Le cercle et pi ?

[Lasilla]

Il n'y a rien qui permette de calculer pi avec exactitude. Qu'on entreprenne le calcul de tête, avec un papier ou avec le plus puissant ordinateur du monde, on va forcement buter sur un problème de temps et/ou d'espace mémoire.

 

Oui, mais la formule existe: on sait théoriquement le déterminer.

C'est ce que je voulais dire par là... Après, techniquement, pour la mise en oeuvre, c'est sûr que ça va coincer!

[Newton]

Chuck Norris connait la dernière décimale de Pi.

[Bison]

Le plus dingue c'est que tu te retrouves avec 9 bouts.

 

Patte

 

Et ce qui est encore plus étonnant, comme disait Raymond DEVOS, c'est que chaque bout de bois en a deux ?!?

['Bruno]

Pourtant si je fais faire à ce cercle un tour complet sur une droite, la distance parcourue m'apparait comme une distance tout à fait fixe sur cette même droite !

Comment cela se fait-il ?

Je ne vois pas de contradiction. Une distance n'est pas forcément un nombre algébrique, voilà tout.

 

pourquoi alors le nombre pi (qui est réel je vous l'accorde !) n'est-il pas fixe ?

Le nombre pi est fixe.

 

Attention, lorsqu'Iksarfighter dit que la distance est réelle, ce n'est pas au sens des nombres rationnels, réels, complexes, etc. mais (il me semble) par contraste avec une distance approchée. (Encore que, je me demande si Iksarfighter est clair sur ce point ?)

 

Concernant les formules pour calculer Pi, elles utilisent toutes des développements infinis. Il est impossible de calculer Pi avec un nombre fini d'opérations algébriques (voilà pourquoi Pi est un nombre irrationnel particulier : il n'est pas algébrique mais transcendant).

 

((...pour moi, ton problème eut de pareils avantages...))

 

-----

Ah, j'ai trouvé la source du problème :

 

Ou plutôt pi est un nombre transcendant dont la valeur n'est jamais fixée, sauf à l'infini peut-être.

Il y a un malentendu : le nombre transcendant Pi a une valeur fixée (mais qu'on ne peut pas exprimer à l'aide d'un nombre fini de chiffres) ; ce sont ses approximations successives qui ne sont pas fixées (plus précisément, les approximations sont des suites non-constantes : 3,1 ; 3,14 ; 3,141 ; 3,1415 ; etc. ou bien 4*1 ; 4*(1-1/3) ; 4*(1-1/3+1/5) ; 4*(1-1/3+1/5-1/7) ; etc.) En quelque sorte, Pi est la valeur à l'infini de ces approximations (et ton « peut-être » est en trop).

Modifié 30 juin 2011 par 'Bruno

[syncopatte]

Et ce qui est encore plus étonnant, comme disait Raymond DEVOS, c'est que chaque bout de bois en a deux ?!?

 

Ah, quand-même!

(j'aime bien Devos, voir signature)

 

9 donc le bout coupé en 3.

 

Patte.

[Lasilla]

Ouiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii

 

Jadis, mystérieux, un problème bloquait tout l'admirable procédé, l'œuvre grandiose que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.

 

Mais quel est donc ce problème?

 

(Non, pas celui du bout de bois coupé en 3 qui font 3 bouts à 2 bouts donc 9... )

['Bruno]

Hé, mais je ne connaissais pas la suite ! Je me suis toujours demandé comment on faisait le 0.

Modifié 30 juin 2011 par 'Bruno

[iksarfighter]

Je pense qu'avec mon déroulement en pensée d'un cercle parfait j’atteins la valeur de pi à l'infini donc une distance représentable et exacte.

[iksarfighter]

Tu verras ça quant tu étudieras les fractions et quant tu connaitras l'ensemble des nombres rationnels et des réels.

 

Au fait, quel age as tu ?

J'ai 51 ans, j'ai un bac C, un deug de Biologie orienté ingénierie médicale, deux ans de médecine et je suis aujourd'hui informaticien.

 

Mais après 50 ans de réflexion sur une science et une société technologique qui marchent parfois sur la tête, on remet en cause pas mal de ses acquis, il est alors temps de s'interroger à nouveau sur les bases de son propre savoir.

[Lasilla]

On fait le 0 avec un mot de 10 lettres

 

Iksar, pense un peu moins et n'oublie pas de couper ton "déroulement" en 2....

[Ygogo]

en CM1 : je calculé deja les volumes dont la sphere ... les fractions ont été vu avant forcement

 

on a pas du aller dans les meme ecoles ...

