Lien entre la vitesse d'un objet et son attirance

[tobiasBora]

Bonjour !

Voilà : je voudrais faire un petit programme sur Calculatrice Casio qui simule le déplacement d'un objet dans l'espace. On placerait donc sur la carte des objets, avec une vitesse (ou pas), une direction, une masse... Et ainsi, je voudrais voir comment s'attireraient les objets.

 

Sauf que pour faire ça, il faudrait que je connaisse le rapport entre une attraction en newton et la vitesse de l'objet. Ainsi, si un objet en attire un autre avec une attraction de 15 N, et que l'objet le plus petit part dans le sens opposé à 10 km/s, comment aura changé sa vitesse 1 seconde plus tard ? (diminuée de moitié ? Du quart ? presque pas ?)

 

Ensuite, je voulais savoir comment réagissent les objets de masse différente face à une même attraction : Par exemple, si on prend un objet très gros et un petit, les deux avec une vitesse nulle, il vont s'attirer, et accélérer de plus en plus. Mais de combien avancera le plus petit objet ? Et le plus grand ? A mon avis, il est plus difficile de bouger un gros objet donc le petit avancera plus que le gros, mais comment le calculer ?

 

Merci d'avance

['Bruno]

Je ne sais pas si c'est exactement ce que tu demandes, mais ça me fait penser au problème des N corps : N corps de masse m_i (i = 1 à N) sont liés par un système d'équations différentielles qui ne peuvent se résoudre que par le calcul. Je m'étais amusé à programmer ça autrefois (lors d'une permission en plein milieu de mon service militaire, ça me manquait...) afin de simuler des raprochements d'étoiles (pour voir ce qui arrive aux planètes) puis des collisions de galaxies.

 

Pour en savoir plus, tu pourrais peut-être (si je ne suis pas hors sujet) rechercher "problème des N corps" avec Google. En tout cas la résolution numérique était assez lourde et c'était plutôt à faire sur ordinateur que sur calculatrice (mais ça dépend du nombre de points).

[jarnicoton]

si un objet en attire un autre avec une attraction de 15 N, et que l'objet le plus petit part dans le sens opposé à 10 km/s, comment aura changé sa vitesse 1 seconde plus tard ? (diminuée de moitié ? Du quart ? presque pas ?)

 

Ensuite, je voulais savoir comment réagissent les objets de masse différente face à une même attraction : Par exemple, si on prend un objet très gros et un petit, les deux avec une vitesse nulle, il vont s'attirer, et accélérer de plus en plus. Mais de combien avancera le plus petit objet ? Et le plus grand ? A mon avis, il est plus difficile de bouger un gros objet donc le petit avancera plus que le gros, mais comment le calculer ?

 

Bases de la dynamique / bases de la gravitation visiblement un peu floues, à voir pour mettre les boeufs avant la charrue ? C'est tout un cours élémentaire que tu demandes...

[tobiasBora]

Merci pour vos réponses.

 

En fait, je suis en 1ere S. Hors, les mouvements d'objets n'ont gère été vus. Je ne sais donc pas vraiment vers quoi chercher...

 

@'Bruno : j'ai commencé à rechercher sur ce que tu dis (très rapidement car je dois laisser l'ordinateur), et j'ai vu dans la formule de wikipédia qu'il y avait parfois 2 points au dessus d'une lettre. Qu'est-ce que ce symbole signifie ?

 

Pour le moment, j'ai commencé un peu à réfléchir :

Prenons par exemple 3 corps, dont 2 immobiles car trop lours (l'équivalent de 2 étoiles par exemple, en jaune sur l'image) avec un petit corps (rouge) qui symbolise une planète.

Les 2 flèches vertes clair symbolisent l'attraction des 2 étoiles sur le petit corps, et celle en foncé l'addition des deux forces.

 

Déjà, ais-je juste sur ce point ? Est-ce que les forces de gravitation s'additionnent ainsi ?

 

Ensuite, imaginons que le force additionnée vaille X Newtons, et que le corps à une vitesse nulle, il devrait aller dans le sens de la flèche. Mais comment connaitre sont accélération ? Sur quoi faut-il que je cherche ?

 

Et ensuite, si jamais je recommence ce calcul toutes les x secondes, (en appliquant le changement de vitesse, les forces recalculées...) est-ce que je peux avoir quelque chose d'acceptable (étant donné que c'est sur calculatrice, je ne cherche pas une précision au mm près : ce n'est pas très grave si le corps en question avance par segments au lieu d'avancer en courbe) ?

