Que devient la gravitation au centre de la Terre ?!

[Fred_76]

Oscar2000, ton équation se simplifie en y = x * (x^2-3x+3)^3

 

Elle a 3 racines, dont une seule réelle 0 et deux complexes (3-i*rac(3))/2 et (3+i*rac(3))/2

 

Si tu veux résoudre tes problèmes de maths je te conseille le site http://www.quickmath.com/

 

Et si tu cherches LA réponse à LA question de la vie, l'univers et tout le reste, et bien c'est 42.

[roger15]

Et si tu cherches LA réponse à LA question de la vie, l'univers et tout le reste, et bien c'est 42.

Certes, Fred le Havrais, le nombre quarante-deux répond bien à toutes les questions existentielles que chacun peut se poser...

[oscar2000]

merci fred pour la réécriture du polynôme. il est beaucoup plus élégant ainsi.

je ne cherche pas la réponse à la question de l'univers, je cherche la réponse à la question "quelle est la gravité à l'intérieur de la terre ?" et ceci en tout point.

que pensez vous de ce polynôme dans le cadre de cette question ?

je précise les hypothèses simplificatrices suivantes : la terre est une sphère parfaite (quasiment vrai) et la masse volumique est constante en tout point (complètement faux).

[Gontran]

HEllo,

Tu donnes une formule sans rien préciser, sans expliquer la démarche. Comment est il possible d'en tirer quelque chose ?

[Chtit Bilou]

Bonjour !

 

Réponse dans le texte :

 

...qu'en pensez-vous ?

RIEN !

 

et quand pensez-vous ?

JAMAIS !

 

Bon ciel quand même !

[oscar2000]

HEllo,

Tu donnes une formule sans rien préciser, sans expliquer la démarche. Comment est il possible d'en tirer quelque chose ?

 

 

oui, je suis un peu laconique, c'est vrai. disons que je m'amuse un peu.

dans le présent fil, il est acquis que la gravité à la surface de la terre est g=9,81 m/s2.

il est acquis que la gravité est de zéro à une distance infinie.

il est acquis que la gravité décroit de la surface de la terre vers l'infini en fonction du carré de l'inverse de la distance du point considéré au centre de la terre.

 

ok, mais qu'en est il à l'intérieur de la terre ?

par un raisonnement qualitatif, il est acquis que au centre la gravité est de zéro.

mais ailleurs ?

j'ai lu dans cette file qu'il était proposé que la gravité croissait linéairement avec la distance au centre (la masse dépend du volume donc des m3, et la distance au carré ce sont des m2, l'un divisé par l'autre donne la supposée linéarité...),

j'ai lu dans cette file que selon un théorème de gauss, la gravité serait constant à l'intérieur de la terre (mais alors comment expliquer la discontinuité au centre où l'on a zéro),

j'ai lu que à partir de l'hypothèse linéaire, la réalité devait être un peu plus compliquée en raison de la variation de la masse volumique en fonction de la distance au centre (je reprécise encore que en première approximation je simplifie mon calcul en supposant que la masse volumique est constante, et qu'en deuxième approximation, avec masse volumique variable, je serais incapable de faire le calcul),

j'ai lu dans cette file que le maximum devait être à la surface de la terre...

 

je propose une autre hypothèse : mon polynôme.

je remarque avec bonheur que au centre de la terre, en x=0, y=0

et je remarque également avec bonheur que à la surface de la terre, en x=1, y=1, c'est à dire g à une constante multiplicative près.

je vous propose donc d'étudier le polynôme que je propose sur l'intervalle [0;1] et on s'en reparle...

[Gontran]

Ca n'est pas vraiment une démarche scientifique...

De où viennent les coefficients de ton polynome ? Pourquoi de degré 7 ?

Parce que des polynomes qui te fournissent f(0)=0 et f(1)=1, tu en as une infinité.