 

Elève consciencieux mais parfois trop imaginatif, en avance pour son âge en mathématiques, peut et doit encore beaucoup progresser en orthographe et en conjugaison

 

signé : le directeur

[Leimury]

J'ai 51 ans, j'ai un bac C, un deug de Biologie orienté ingénierie médicale, deux ans de médecine et je suis aujourd'hui informaticien.

 

Mais après 50 ans de réflexion sur une science et une société technologique qui marchent parfois sur la tête, on remet en cause pas mal de ses acquis, il est alors temps de s'interroger à nouveau sur les bases de son propre savoir.

 

Bonjour,

 

Je comprends mieux ta notion d'infini dans PI.

 

Il est vrai qu'en calcul numérique ces machins à décimales qui n'en finissent pas peuvent poser deux trois problèmes.

 

Bon ciel

[Alcofribas]

C'est une question de représentation des nombres. On confond souvent les propriétés des nombres et les propriétés d'une représentation particulière (ici, le développement décimal).

En géométrie algorithmique, j'utilise des représentations permettant de faire des calculs avec des irrationnels sans perte de précision. Racine(2) est représenté de façon exacte avec un nombre fini de symboles. On peut très bien ajouter, multiplier, etc. des nombres algébriques irrationnels en "précision infinie".

Même pour PI, non algébrique, il y a des représentations plus "simples" que le développement décimal.

[HUMAN GO TOO]

La blonde qui prend une pizza à emporter :

 

- le vendeur : je vous la coupe en 4 ou en 6 ?

 

- la blonde : non , vous êtes fou , en 4 ! Je ne pourrais jamais manger 6 morceaux !

['Bruno]

Je pense qu'avec mon déroulement en pensée d'un cercle parfait j’atteins la valeur de pi à l'infini donc une distance représentable et exacte.

Tu confonds l'objet (le cercle) et sa mesure (un nombre). Tout le monde est capable de dessiner un cercle en un temps fini (avec un compas) mais personne ne pourra écrire la représentation décimale complète de son périmètre (si l'unité choisie est son rayon ou son diamètre).

 

De même, il n'y a rien de plus facile que de tracere la diagonale d'un carré de côté 1. Mais sa mesure, elle, est assez compliquée (racine de 2, irrationnel).

[iksarfighter]

Iksar, pense un peu moins et n'oublie pas de couper ton "déroulement" en 2....

Si tu relis mon post initial, tu verras que je parle bien de "diamètre" et non pas de "rayon".

Fais attention à que ce que tu observes ne devienne pas ce que tu souhaites observer.

[moonmaniac]

Fais attention à que ce que tu observes ne devienne pas ce que tu souhaites observer.

 

ça serait pas plutôt le contraire?

 

AAaaaargh, le post qui rend fou

[iksarfighter]

Effectivement le cas de la diagonale du carré, parfaitement représentable et pourtant de rapport "irrationnel" avec son coté est un exemple encore plus simple que le cas du cercle avec lequel j'ai commencé le fil.

 

Quand vous contemplez un carré, coté et diagonale ne peuvent pas exister ensemble !!! Leur rapport n'est pas fixé !

Sauf dans le cas d'une représentation mentale avec des objets parfaits où l'on admet que racine de 2 est un nombre fini quand on peut l'embrasser mentalement dans son infinité... (c'est pas beau ça ?)

 

Mais dans le cas du cercle, le rapport est en plus "transcendant", c'est mieux mais c'est plus cher

['Bruno]

Quand vous contemplez un carré, coté et diagonale ne peuvent pas exister ensemble !!! Leur rapport n'est pas fixé !

Iksarfighter, tu sembles adpepte de la secte pythagoricienne ! Ce n'est pas parce que le rapport diagonale/côté n'est pas une fraction que, pour autant, il n'est pas fixé. Enfin, il n'est pas fixé... dans les rationnels. Du coup tu sembles penser comme Pythagore, c'est-à-dire que ce qui n'est pas mesurable par des rationnels ne devrait pas exister.

 

Dans le monde mathématique, si, ça existe (bien comprendre qu'il faut distinguer l'objet et sa mesure).

 

Par contre, dans le monde physique, discrétisé par les atomes, c'est sans doute plus compliqué...

[jgricourt]

Alcofribas a donné une info intéressante effectivement la valeur PI exprimée en base PI donne 10 donc plus besoin de connaitre toutes ses décimales pour le représenter. Petit challenge par quoi serait représenté la valeur 10 en base PI ?

[PierreDesvaux]

J'ai l'impression que l'inquiétude existencielle de notre ami vient du fait qu'il croit que lorsqu'on cherche à calculer le nombre pi, on "ajoute" à chaque fois quelque chose, un morceau de décimale, et que donc, ce nombre lui semble toujours augmenter un peu, à chaque fois qu'on essaie de le calculer un peu plus précisément.