 

Merci d'avance !

[jarnicoton]

J'ai programmé un truc comme ça un jour, supposant que la Terre arrêtée sur son orbite se mette à tomber dans le soleil. Ca marchait très bien, si bien que je suis allé me coucher en laissant la Terre tomber. L'ordinateur programmé pour un pas d'une seconde tournait à raison de 2 secondes simulées par seconde réelle (c'était un humble Amstrad PCW 8256) : j'avais environ 1 mois de chute devant moi. Or à mon réveil la Terre était engloutie dans l'astre du jour et le programme arrêté. Je suppose que l'ordinateur s'est pris les pieds dans les arrondis de dernière décimale.

 

Pour répondre à ta question, il te faut d'abord étudier la formule qui donne la valeur de l'accélération en chute libre selon la masse et l'éloignement de l'astre attracteur ; c'est la formule qui permet de calculer la pesanteur à la surface d'un astre de masse et de rayon connus, mais aussi sa pesanteur (ou accélération en chute libre, c'est pareil si on enlève le support du corps voulant tomber) à distance quelconque de l'astre.

 

Formule :

accélération de la pesanteur = (masse du corps central x constante de la gravitation universelle) / carré de la distance entre le corps attiré et le centre du corps attracteur.

 

"le centre du corps attracteur est sphérique" s'il est sphérique, faux sur Eros ou Phobos, faux vis à vis d'une galaxie...

 

Exemple : accélération en chute d'un corps lâché sur la Terre :

Masse de la Terre : 5,94.10^24 kg

Constante "G" ou "K" de la gravitation universelle : 6,673.10^-11

Distance de centre de la Terre à objet proche de sa surface : 6,37.10^6 mètres

avec tout cela tu dois retrouver les 9,81 m/s² bien connus.

 

Seconde étape : tu remplaces le rayon de la Terre par une distance quelconque pour un objet éloigné.

 

 

 

La composition des vecteurs est valable.

[tobiasBora]

Merci pour votre aide.

 

J'ai tout compris ce qu'on a fait pour le moment : lorsque l'on utilise p=mg, on fait en fait F=(G.m.m')/(d^2), donc si on veut isoler m' on a : F=poid=g.m, où g=G.m.d^2.

 

Jusque là, tout va bien.

 

Mais après, une fois que l'on à ce g, ça signifie qu'à chaque seconde on ajoute 9.81m.s-1 (dans le vide) à la vitesse de l'objet où j'ai mal compris ?

Ex : un objet est laché dans le vide avec une vitesse nulle sur Terre. Au bout d'une seconde, sa vitesse est de 0+9.81=9.81m/s, au bout de 2 secondes, 0+9.81+9.81=19.62m/s etc... ?

 

 

--EDIT--

En fait, j'ai trouvé une autre formule :

qui, je pense, est plus juste que la mienne. Mais pourquoi est-ce qu'elle divise par 2 ? Car d'après ce que dis le nom et les unitées, elle devrait augmenter de 9.31m/s en une seconde non ?

Modifié 20 novembre 2010 par tobiasBora

[jarnicoton]

Oui, c'est cela.

 

Le voussoiement n'est pas commode sur les forums : on ne sait plus à qui il faut s'adresser d'une façon ou d'une autre, on voit les autres tutoyer qui on voussoie, etc.

 

Sinon, le problème devient intéressant lorsqu'à quelque distance de l'astre attracteur, sa pesanteur diminue et qu'il faut des intégrations et non plus de simples multiplications, ou faire calculer une machine pas à pas.

 

A noter que si l'on a bien : F = Gmm' / r², autant dans de nombreux cas aller au plus simple en divisant par m' des deux côtés (F = m'.g) pour utiliser : g = Gm / r².

[tobiasBora]

Des intégrations ??? Je crois que les intégrales sont au programme de terminale. Mais pourquoi les utiliser ?

 

Mais tout à l'heure j'avais donné une "formule", mais j'ai trouvé une autre formule :

qui, je pense, est plus juste que la mienne. Mais pourquoi est-ce qu'elle divise par 2 ? Car d'après ce que dis le nom et les unitées, elle devrait augmenter de 9.31m/s en une seconde non ?

[Bleu]

La formule que tu énonces fournit la distance parcourue par un corps subissant une accélération constante, en supposant que sa vitesse initiale et sa position initiale sont nulles. Pour la démontrer, il faut intégrer l'équation du mouvement (accélération = constante). Si tu n'as pas vu les intégrales, je peux te donner une idée de la résolution du problème si tu sais ce que c'est qu'une dérivée.

