Kepler : je ne trouve pas de bons résultats

tobiasBora · 23 octobre 2010

Bonjour

Voila : J'ai décidé de me mettre à "l'astrophysique" (bon c'est un grand mot pour les petits calculs que je fais )

J'ai donc, pour commencé, essayé d'utiliser la 3eme loi de kepler :

a^3/T^2=(GM)/(4 pi^2)

où a est le demi-grand axe de l'objet qui tourne autour d'un plus gros, T sa période de rotation, G la constante de gravitation universelle, et M la masse de l'objet autour duquel tourne la planète.

J'ai commencé par l'essayer sur la terre et le soleil, ce qui donne :

a^3/T^2=149597887.5^3/365.25696^2=2.509454826E19

et

(GM)/(4 pi^2)=(6.67E-11*1.9890E30)/(4 pi^2)=3.360476636E18

Or, les deux résultats différent quand même beaucoup : d'une puissance...

D'où viens mon erreur ? Dans le calcul ? Dans une mauvaise interprétation de mon résultat ? De mauvaises valeurs ?

Merci d'avance

sunfish22 · 23 octobre 2010

Bonjour Tobias,

Question d'unités MKSA

Il faut donner le 1/2 grand axe en metres (* 10^3) et la période en secondes (*86400) et tu retrouveras bien tes 3,36 10^18.

Jean

Barbouille · 25 octobre 2010

Je conseille plutôt d'utiliser la 3e loi de Kepler comme cela :

$mimetex.cgi?M = \frac{4\pi^{2}r^{3}}{GT^{2}}$

De cette manière, on détermine réellement quelque chose : la masse du Soleil en supposant que l'orbite keplérienne de la Terre est circulaire (r = a) et que sa masse est négligeable. Vérifier une égalité n'est pas très intéressant. On suppose (on peut le démontrer également) les égalités vraies et cela permet de déterminer des caractéristiques physiques de certains objets.

Second conseil : il faut faire les calculs "en gros" sans calculatrice - au papier et au crayon en indiquant les UNITÉS - cela facilite la recherche et le dépistage des erreurs*. On peut aussi faire des analyses dimentionnelles…

Je donne un exemple avec des valeurs approximatives :

$mimetex.cgi?r = 1 ua \approx 1,5.10^{8} km = 1,5.10^{11} m$

$mimetex.cgi?T = 1 a \approx 300\times10^{5} s = 3.10^{7} s$

$mimetex.cgi?G \approx 6,5.10^{-11} m^{3}kg^{-1}s^{-2}$

L'approximation est un peu brutale pour la période (300 jours x 100 000 s) mais cela n'a aucune espèce d'importance puisque l'on cherche un ordre de grandeur.

On calcule ensuite très rapidement tous les coefficients situés devant les puissances de 10.

on utilise

$mimetex.cgi?\pi^{2} \approx 10$

$mimetex.cgi?1,5^{3} = \frac{27}{8} \approx 3$

$mimetex.cgi?6,5\times3^{2} \approx 20\times3$

on arrive à

$mimetex.cgi?C = \frac{4\time10\time3}{20\time3}= 2$

Magique, non ?

Après on additionne les puissances :

$mimetex.cgi?P = 11\times3- [-11 + (7\times2)] = 30$

$mimetex.cgi?M = C.10^{P}= 2.10^{30} kg$

D'après le PDG (Particule Data Group - 2010) la masse du Soleil est :

$mimetex.cgi?1,9884(2).10^{30} kg$

Le résultat n'est pas mauvais…

Maintenant on peut sortir la calculette, pour déterminer l'erreur. Là, cela vaut vraiment pas le coup.

Bonne chance pour l'astrophysique. C'est un domaine de recherche merveilleux.

Je conseille le livre :

Hale Bradt, Astrophysics Processes, The Physics of Astronomical Phenomena, Ed: Cambridge University Press, 2008.

Assez cher mais exellent.

* John Wheeler a énoncé le principe zéro de la physique théorique :

"Ne jamais faire de calcul avant d'en connaître le résultat !"

J'édite mon message pour une dernière remarque :

il est parfois judicieux d'utiliser les éditeurs d'équations présents sur Webastro. Ils facilitent grandement la lecture et sont très simples d'utilisation.

tobiasBora · 25 octobre 2010

Merci pour vos 2 réponses !

J'avoue que je ne pensais pas que les périodes puissent être en secondes (par contre, l'erreur des unités de distances, je le savais... Honte à moi !)

C'est vrai que je n'ai pas assez souvent le reflex de travailler sans calculatrice : je suis nul en calcul mental. Mais c'est vrai qu'il faudrait que je le fasse plus souvent : ça me permettrait de progresser en calcul mental, et en compréhension de ce que je fais, et en plus ça m'éviterait de faire des erreurs "stupides"...