 

Pour être honnête et direct, des théories fumeuses dans différents domaines, on en a déjà vu tellement que si tu veux être pris au sérieux, il faudrait que tu présentes ça plus clairement. Parce que pour le moment, ce polynôme est l'équivalent de la réponse ironique donnée par Fred_76: 42

[Fred_76]

T'as pas besoin de théorie fumeuse pour calculer la gravité à l'intérieur d'une sphère remplie de matière. Ca se calcule très simplement, on le voit en Maths Sup. On peut, après compliquer les hypothèses de base en supposant une sphère dont les densités ne sont pas homogènes, ça complique un peu le calcul mais pas besoin de "polynôme de °7" abscons !

 

Globalement à une distance r du centre de la sphère, on a :

 

g®=−4πGρ®r/3

 

Où :

r<=rayon de la sphère

g® est l'accélération de la pesanteur à une distance r du centre

G est la constante universelle de gravitation

ρ® est la densité moyenne de la sphère de rayon r

 

Cette formule est valable jusqu'à la surface de la sphère. Ensuite on a la formulation classique :

g®=−GM/(r^2)

 

Où :

r>=Rayon de la sphère

M est la masse de la sphère

Modifié 4 août 2016 par Fred_76

[syncopatte]

pas besoin de "polynôme de °7" abscons !

Oui, mais le nombre "7" rayonne de symbolisme...

 

Patte.

[bongibong]

j'ai lu dans cette file que selon un théorème de gauss, la gravité serait constant à l'intérieur de la terre (mais alors comment expliquer la discontinuité au centre où l'on a zéro),

Et bien t'as mal lu.

 

Pour calculer la gravitation pas besoin de variable x et y... tu connais un peu les coordonnées sphériques ? Seule la distance r importe.

 

On peut taper en LaTeX sur le forum ?

 

D'après le théorème de Gauss, le champ à la distance r dépend de la masse enfermée dans la sphère de rayon r soit :

 

Bon ça c'est pour une densité constante, mais si tu prends une densité non constante, mais tout de même à symétrie sphérique, la masse dans une sphère de rayon R est donnée par :

 

Qu'en est-il du champ g®?

Modifié 5 août 2016 par bongibong

[Fred_76]

C'est marrant, Oscar a disparu !

[oscar2000]

bongibong,

mon x a le même statut que votre r,

mon y a le même statut que votre grand m®,

 

gauss trouve un polynôme d'ordre 1,

j'ai trouvé un polynôme d'ordre 7,

entre gauss et moi, je pense que c'est gauss qui a juste et moi qui ai faux.

cet après midi, je me suis penché sur ce théorème de gauss, j'avais quelques objections, mais qui n'ont pas tenu à quelques vérifications et calculs, je suis donc maintenant convaincu que c'est bien linéaire.

mais je n'arrive pas à trouver mon erreur de raisonnement. je vais donc rédiger les calculs, je les posterai et je vous demanderai où est mon erreur.

[Fred_76]

Vas y. Si tu n'arrives pas au mêmes résultats que ceux que j'ai postés (ou ceux de Bongibong, c'est pareil), c'est que tu t'es planté quelque part. Vérifie au moins l'homogénéité de tes formules avant de les poster, et utilise les notations standards !!!

[oscar2000]

Vas y. Si tu n'arrives pas au mêmes résultats que ceux que j'ai postés (ou ceux de Bongibong, c'est pareil), c'est que tu t'es planté quelque part. Vérifie au moins l'homogénéité de tes formules avant de les poster, et utilise les notations standards !!!

 

je suppose que la terre est une sphère parfaite de masse volumique constante pour simplifier mes calculs. par définition, g=9,81 m/s2 à la surface de la terre, et on a newton qui nous a appris que chaque masse développe un champ gravitationnel proportionnel à la masse et inversement proportionnel au carré de la distance.

au centre de la terre, le champ de pesanteur est égal à zéro car l’effet de toutes les masses de tous les cm3 qui sont autour du centre s’annule par symétrie sphérique.