 

Ton analyse dimensionnelle est correcte, mais elle ne te permet pas de deviner le facteur de proportionnalité (sans dimension) qui apparaît dans la formule !

 

[tex][/tex]

[jarnicoton]

tobiasBora, le facteur 1/2 s'explique aisément.

 

Mon explication ne doit surtout pas être montrée à ton professeur de physique ; je l'ai montrée jadis au mien, qui a poussé des cris d'horreur. A tort.

La distance parcourue sous accélération constante est tout simplement le produit du temps écoulé par la vitesse moyenne au cours de ce temps.

Et la vitesse moyenne est tout simplement la moyenne entre la vitesse de départ (par exemple zéro) et la vitesse finale. Exemple : 10 secondes de chute libre dans le vide font passer de 0 à 98 m/s. Vitesse moyenne : (98 + 0)/2 = 49 m/s.

Voilà le facteur 1/2.

Donc : distance franchie = 49 m/s x 10 s = 490 mètres, réponse juste.

 

Dans le cas général, ce procédé est faux. Il est bon ici parce que l'accélération est constante, cas fréquent en pratique mais particulier en mathématiques. D'où les cris du prof.

 

On démontre la justesse de la démonstration en se référant à la formule donnant la valeur moyenne d'une intégrale sur l'intervalle [a, b] de la fonction f(x).

Soit F(x) une primitive de f(x), alors la valeur moyenne de F(x) sur [a, b] vaut :

 

valeur moyenne = ( F( - F(a) ) / (b - a)

 

Le prof aurait dû y penser au lieu de râler.

[jarnicoton]

Des intégrations ??? Je crois que les intégrales sont au programme de terminale. Mais pourquoi les utiliser ?

 

Intégrer est nécessaire pour calculer le trajectoire d'un corps soumis à une accélération variable, ce qui est le cas lorsqu'en chute libre il traverse des régions où la gravitation de l'astre attracteur devient de plus en plus forte.

 

Sur une petite distance où la gravitation varie peu, on n'intègre pas mais on considère que l'accélération est de valeur constante.

 

Autre méthode, employée par un ordinateur : calculer seconde par seconde en redéterminant à chaque nouvelle position la nouvelle valeur de la pesanteur.

[Bleu]

@Jarnicoton : la méthode marche, mais la moyenne n'explique pas l'origine du 1/2. D'ailleurs, dans ta formule pour la moyenne, il est nécessaire d'avoir une primitive de la fonction... Quand tu intègres v(t) = a.t en fonction du temps, tu obtiens x(t) = (1/2)a.t² (avec la position initiale nulle). C'est l'intégration qui est à l'origine du 1/2, pas le (b - a), qui est égale à (t - 0) ici (et qui donne bien moyenne(v) = (a.t²)/(2.t) = (1/2)a.t)

[jarnicoton]

Je ne comprends pas l'objection. Les mathématiques expriment un phénomène matériel ; les deux ont raison ?

[tobiasBora]

Ok... J'ai compris

 

En fait, je vais faire les calculs secondes par secondes. Par contre, j'arrive à faire mes calculs quand on commence à une vitesse de 0 pour calculer une distance, mais comment faire quand la vitesse n'est pas nulle ?

['Bruno]

En première, tu n'as effectivement pas vu les notions qui permettent de résoudre le genre de problème dont je parlais (les deux points, c'est les dérivées secondes, c'est-à-dire les dérivées des dérivées, et ça fait intervenir des équations différentielles, c'est-à-dire des équations où les inconnues ne sont pas des nombres mais des fonctions...) Patiente un peu, ça va venir...

 

(Jarnicoton : tiens, moi aussi c'était sur un Amstrad, mais un CPC 61-quelque chose.)

[tobiasBora]

Et c'est vraiment impossible d'utiliser à mon niveau une vitesse non nulle au démarrage ?

 

Ou sinon je ne peux pas trouver l'équation toute faite ?

[TomSg]

Bah les dérivées secondes on les vois en premières pas de soucis

 

Par contre les équations différentielles ....

[Bleu]

Je ne comprends pas l'objection. Les mathématiques expriment un phénomène matériel ; les deux ont raison ?

 

Okay, je vais m'exprimer plus clairement. La 2ème loi de Newton nous apprend que les équations du mouvement du corps sont fournies en multipliant la masse par l'accélération, et en égalant ce produit à une fonction (de la vitesse, de la position,...) qui dépend du système physique que l'on veut modéliser et que l'on appelle une force. Mais pourquoi diable ?! Simple : il s'agit d'un postulat.