Pour le livre, il faut en effet que je m'en achète un. Je pensais en trouver un en français au début, mais ça pourrais me faire un bon exercice

Et tu dis :

"supposant que l'orbite keplérienne de la Terre est circulaire (r = a) et que sa masse est négligeable"

Quelle est la "vraie" formule, qui utilise l'aplatissement d'un corps (je ne connais pas le terme scientifique, ainsi que sa masse ? Et est-ce que vous savez comment est-ce que je pourrais essayer d'utiliser cette loi, ou une autre, afin d'essayer de faire des calculs un peux plus complexe et intéressant que ceux que je fais pour le moment ?

Merci d'avance

Barbouille · 26 octobre 2010

Merci pour vos 2 réponses !

J'avoue que je ne pensais pas que les périodes puissent être en secondes (par contre, l'erreur des unités de distances, je le savais... Honte à moi !)

C'est vrai que je n'ai pas assez souvent le reflex de travailler sans calculatrice : je suis nul en calcul mental. Mais c'est vrai qu'il faudrait que je le fasse plus souvent : ça me permettrait de progresser en calcul mental, et en compréhension de ce que je fais, et en plus ça m'éviterait de faire des erreurs "stupides"...

Pour le livre, il faut en effet que je m'en achète un. Je pensais en trouver un en français au début, mais ça pourrais me faire un bon exercice

Et tu dis :

"supposant que l'orbite keplérienne de la Terre est circulaire (r = a) et que sa masse est négligeable"

Quelle est la "vraie" formule, qui utilise l'aplatissement d'un corps (je ne connais pas le terme scientifique, ainsi que sa masse ? Et est-ce que vous savez comment est-ce que je pourrais essayer d'utiliser cette loi, ou une autre, afin d'essayer de faire des calculs un peux plus complexe et intéressant que ceux que je fais pour le moment ?

Merci d'avance

Il n'y a aucune honte à avoir. Des erreurs tout le monde en fait. Même les meilleurs physiciens. On apprend toujours quelque chose de ses erreurs, non ?

Je pense que tu dois parler de l'excentricité de l'ellipse ?

L'aplatissement est le terme reservé aux objets tridimentionnels en physique, il me semble.

La formule de Kepler dérivée des lois de Newton est :

$mimetex.cgi?M + m = \frac{4\pi^{2}a^{3}}{GT^{2}}$

Il faut prendre, la masse totale des 2 corps.

a est le demi-grand axe de l'ellipse.

Pour les calculs, un peu plus complexe, tu peux peut-être essayer de retrouver les lieux géométriques où un troisième corps de masse négligeable subit une accélération nulle (points de Lagrange) ?

Ou bien reprendre toute la théorie de Newton en admettant que la force de gravitation varie différement ? (en 1/r par ex. au lieu de 1/r^2).

Puis redeterminer les points de Lagrange ?

Tu peux aussi admettre que tes masses sont chargées et déterminer quand la force de gravitation ajuste exactement la répulsion coloumbienne ? Ce n'est pas très compliqué, là, mais après tu peux essayer de "broder" autour en complexifiant ton problème.

Il y a tellement de chose possible avec la mécanique classique… cela à tout de même occupé une pelletée pleine de savants de première ordre pendant presque 150 ans !

tobiasBora · 28 octobre 2010

Merci ! Je vais réfléchir à tout ça

Et par contre, comment les physiciens ont-ils déterminés la masse de Mercure et Venus ? En effet, n'ayant pas de satellites, on ne peux pas utiliser la troisième loi de Kepler pour connaitre leur masse... Existe-il une relation entre la masse d'un corps et sa période de révolution ou de sa distance à l'étoile ?

Barbouille · 28 octobre 2010

Merci ! Je vais réfléchir à tout ça

Et par contre, comment les physiciens ont-ils déterminés la masse de Mercure et Venus ? En effet, n'ayant pas de satellites, on ne peux pas utiliser la troisième loi de Kepler pour connaitre leur masse... Existe-il une relation entre la masse d'un corps et sa période de révolution ou de sa distance à l'étoile ?

$mimetex.cgi?M_{\bullet} = \frac{4\pi^{2}a^{3}_{\oplus}}{GT^{2}_{\oplus}}$

$mimetex.cgi?M_{\bullet} = \frac{4\pi^{2}a^{3}_{h}}{GT^{2}_{h}}$

$mimetex.cgi?\Rightarrow \frac{a^{3}_{\oplus}}{T^{2}_{\oplus}}= \frac{a^{3}_{m}}{T^{2}_{m}}$

$mimetex.cgi?M_{\bullet}$ : masse du Soleil

$mimetex.cgi?{\oplus}$ : Terre

$mimetex.cgi?h$ : Mercure (le h est une référence à Hermès).

L'égalité des rapports demi-grand axes, périodes est la forme "historique" de la 3e loi de Kepler.

Elle ne dépend pas des masses.

sunfish22 · 28 octobre 2010

comment les physiciens ont-ils déterminés la masse de Mercure et Venus ?

