Pythagore en 3D ?

[iksarfighter]

Bonjour,

 

Tout le monde connait le triangle de Pythagore qui a un de ses angles droit et dont le carré de l'hypothénuse (coté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres cotés.

 

Mais quel est l'équivalent du triangle de Pythagore en 3D ? Avec des formules contenant des cubes ? Et un angle "droit" solide ???

 

Merci.

[Toutiet]

1) Il ne s'agit pas du triangle de Pythagore mais du "théorème de Pythagore" qui s'applique a tout triangle rectangle.

2) Dans le cas de la pyramide trirectangle, la somme des carres des cotes de sa base est égale au double de la somme des carres de ses arêtes.

Modifié 4 juillet 2011 par Toutiet

['Bruno]

Le théorème de Pythagore est valable en dimension quelconque, et même en quelque sorte en dimension infinie. Par exemple l'égalité de Parseval (la somme des carrés des coefficients de Fourier égale l'intégrale du carré de la fonction ou quelque chose dans ce genre) n'est autre que le théorème de Pythagore appliqué dans un espace fonctionnel de dimension infini.

[iksarfighter]

1) Il ne s'agit pas du triangle de Pythagore mais du "théorème de Pythagore" qui s'applique a tout triangle rectangle.

2) Dans le cas de la pyramide trirectangle, la somme des carres des cotes de sa base est égale au double de la somme des carres de ses arêtes.

1) Ooops merci c'est vrai que c’est lointain maintenant !

 

2) Bien fait pour moi ! J'ai du mal à me représenter... Mais on va y arriver ! Mais je m'attendais à trouver des cubes quelque part.

L'équivalent 3D du triangle rectangle c'est la pyramide trirectangle ?

Merci.

 

Il y a 25ans j'avais fait un petit programme Basic graphique qui représentait un triangle rectangle dont les angles variaient, bref cela dessinait le cercle donc.

De chaque coté, les carrés étaient dessinés et on pouvait les observer en train de varier tout en se disant :

"Mon dieu la somme des surfaces de ces deux-là vaut toujours la surface du troisième !"

Modifié 4 juillet 2011 par iksarfighter

[Jean-ClaudeP]

On peut dire en gros que le triangle est au plan ce que le tétraèdre (4 faces planes, 6 arêtes et 4 sommets) est à l'espace.

Voici un site où sont recensées de multiples propriétés des tétraèdres.

Tétraèdres

Vous y trouverez une généralisation du théorème de Pythagore, mais pas de propriété avec des cubes. Je pense que notre géométrie euclidienne est indissolublement attachée au carré, essentiellement à cause du théorème de Pythagore qui en est une propriété caractéristique. Peut-on imaginer une géométrie construite sur le cube, peut-être que oui, mais elle ne doit pas être simple car si les identités remarquables avec les carrés sont simples il n'en est pas de même avec celle qui utilise des cubes. Les mathématiques sont profondément humaines et nous, les humains on n'a que de petites têtes...

[iksarfighter]

Merci on trouve en effet :

 

Généralisation du théorème de Pythagore : dans un tétraèdre trirectangle (trois angles droits en un sommet) le carré de l'aire de la face non rectangle est égal à la somme des carrés des aires des trois autres faces.

 

Il y a des carrés d'aires... Donc ce ne seraient effectivement pas des cubes mais des tesseracts...

 

Je me trompe ?

 

Une aire au carré c'est un cube ou un tesseract ?

[Jean-ClaudeP]

Une aire au carré c'est un cube ou un tesseract ?

Toute égalité algébrique contenant des puissances inférieures ou égales à l'ordre 2 peut être interprétée comme une propriété de surfaces, à condition toutefois d'homogénéiser les puissances inférieures.

On peut ainsi interpréter l'égalité

x^2+ax = b

comme le découpage d'un certain carré (exercice de Seconde) pour résoudre l'équation du second degré associée.

 

De même une égalité contenant des puissances inférieures ou égales à 4 peut être interprétée comme des mesures d'hypersurfaces de dimension 4. Je ne sais pas si cela possède un intérêt. C'est à étudier sur les cas particuliers que tu as en tête.

[iksarfighter]

Ce que j'ai en tête c'est que Pythagore en 3D serait donc : Dans un tétraèdre trirectangle (trois angles droits en un sommet) l'hypervolume du tesseract "délimité?" par la face non rectangle serait égal à la somme des hypervolumes des tesseracts "délimités?" par les trois autres faces.

 

Je suis à la fois déçu (je m'attendais à plus simple, des sommes de volumes de cubes...) et ravi (on aurait déjà les pieds dans la 4D, rien qu'en étendant Pythagore à la 3D...).

Modifié 5 juillet 2011 par iksarfighter

['Bruno]

(Oups, j'avais mal compris... En fin de compte j'aime bien ton idée, je pense qu'elle est juste.)

Modifié 5 juillet 2011 par 'Bruno

[iksarfighter]

Comme je le disais plus haut j'avais écrit un petit programme en Basic qui faisait tourner les angles d'un triangle rectangle avec un incrément d'un degré tout en dessinant les 3 carrés délimités par les cotés du triangle.

(Comme le dessin que l'on trouve partout du triangle rectangle avec son cercle et ses 3 carrés, mais en version animée).

 

Bien sûr le carré de l’hypoténuse restait toujours le même mais les deux autres carrés variaient. Quand le triangle devenait isocèle on avait 2 carrés égaux. Pour le triangle "plat" on avait un seul carré qui avait la même surface que celle de l'hypoténuse.