 

La méthode que tu exposes soulève la même question : pourquoi faut-il sommer les deux vitesses et diviser par 2 ? La réponse est la même ! Tu le postules.

 

Bien sûr, tu peux dire que ça vient de la 2ème loi de Newton, mais dans ce cas le facteur 1/2 provient d'une intégration et ne nécessite pas d'hypothèse supplémentaire (c'est une conséquence mathématique de la 2ème loi).

 

Enfin, les deux méthodes sont juste, bien que l'une décrive une classe de phénomènes beaucoup plus grand (comme tu l'as précisé d'ailleurs !).

 

Bon, comme disait Shakespeare, "much ado about nothing". ;-)

[jarnicoton]

pourquoi faut-il sommer les deux vitesses et diviser par 2 ? La réponse est la même ! Tu le postules.

 

Ah ? Je postule ? Je croyais voir que par rapport à la vitesse au temps tau/2 (si j'accélère de tau = 0 à tau = t), la vitesse excédentaire en tau = 0,51 t compensait la vitesse déficitaire en tau = 0,49 t ; la vitesse excédentaire à tau = 0,52 t compensant la vitesse déficitaire à tau = 0,48 t, etc.

[Bleu]

Je ne comprends pas très bien ce que tu veux dire par "la vitesse excédentaire" ou "compensait la vitesse déficitaire". Comme on s'écarte du sujet initial, tu peux peut-être me répondre par MP.

[jarnicoton]

Et c'est vraiment impossible d'utiliser à mon niveau une vitesse non nulle au démarrage ?

 

Ce n'est pas plus difficile. Si la vitesse initiale dirigée vers le bas est de 100 m/s en chute libre sur Terre dans le vide, la vitesse est une seconde plus tard de 109,8 m/s. la distance parcourue aura été durant cette seconde :

(100 + 109,8) / 2 = 104,9 mètres.

 

Mais comme ce procédé ne reçoit pas les suffrages scientifiques, il vaut mieux user d'équations explicites tant qu'on n'est pas à la retraite et qu'on dépend encore de quelqu'un, qui risque d'être un scientifique.

 

Soit Vo la vitesse initiale non nulle (ou même nulle, d'ailleurs, peu importe) et Xo la position initiale au même instant To (on peut décider que Xo = 0), si la gravitation vaut Y (ça ressemble un peu à gamma) ; alors, à un instant T postérieur à To, la position X sera :

 

X = Xo + 1/2 Y.t² + Vo (T - To)

[tobiasBora]

Merci pour votre aide.

NB : je tiens a preciser qu'etant en angleterre, je n'ai pas pu mettre tous les accents a cause de leurs claviers...

J'ai reussi a trouver dans les bouquins de mon pere toutes le equations de mouvement, et j'ai pu calculer la direction au bout de x secondes via les derivees. (Pour ceux qui veulent, je pourrais vous faire un scan de ces cours une fois que je serais rentre d'angleterre). J'ai donc tout code sur Casio, et (apres quelques debeugages), le programme avait l'air de fonctionner, mais aucune certitude... En effet, lorsque je place les points suivants :

- A (0m;0m), masse=1000kg; vitesse=0 m/s; direction= 0deg par rapport a l'horizontale

- B (-5 m;0 m), masse=30kg; vitesse=15m/s; direction=90deg

 

ils tournent bien l'un autour de l'autre (le point B tournant autour du point A, car ce dernier etant lour bouge peu), mais il y a cependant quelque chose qui me questionne : est-ce normal que l'orbite de B soit de plus en plus grande a chaque tour ? En effet, sur le logiciel que j'ai trouve qui faisait a peu pres la meme chose ("planets" sous linux, et peu etre mis sous windows), les orbites des planetes lancees restent de meme taille.

 

De plus dans certaines configurations, les planetes s'echapent et s'eloignent l'une de l'autre. Je ne sais pas si c'est normal ou si il y a un bug dans mon programme.

 

Connaissez vous un logiciel qui fasse la meme chose que ce que je veux faire et qui permet de choisir la masse des objets, leur position, leur vitesse... ? (En effet dans le logiciel planets, on fait tout a la souris. On ne connait donc pas la taille reelle et la masse des objets). Et savez vous si c'est normal que les orbites de mes planetes s'elargit ?

 

Merci d'avance.

 

PS : je mettrai lors de mon retour en angleterre le code source de mon programme casio si ca peut vous aider... a m'aider