 

si j’étudie un point qui n’est pas au centre de la terre, je ne me sens pas assez costaud pour résoudre une intégrale triple dans un repère sphérique. je débloque la situation par le raisonnement suivant :

ce qui est valable pour le centre de la terre (gravité nulle au centre) est valable au centre de n’importe quelle sphère.

je vais donc considérer une sphère de rayon x, x variant de zéro à un, 1 étant le rayon de la terre.

je débute mon raisonnement depuis la surface de la terre, je creuse par la pensée un puit de hauteur x, je descends dans le puit, je suis à une profondeur x, au milieu d’une boule de rayon x. cette boule est intérieure à la terre, mais néanmoins tangente à celle ci au point de surface. l’effet gravitationnel sur moi de cette boule est zéro, puisque je suis en son centre.

puisque l’effet de cette boule de rayon x est de zéro, je soustrais par la pensée cette boule de la terre.

il reste donc la terre de rayon 1 moins la boule de rayon x.

la terre dans son entier a une masse de 1 et son centre de gravité o est en son centre géométrique,

ma boule de rayon x a une masse de x3 et son centre de gravité o’ est à x de la surface de la terre, c’est à dire à 1-x du centre de la terre.

la masse de la terre moins la boule est de 1-x3 et je cherche son centre de gravité g.

par un calcul de barycentre, je calcule og = (1.oo – x3.oo’)/(1-x3) = x3 / (1+x+x2)

j’additionne og à oo’ pour trouver la distance go’ qui m’intéresse :

x3 / (1+x+x2) + (1-x) = 1 / (1+x+x2) = go’

 

ainsi, l’ensemble (terre – boule de rayon x) exerce un champ gravitationnel y qui vaut au centre de la boule de rayon x : la masse 1 – x3 divisé par le carré de la distance 1/(1+x+x2),

c’est à dire (1-x3).(1+x+x2)2

c’est à dire en développant : y = 1 + 2x + 3x2 + x3 – x4 - 3x5 – 2x6 – x7

x valant zéro à la surface de la terre et x valant 1 au centre de la terre.

on vérifie que le polynôme vaut 1 quand x = 0 et qu’il vaut 0 quand x = 1…

 

pour avoir un polynôme qui correspond au centre de la terre quand x=0, je procède à un changement de variable : je remplace dans l’expression du polynôme x par 1 – x. je développe (merci à pascal et à son triangle) et je simplifie pour trouver :

y = x7 - 9x6 + 36x5 - 81x4 + 108x3 - 81x2 + 27x

que fred a factorisé en y = x * (x^2-3x+3)^3 et qui me plaisait bien.

 

même en le réécrivant, je ne parviens pas à voir où est mon erreur. je conseille de faire un croquis pour bien suivre pas à pas mon raisonnement et mes notations.

[Poussin38]

Tu peux préciser comment tu calcules la position du barycentre de ta terre évidée de la boule de rayon x stp (en remettant les dimensions ça éviterait les raccourcis polynomiaux amha ...) ?

Modifié 5 août 2016 par Poussin38

[bongibong]

si j’étudie un point qui n’est pas au centre de la terre, je ne me sens pas assez costaud pour résoudre une intégrale triple dans un repère sphérique. je débloque la situation par le raisonnement suivant :

ce qui est valable pour le centre de la terre (gravité nulle au centre) est valable au centre de n’importe quelle sphère.[/Quote]Non ça c’est faux. C’est vrai dans n’importe quelle sphère, pourvu que cette sphère soit plongée dans le vide.

Evidemment dès que tu rajoutes une source gravitationnelle à l’extérieur de cette sphère, cette source aura une influence à l’intérieure de cette sphère. Ce n’est pas une cage de Faraday gravitationnelle.

je vais donc considérer une sphère de rayon x, x variant de zéro à un, 1 étant le rayon de la terre.

je débute mon raisonnement depuis la surface de la terre, je creuse par la pensée un puit de hauteur x, je descends dans le puit, je suis à une profondeur x, au milieu d’une boule de rayon x. cette boule est intérieure à la terre, mais néanmoins tangente à celle ci au point de surface. l’effet gravitationnel sur moi de cette boule est zéro, puisque je suis en son centre.