 

D'où sa perplexité, pensant multiplier un nombre "precis", le rayon, par un nombre "imprécis", pour donner un nombre "précis". (j'utilise volontairement des termes non mathématiques).

 

En fait, il faut comprendre que chaque "réprésentation" avec décimales de pi, c'est un morceau d'un "encadrement". On a 3<pi<4, puis 3,1<pi<3,2, puis, 3,14<pi<3,15, etc, etc, à l'infini..

 

Quand on ajoute une décimale, la précision de l'encadrement se réduit, mais cela reste un encadrement. Et ces encadrements tendent vers une limite, qui est justement pi, nombre parfaitement défini "en soi".

 

Donc, pi en lui même, n'est pas quelque chose qui varie, d'imprécis ou d'indéfini. Il est même bien défini très précisément comme le rapport (intangible) de la circonférence (qui est défini, intangible) au rayon du cercle (lui même intangible) (en tout cas, c'est comme cela qu'il a été défini à l'origine).

 

Est-ce que cela peut aider ?

[arpège]

Le plus dingue c'est que tu te retrouves avec 9 bouts.

 

Patte

 

 

ça me rappelle l'histoire de Raymond Devos:

un bout c'est irréductible ! prenez un bout de bois par exemple: Si vous coupez le bout de bois en deux, il reste deux bouts au bout du bout ! de telle sorte que l'on ne devrait jamais dire le "bout de bois" mais les "deux bouts d'un bois".....mais cela sonne mal car on entend les "deux boudins"....etc, etc...

[iksarfighter]

J'ai l'impression que l'inquiétude existencielle de notre ami vient du fait qu'il croit que lorsqu'on cherche à calculer le nombre pi, on "ajoute" à chaque fois quelque chose, un morceau de décimale, et que donc, ce nombre lui semble toujours augmenter un peu, à chaque fois qu'on essaie de le calculer un peu plus précisément.

 

D'où sa perplexité, pensant multiplier un nombre "precis", le rayon, par un nombre "imprécis", pour donner un nombre "précis". (j'utilise volontairement des termes non mathématiques).

 

En fait, il faut comprendre que chaque "réprésentation" avec décimales de pi, c'est un morceau d'un "encadrement". On a 3<pi<4, puis 3,1<pi<3,2, puis, 3,14<pi<3,15, etc, etc, à l'infini..

 

Quand on ajoute une décimale, la précision de l'encadrement se réduit, mais cela reste un encadrement. Et ces encadrements tendent vers une limite, qui est justement pi, nombre parfaitement défini "en soi".

 

Donc, pi en lui même, n'est pas quelque chose qui varie, d'imprécis ou d'indéfini. Il est même bien défini très précisément comme le rapport (intangible) de la circonférence (qui est défini, intangible) au rayon du cercle (lui même intangible) (en tout cas, c'est comme cela qu'il a été défini à l'origine).

 

Est-ce que cela peut aider ?

Oui bien sûr la définition de PI oscille vers une limite qui n'est atteinte qu'à l'infini.

Mais sauf à l'infini, sa valeur reste toujours dans un encadrement, j'en déduis de ce fait qu'elle n'est pas fixe.

 

Nous venons de mettre en lumière une nouvelle propriété de l'infini, il permet aux nombres irrationnels ou transcendants d'exister "vraiment".

['Bruno]

Alcofribas a donné une info intéressante effectivement la valeur PI exprimée en base PI donne 10

Une base (numérique) doit être un nombre entier, non ? Or Pi ne l'est pas.

 

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Oui bien sûr la définition de PI oscille vers une limite qui n'est atteinte qu'à l'infini.

Non. La définition de Pi est celle d'un nombre précis, fixe, unique. Ce qui oscille, c'est une suite approximant Pi.

 

Nous venons de mettre en lumière une nouvelle propriété de l'infini, il permet aux nombres irrationnels ou transcendants d'exister "vraiment".

Ce n'est pas une nouvelle propriété de l'infini mais la définition ! Les nombres réels sont, par définition, les limites à l'infini de suites de nombres rationnels. Donc les irrationnels sont, par définition, des limites à l'infini de rationnels (plus précisemment le cas particulier ou la limite n'est pas rationnelle). Pour les transcendants, c'est similaire (ils ne sont pas algébriques, donc pas solutions d'équations polynomiale à coefficients rationnels, du coup on les obtient en passant à la limite sur les coefficients et sur le degré du polynôme).

