A,C,C... sont les lettres d'interpolation A=y2-y1, B=y3-y2... Et y1 sont les données à interpoler (d ou cos(d) suivant ce qu'on veut faire.)

 

Donc c'est bon pour la technique, d'interpolation des x, mais les angles que je trouves sont TRES éloignés de 0°03'... En effet je tombe sur 0.4768752208, soit 0°28'37" soit plus de minutes de différence...

 

Savez vous pourquoi ?

[Jean-ClaudeP]

TobiasBora :Il y a une erreur sur le A !

En interpolant sur les cosinus j'obtiens bien un écart minimal de 3'.

[tobiasBora]

Pour A ? Que trouves-tu avec les cosinus ?

[Jean-ClaudeP]

Je suis d'accord avec tes yi, mais dans le A écrit plus haut il y a une erreur. Manifestement tu utilises ici une interpolation sur les angles et je trouve grosso modo comme toi pour la distance minimale: 28' 48''.

[tobiasBora]

Je suis d'accord avec tes yi, mais dans le A écrit plus haut il y a une erreur. Manifestement tu utilises ici une interpolation sur les angles et je trouve grosso modo comme toi pour la distance minimale: 28' 48''.

 

En gros en interpolant sur d on trouve 28"48' et en interpolant sur cos d on trouve 3' ? Ca me parait bizarre non ?

[ChiCyg]

Si je comprends bien, il faut simplement :

 

1) calculer les distances angulaires pour les 5 dates données,

2) interpoler cette distance autour de la date qui donne la distance la plus faible,

3) avec les coefficients d'interpolation trouver l'instant du minimum,

4) avec cet instant trouver la distance minimale.

 

Il ne faut pas interpoler "simultanément" deux variables. (Ce n'est non plus ce qui est fait pour la conjonction des deux planètes : seule l'ascension droite est nécessaire pour trouver l'instant de la conjonction, l'interpolation sur la déclinaison n'est utilisée qu'ensuite pour trouver la déclinaison au moment de la conjonction.)

 

Le principe de cette interpolation est d'utiliser deux valeurs successives pour estimer la dérivée première (la pente) et deux estimations successives de dérivées premières pour la dérivée seconde (la courbure). ça permet d'assimiler la courbe à une parabole et donc d'estimer un minimum.

['Bruno]

Oui, c'est la méthode. Comme ce livre est récemment ancien, je me suis d'abord dit que c'était une méthode "économique" : il y a moins de calculs qu'en procédant par un algorithme itératif qui recalcule les positions à chaque itération. De nos jours, on pourrait sans problème procéder de façon itérative, nos ordinateurs sont tellement rapides. Et au moins ce serait plus précis. Mais justement, est-ce que ce serait vraiment plus précis ? Oui dans l'absolu si on visait une précisions du genre 0.00001", mais les positions des planètes ne sont données qu'à une bien moindre précision, et dans un calcul de conjonction, on n'a guère besoin de descendre sous la minute d'arc. Du coup je me dis que l'interpolation donne probablement une précision "courante", et vu que c'est une méthode bien plus rapide, autant l'utiliser.

 

Par contre, je me demande si c'est judicieux d'interpoler les cosinus (et non les angles directement). Afin de gagner un appel à l'arc-cosinus (tu parles d'une économie, sachant qu'on a fait appel à des tas de sinus et de cosinus, tout aussi coûteux), on interpole des valeurs très proches les unes des autres (puisque proches de 1), ce qui est peut-être source d'imprécision, non ? (D'ailleurs ce genre de remarque est fait dans le chapitre donné en lien.)

 

ChiCyg : pour les conjonctions, ce n'est pas plutôt la longitude écliptique qui sert ? (Je trouverais ça assez logique puisque c'est a priori quand deux astres ont même longitude écliptique qu'ils seront au plus proche.)

[ChiCyg]

pour les conjonctions' date=' ce n'est pas plutôt la longitude écliptique qui sert ? [/quote'] Il y a les deux définitions et comme je suis benêt et discipliné et que le prof a écrit "calculer le moment de la conjonction EN ASCENSION DROITE", je me soumets ...

 

En fait, l'exercice sur la plus petite distance entre Mercure et Saturne est un peu biaisé. Soit les données proviennent d'éphémérides et il serait plus astucieux de chercher par itération l'instant de la plus petite distance en refaisant le calcul des coordonnées avec le programme d'éphéméride. Soit ce sont des données d'observation, elles sont entachées d'erreur de mesure et il faudrait s'appuyer sur plus de points de mesureen ajustant la courbe théorique sur les données.

[Jean-ClaudeP]

En gros en interpolant sur d on trouve 28"48' et en interpolant sur cos d on trouve 3' ? Ca me parait bizarre non ?

 

Non C'est normal. Tu as les différents écarts des deux planètes :

 

d étant l'écart entre les deux planètes, c'est une fonction du temps assez compliquée, si cette fonction était connue, on pourrait trouver son minimum exact

 

correspondant à l'époque .

 

dans ce cas le minimum de

 

correspond exactement à .

 

Il y a égalité stricte entre les deux résultats que tu donnes plus haut.

 

Or, malheureusement, la fonction d(t) n'est pas connue et on la remplace par une fonction approximative qui est un polynôme du 3e degré. Il en est de même de la fonction cos(d(t)), ceci à pour conséquence que les deux résultats que tu cites sont légèrement différents.

J'espère ne pas avoir été trop technique.

[Jean-ClaudeP]

Du coup je me dis que l'interpolation donne probablement une précision "courante", et vu que c'est une méthode bien plus rapide, autant l'utiliser.

Bien sûr, ici c'est clair.

['Bruno]

Soit les données proviennent d'éphémérides et il serait plus astucieux de chercher par itération l'instant de la plus petite distance en refaisant le calcul des coordonnées avec le programme d'éphéméride.

Ce sont probablement des données d'éphémérides, mais comme je le disais plus haut, réutiliser le programme d'éphémérides conduirait à de longs calculs (surtout que ce sera itératif, en effet). L'interpolation fournit un résultat approché beaucoup plus rapide (de loin !) et sa précision suffit probablement (on ne demande pas la date de la conjonction au millième de seconde près...)

[tobiasBora]

Non C'est normal. Tu as les différents écarts des deux planètes :

 

d étant l'écart entre les deux planètes, c'est une fonction du temps assez compliquée, si cette fonction était connue, on pourrait trouver son minimum exact

 

correspondant à l'époque .

 

dans ce cas le minimum de

 

correspond exactement à .

 

Il y a égalité stricte entre les deux résultats que tu donnes plus haut.

 

Or, malheureusement, la fonction d(t) n'est pas connue et on la remplace par une fonction approximative qui est un polynôme du 3e degré. Il en est de même de la fonction cos(d(t)), ceci à pour conséquence que les deux résultats que tu cites sont légèrement différents.

J'espère ne pas avoir été trop technique.

Tu trouve que 30 secondes de degré ça ne fais pas beaucoup ? Pourtant ça commence à faire non ?