puisque l’effet de cette boule de rayon x est de zéro, je soustrais par la pensée cette boule de la terre.

il reste donc la terre de rayon 1 moins la boule de rayon x.[/Quote]Je ne comprends pas pourquoi tu creuses un trou dans la terre. Tu veux seulement connaître la gravitation en un point x du centre de la terre. A partir du moment où tu enlèves un bout de la terre… ça ne marche plus…

la terre dans son entier a une masse de 1 et son centre de gravité o est en son centre géométrique,

ma boule de rayon x a une masse de x3 et son centre de gravité o’ est à x de la surface de la terre, c’est à dire à 1-x du centre de la terre.

la masse de la terre moins la boule est de 1-x3 et je cherche son centre de gravité g.

par un calcul de barycentre, je calcule og = (1.oo – x3.oo’)/(1-x3) = x3 / (1+x+x2)[/Quote]Je ne comprends pas cette égalité.

1 (masse de la terre) multipliée par oo = 0 (tu me suis ?)

(1.oo – x3.oo’)/(1-x3) = -x^3 oo’ / (1-x^3)

Je ne vois pas comment tu fais pour dire que ça fait x^3 / (1 + x + x^2)

 

Mon avis est que tu n'as pas compris le théorème de Gauss... tu éviterais de te compliquer la vie avec des calculs hyper compliqués que tu ne maîtrises absolument pas avec une notation abominable si tu prenais vraiment la peine d'essayer de comprendre ce théorème...

Modifié 5 août 2016 par bongibong

[AstroFilDu76]

Tout est là : https://fr.m.wikipedia.org/wiki/Champ_gravitationnel

En substance, par hypothèse la Terre est à symétrie sphérique, chaque petit élément de volume génère une force de gravitation sur nous au centre de la Terre (centre de gravité) on sommes tout cela et au miracle, la force de gravitation au centre de la Terre est nulle...

Si tu n'est pas au centre de la terre c'est la force de gravité de la masse de la Terre contenu dans la sphère de rayon d (ou d est la distance au centre). Et ce calcul tu peut le faire sans intégrale triple .

 

Bonne journée.

[Fred_76]

Pour résumer :

[Fred_76]

par définition, g=9,81 m/s2 à la surface de la terre

Non, c'est faux.

 

g=9.81 m/s² est une conséquence de la gravitation, ce n'est pas une définition ! D'ailleurs g varie selon qu'on est à l'équateur ou au pôle, la Terre étant au premier ordre un ellipsoïde et non une sphère.

[bongibong]

Exact 9.83 aux pôles, parce q'on y est plus proche du centre de la terre, et 9.79 à l'équateur.

 

D'ailleurs, si on est consciencieux, il faut prendre en compte la rotation de la terre (force d'inertie) et la direction du champ de gravitation ne coïncide pas tout à fait avec la verticalité du lieu (en dehors du pôle et de l'équateur).

[oscar2000]

fred, j'ai posé comme hypothèse que la terre est une sphère parfaite, pas un ellipsoïde, donc le g serait constant sur toute sa surface. dans mon raisonnement, que g soit égal à 9,81 ou 9,83 ou 9,79, peu importe, g n'est qu'une constante multiplicative.

 

bongibong, il faut que je réécrive mes calculs avec d'autres notations. évidemment, si j'avais un clavier avec des majuscules, ce serait plus facile... hahaha.

est il possible de poster une photo sur le forum ?

[Gontran]

Merci à Fred_76, AstroFilDu76 et bongibong pour ces explications

 

Je pense piger l'aspect mathématique mais j'ai un peu de mal a visualiser ça.

A la surface, il y a bien continuité entre les deux formules.

 

Mais quand on s'approche du centre, le grandeur du champ de gravitation sera proportionel à r x ρ®. A r = 0, qu'en est il de la densité ? est elle nulle (ou au moins finie) et dans ce cas, pas de soucis ?

 

Est ce qu'on a aussi une idée de la "fonction" ρ® ? Comme la densité est plus élevée près du centre, est ce que le champ gravitationel peut être plus grand qu'à la surface malgré un rayon plus petit ?