Modifié 30 juin 2011 par 'Bruno

[robton kob]

ça me fait penser aux paradoxes de Zénon, je crois, où Achille ne peut jamais rattraper la tortue, ou la flèche ne peut pas atteindre Achille, je sais plus....

 

Bref, si Achille se déplace à 1 m/s, et la flèche à 10 m/s, le temps que la flèche fasse les 10 m qui la sépare de Chichille, Chichille les beaux talons aura parcouru 1 m, que la flèche mettra 1/10 s à parcourir, cependant qu'Achille parcourera encore 10 cm, que la flèche abattra en 1/100 s etc etc

 

C'est pas pour autant que je prendrais 10 m d'avance sur un flèche lancée dans mon dos...

[jarnicoton]

J'ai lu plus haut qu'au CM1 quelques participants avaient déjà un sacré niveau, mais dans mon CM1 on calculait le volume de la sphère en intégrant de - R a + R les volumes élémentaires de l'infinité de cylindres infiniment minces qu'on y logeait.

C'est ensuite au CES que les maths et moi avons divorcé.

[Newton]

En info, on avait du faire un programme qui donnait une valeur approchée de pi basée sur la probabilité qu'avait une alumette de tomber à cheval sur un segment. Comme, selon la théotie, cette proba contenait pi, il suffisait de reproduire un grand nombre de fois l'évênement.

[jgricourt]

En info, on avait du faire un programme qui donnait une valeur approchée de pi basée sur la probabilité qu'avait une alumette de tomber à cheval sur un segment. Comme, selon la théotie, cette proba contenait pi, il suffisait de reproduire un grand nombre de fois l'évênement.

 

Ah la fameuse aiguille de Buffon ... sinon il y a la méthode de Monte Carlo aussi qui est simple à mettre en oeuvre.

[Lolo]

Je veux dire que le fait de dérouler par la pensée le cercle sur la droite matérialise une distance sur celle-ci. Il s'agit bien sûr d'un déroulage imaginaire et non physique.

 

Cette distance apparaît indubitablement fixe et réelle, pourquoi alors le nombre pi (qui est réel je vous l'accorde !) n'est-il pas fixe ?

 

Cela ne veut rien dire de dire que le nombre pi n'est pas fixe. Il ne faut pas confondre la valeur d'un nombre avec une représentation de ce nombre.

 

Le nombre pi, comme n'importe quel nombre réel, possède une valeur précise, à savoir la moitié de la valeur que tu peux mesurer par ton expérience de pensée qui consiste à faire rouler un cercle de rayon unité sur une droite. Un nombre ne varie pas.

 

Parmi les nombres réels, ceux qui ont une représentation décimale illimité périodique sont exactement les nombres rationnels (les fractions d'entiers) non nuls. Certains de ces nombres rationnels non nuls (*) ont une seconde représentation qui est limitée. Par exemple, le nombre 1/4 possède deux représentations décimales : 0,25 (limité) et 0,2499999... (illimité périodique; sa période est 9 et est de longueur 1).

 

Quand un nombre est irrationel (pas besoin d'être transcendant), il a une unique représentation décimale et celle-ci est illimité et non périodique.

 

C'est la représentation décimale d'un nombre qui peut ne pas être limité. Pas le nombre lui-même, pas sa valeur.

 

(*) En fait, ceux qui peuvent s'écrire sous une fraction d'entiers dont le dénominateur est une puissance de 10. Par exemple 1/4=25/10².

Modifié 30 juin 2011 par Lolo

[roger15]

Parmi les nombres réels, ceux qui ont une représentation décimale illimité périodique sont exactement les nombres rationnels (les fractions d'entiers) non nuls. Certains de ces nombres rationnels non nuls (*) ont une seconde représentation qui est limitée. Par exemple, le nombre 1/4 possède deux représentations décimales : 0,25 (limité) et 0,2499999... (illimité périodique; sa période est 9 et est de longueur 1).

 

Quand un nombre est irrationel (pas besoin d'être transcendant), il a une unique représentation décimale et celle-ci est illimité et non périodique.

 

C'est la représentation décimale d'un nombre qui peut ne pas être limité. Pas le nombre lui-même, pas sa valeur.

 

(*) En fait, ceux qui peuvent s'écrire sous une fraction d'entiers dont le dénominateur est une puissance de 10. Par exemple 1/4=25/10².

 

Bonsoir Lolo,

 

Désolé de te dire, mais pour moi (particulièrement ignare en "calcul") ton message est clair comme de l'eau de vaisselle !... J'espère que tu n'es pas professeur de mathématiques, sinon je plains sincèrement tes pauvres élèves...

 

Pour un simple d'esprit comme moi un divisé par quatre cela donne bien 0,25 et rien d'autre !...

 

Roger le Cantalien.