Bonjour Tobias,

Une premiere réponse sur ce site : http://www.linternaute.com/science/espace/comment/06/masse-planetes/masse-planetes.shtml

Jean

tobiasBora · 28 octobre 2010

Ok...

Et comment est-ce que l'on arrive à estimer connaitre le demi grand axe d'une planète lorsque l'on calcule pour les exoplanètes ? Et pour les satellites (Je ne peux pas, avec seulement mon télescope arriver à déterminer la distance entre une planète et son satellite...)

Merci d'avance

TomSg · 28 octobre 2010

Deuxième possibilité : analyser les petites variations de trajectoires que les planètes exercent entre elles, où la déviation qu'elles provoquent sur les orbites des satellites qui passent à proximité. Ces variations sont en effet directement liées à la masse des planètes. Mais là encore, ces mesures sont très délicates et peuvent prendre beaucoup de temps.

Ce qui veut dire que, soit les masses actuelles de Mars/Venus/.... sont un peu éloigné de la réalité ou bien, les physiciens ont prit le temps d'observer/calculer ? Ce qui me semble quand même être un sacré chantier de calculer les écarts des forces exercées non ?

Benoît · 28 octobre 2010

Pour Mars, il y a longtemps que la masse est connue et ce avec précision. Rappelons que Mars possède 2 satellites naturels, Phobos et Deimos.

sunfish22 · 28 octobre 2010

Et comment est-ce que l'on arrive à estimer connaitre le demi grand axe d'une planète lorsque l'on calcule pour les exoplanètes ?

Bonsoir Tobias,

Les exoplanètes orbitent autour d'étoiles qui sont trop éloignées pour que l'on puisse mesurer directement l'élongation de l'orbite de la planète.

Par contre on connait la periode de révolution de la planète grace à la méthode de vélocimétrie (vitesse radiale de l'étoile) ou photométrique (passage de la planète devant l'étoile).

On peut également connaitre la masse de l'étoile en étudiant son type spectral et en mesurant sa luminosité que l'on compare au diagramme H-R et à la courbe de relation masse luminosité.

A partir de la masse de l'étoile et de la période de révolution, on peut facilement retrouver la valeur du 1/2 grand axe , en appliquant la forme newtonienne de la 3eme loi de Kepler :

On peut meme estimer l'excentricité avec la forme de la courbe périodique, soit sinosoidale (excentricité nulle) , soit de forme plus en dents de scie suivant la valeur de l'excentricité.

Et pour les satellites (Je ne peux pas, avec seulement mon télescope arriver à déterminer la distance entre une planète et son satellite...)

Si on suppose que la distance Terre Jupiter est connue, on peut calculer la distance angulaire de l'élongation max d'un de ses satellites. On peut également se baser sur le diamètre de Jupiter si on suppose qu'il est déjà connu. C'est encore plus facile.

Jean

tobiasBora · 3 novembre 2010

Merci pour ta réponse

Si on suppose que la distance Terre Jupiter est connue, on peut calculer la distance angulaire de l'élongation max d'un de ses satellites. On peut également se baser sur le diamètre de Jupiter si on suppose qu'il est déjà connu. C'est encore plus facile.

Jean

Ca fait beaucoup de "si on connait" non ? Comment déterminer ce diamètre où la distance ? Quelle(s) technique(s) ont-utilisés les astrophysiciens ?

sunfish22 · 3 novembre 2010

Bonsoir Tobias,

La seule façon de faire une mesure de distance directe, c'est de faire une mesure de parallaxe (triangulation) :

- Parallaxe 'diurne' à 2 endroits éloignés sur Terre, à la meme heure, pour mesurer des distances très proches dans le système solaire.

- Parallaxe 'annuelle' à quelques mois d'intervalle lorsque la Terre est de l'autre coté de son orbite / Soleil, pour mesurer des distances d'étoiles proches, jusqu'à 1000 al.

Un peu d'histoire : Du temps de Kepler on ne connait que les proportions des orbites planétaires entre elles, mais on ne connaissait pas encore les dimensions du système solaire.

La première mesure correcte des dimensions du système solaire a été faite en 1672 par Jean Dominique Cassini à l'Observatoire de Paris et Jean Richer à Cayenne, lors de l'opposition périhélique de Mars, lorsque Mars est le plus proche de la Terre. La mesure était de 15'' d'arc, ce qui faisait une parallaxe diurne de 25'' d'arc (angle sous lequel on verrait le rayon de la Terre), soit une distance de 52 millions de Km, 20 fois plus loin que ce qu'on imaginait à l'époque.

Ces mesures ont été affinées avec les mesures de parallaxe diurne lors des transits de Venus de 1761 et 1769. Le cycle des transits est de 8 ans / 105,5 ans / 8 ans / 121 ans. Le prochain transit sera le 6 Juin 2012 ! (le dernier transit était le 8 Juin 2004)

Jean

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