[Gontran]

ah bah je viens de trouver un document modélisant la densité de la terre en fonction du rayon.

http://perso.ens-lyon.fr/yanick.ricard/note-thermodynamique.pdf

 

Et puis aussi la courbe d'évolution de la gravité en fonction du rayon en prenant comme hypothèse un modèle à 2 couches.

Modifié 5 août 2016 par Gontran

[oscar2000]

bongibong,

 

Je ne comprends pas cette égalité.

1 (masse de la terre) multipliée par oo = 0 (tu me suis ?)

 

oui, tout à fait.

 

 

(1.oo – x3.oo’)/(1-x3) = -x^3 oo’ / (1-x^3)

Je ne vois pas comment tu fais pour dire que ça fait x^3 / (1 + x + x^2)

 

 

en écrivant que oo' = 1-x

et en remarquant que 1-x3 = (1-x).(1+x+x2)

on obtient -x3 / (1+x+x2)

plus que le vecteur og, c'est ça norme qui m'intéresse, je ne retiens donc que la valeur positive (une distance est positive).

ça, c'est pour l'explication de ma démarche et de mon calcul...

 

mais c'est sûr que si l'hypothèse de départ "ce qui est valable pour le centre de la terre (gravité nulle au centre) est valable au centre de n’importe quelle sphère." est fausse, mon raisonnement s'écroule.

 

 

"C’est vrai dans n’importe quelle sphère, pourvu que cette sphère soit plongée dans le vide.

Evidemment dès que tu rajoutes une source gravitationnelle à l’extérieur de cette sphère, cette source aura une influence à l’intérieure de cette sphère. Ce n’est pas une cage de Faraday gravitationnelle." est donc l'explication de mon erreur.

merci pour cette explication.

[bongibong]

Mais quand on s'approche du centre, le grandeur du champ de gravitation sera proportionel à r x ρ®. A r = 0, qu'en est il de la densité ? est elle nulle (ou au moins finie) et dans ce cas, pas de soucis ?[/Quote]La densité au centre de la terre est non nulle, plutôt élevée (je n'ai pas de chiffre en tête, pour une densité moyenne de 5, elle peut valoir 10 au centre)

Est ce qu'on a aussi une idée de la "fonction" ρ® ? Comme la densité est plus élevée près du centre, est ce que le champ gravitationel peut être plus grand qu'à la surface malgré un rayon plus petit ?

Oui c'est le cas vers les 3000 km, on a quelque chose comme 12 m/s².

 

On peut réfléchir à la forme de rho® pour que la gravitation puisse passer par un maximum puis diminuer avant d'atteindre la surface.

Intuitivement, comme la masse augmente en r^3 mais le champ diminue en 1/r², il faut que la densité diminue un peu plus vite que 1/r pour que le champ diminue.

 

Il suffit de reprendre le champ :

 

Et d'étudier comment ce champ varie avec R soit en calculant la dérivée par rapport à R :

 

Là comme ça pour éviter des problèmes à l'origine, j'ai envie de poser :

 

edit la primitive se calcule bien :

 

Le champ donne :

Le champ augmente bien de 0 pour atteindre un maximum pour r = 1.5a0 environ pour ensuite diminuer.

Modifié 5 août 2016 par bongibong

[Mago67]

Pour écrire plus lisiblement, vous pouvez utiliser latex en ligne sur ce site :

https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php

 

Il faut ensuite simplement insérer le lien de l'image dans un post.

 

Par exemple :

g® = -\frac{G}{R^2}\int_0^R 4\pi r^2 \rho® dr

 

donne :

[Gontran]

Oui c'est le cas vers les 3000 km, on a quelque chose comme 12 m/s².

Effectivement, après avoir posé cette question, j'ai trouvé un document (voir le lien plus haut) qui montrait l'évolution de la gravité et montrait un pic à 3500 km.

Voici le graphe tiré du document

 

[bongibong]

Gontran, effectivement.

 

Mago : j'ai édité mes postes pour les rendre un peu plus lisibles, et j'ai trouvé une distribution qui marche bien. Maintenant que je me suis amusé avec LaTeX... je vais en abuser :wub:

[SpaceJu]

Bonjour,

 

Je profite du niveau atteint par vos échanges, bien au-delà du mien, pour vous poser une question bête... mais dont la réponse peut avoir un rapport avec les formules proposées.

 

Je crois savoir qu'un trou noir a une force d'attraction gravitationnelle énorme. Or pourquoi serait-elle supérieure à celle de l'étoile qui en est à l'origine ? (Avant toute absorption d'autres corps j'entends). Pourquoi ce qui était stable autour de l'étoile ne le serait plus autour du trou noir ?

 

Autrement dit : la gravité à la surface d'un corps est-elle (significativement) fonction de sa densité, à masse identique ?

 

Merci, pardon si j'enfonce des portes ouvertes ;-) et surtout bon ciel !

Julien

 

PS : je déduis de vos échanges que la gravité au centre d'un trou noir est également virtuellement nulle (un trou noir étant peut-être se qui se rapproche le plus d'une sphère parfaite ?), sauf à parler de trous de ver, mais là je mélange certainement tout...

Modifié 8 août 2016 par SpaceJu

[bongibong]

Je crois savoir qu'un trou noir a une force d'attraction gravitationnelle énorme. Or pourquoi serait-elle supérieure à celle de l'étoile qui en est à l'origine ? (Avant toute absorption d'autres corps j'entends). Pourquoi ce qui était stable autour de l'étoile ne le serait plus autour du trou noir ?[/Quote]Je vais évincer ce qui arrive à l’étoile avant de devenir un trou noir.

Je rappelle rapidement la loi d’attraction universelle :

F = GMm/r²

Cette loi dit simplement que deux corps s’attirent avec une force proportionnelle à leur masse, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.

 

Nous allons nous intéresser à la source de la gravitation (l’objet de masse M), on ne va pas parler de la masse m, qui est en fait une particule test.

 

Dans l’équation, tu vois bien que si r diminue, la force augmente (puisque plus r augmente plus 1/r diminue).

Dans le cas d’une étoile ordinaire, elle est très grande (le rayon du soleil est par exemple 740 000 km). La force d’attraction du soleil a une certaine valeur (certes plus grande qu’à la surface de la terre mais tout de même assez modeste).

 

Imaginons que le soleil ne perde pas de poids, mais que son rayon diminue d’un facteur 4. Et bien… la force de gravitation va augmenter de 16 fois. Donc cet astre virtuel aurait une force d’attraction à la surface 16 fois plus importante que le soleil. Evidemment, si on remplace le soleil par cet objet, le système solaire reste en place, puisque les planètes restent à la même distance, et subissent la même force. Le fait est que si la masse de l’étoile reste identique, mais que son rayon diminue, tu as la possibilité de t’en rapprocher beaucoup plus, ce qui fait que sa force d’attraction est énorme à courte distance.

Autrement dit : la gravité à la surface d'un corps est-elle (significativement) fonction de sa densité, à masse identique ?[/Quote]Oui, si on fait un calcul, on voit tout simplement que si tu fixes la masse de l’objet, et que tu en augmentes la densité, son rayon va diminuer, et plus tu peux te rapprocher de l’astre, et plus sa force d’attraction est élevée.

 

PS : je déduis de vos échanges que la gravité au centre d'un trou noir est également virtuellement nulle (un trou noir étant peut-être se qui se rapproche le plus d'une sphère parfaite ?), sauf à parler de trous de ver, mais là je mélange certainement tout...

Euh… et bien non, parce que tu es en train d’extrapoler une loi (celle de Newton), que l’on sait fausse dans ces conditions. La relativité générale nous dit qu’au centre d’un trou noir… on ne sait pas dire grand-chose, étant donné que tout devient infinie.

Pour pouvoir dire quoique ce soit, il faudrait une théorie quantique de la gravitation.