 

C'était pour essayer de me représenter de façon un peu plus intuitive le théorème de Pythagore.

 

Mais donc pour la version en 3D, où je m'attendais à trouver des cubes (que l'on aurait pu dessiner ou modéliser en animation 3D), on trouve des tesseracts, donc cette représentation intuitive devient impossible.

 

Donc on va essayer de trouver d'autres sources d'amusement

[iksarfighter]

Correction !!! : Houlala j'ai raconté n'importe quoi, ce ne sont pas des tesseracts (hypercubes de dim4) mais plutôt les figures géométriques 4D qui correspondent à des aires de triangle au carré... Sans doute des hypertétraèdres de dim4.

['Bruno]

En dimension 2, tu remplaces le carré de la longueur d'un côté du triangle par l'aire d'un carré de même côté.

 

En dimension 3, on doit remplacer le carré de l'aire d'un triangle par un hypervolume, mais l'hypervolume de quoi ? L'hypervolume d'un hypercube de côté a est égal à a^4, ie à (a^2)^2 c'est-à-dire au carré de l'aire d'un carré de côté a. Si A est l'aire d'un triangle (dont on veut remplacer le carré), il suffit donc de considérer l'hypercube de côté racine(A).

[iksarfighter]

Aspirine siouplait ...

['Bruno]

Tu rigoles, mon message est bien plus facile à suivre que les tiens !

 

(En gros, je disais juste qu'à partir du moment où tu as le carré d'une aire à remplacer par l'hypervolume d'un hypertruc, eh bien tu peux très bien choisir comme hypertruc un hypercube, il suffit juste de bien calculer la longueur de son côté.)

[iksarfighter]

Tu rigoles' date=' mon message est bien plus facile à suivre que les tiens ! [/quote']

Non l'aspirine c'est pour le coup de bâton en retour que prend celui qui ouvre un fil "tordu"

 

Et ton explication est pour moi balèse, dès que je retrouve une irrigation cérébrale normale je m'y plonge

['Bruno]

Mettons qu'on parte d'un tétraèdre trirectangle régulier, c'est-à-dire obtenu comme section d'un cube. Notons a le côté de ce cube. Ce tétraèdre a trois faces qui sont des triangles rectangles isocèles de côté a et d'hypoténuse racine(2)x(a), et une face opposée à l'angle droit qui est un triangle équilatéral de côté racine(2)x(a). (Fais un dessin pour suivre !)

 

La généralisation du théorème de Pythagore dit que la somme des carrés des aires des trois premières faces est égale au carré de l'aire de la quatrième (la face opposée à l'angle droit). Tu disais que ces carrés d'aires, ce sont donc des hypervolumes, peut-être d'hypercubes.

 

Prenons la première face, son aire est a^2/2, le carré de son aire est donc a^4/4. Or a^4/4 = ( a/racine(2) )^4. Donc le carré de l'aire de la première face est égal à l'aire de l'hypercube de côté a/racine(2), c'est-à-dire de côté la droite des milieux (plus précisemment le segment). Tu peux donc construire cet hypercube : en dimension 2 tu avais construit des carrés s'appuyant sur les côtés, là les hypercubes doivent s'appuyer sur les droite des milieux (enfin, segments).

[ArthurDent]

iksarfighter, s'il te reste de l' aspirine, j' en veux bien aussi ...

[Jean-ClaudeP]

Pour en revenir aux regrets de Iksarfighter sur les cubes, ils pourrait être intéressant de ce poser la question suivante:

Existe-t-il un (ou plusieurs tétraèdres) vérifiant la somme des cubes de 3 de ses faces est égale au cube de la 3e ?

De deux chose l'une , ou il en existe et dans ce cas à quoi ressemblent-t-ils ? Ou il n'en existe pas. Dans les deux cas le résultat est original et intéressant et peut être élevé au rang de théorème.

[iksarfighter]

Mettons qu'on parte d'un tétraèdre trirectangle régulier' date=' c'est-à-dire obtenu comme section d'un cube. Notons [i']a[/i] le côté de ce cube. Ce tétraèdre a trois faces qui sont des triangles rectangles isocèles de côté a et d'hypoténuse racine(2)x(a), et une face opposée à l'angle droit qui est un triangle équilatéral de côté racine(2)x(a). (Fais un dessin pour suivre !)

 

La généralisation du théorème de Pythagore dit que la somme des carrés des aires des trois premières faces est égale au carré de l'aire de la quatrième (la face opposée à l'angle droit). Tu disais que ces carrés d'aires, ce sont donc des hypervolumes, peut-être d'hypercubes.

 

Prenons la première face, son aire est a^2/2, le carré de son aire est donc a^4/4. Or a^4/4 = ( a/racine(2) )^4. Donc le carré de l'aire de la première face est égal à l'aire de l'hypercube de côté a/racine(2), c'est-à-dire de côté la droite des milieux (plus précisément le segment). Tu peux donc construire cet hypercube : en dimension 2 tu avais construit des carrés s'appuyant sur les côtés, là les hypercubes doivent s'appuyer sur les droite des milieux (enfin, segments).

Tu parles bien d'un cas particulier de tétraèdre trirectangle isocèle ? Je préfèrerais que l'on travaille sur le cas du tétraèdre trirectangle quelconque.

Modifié 7 juillet 2011 par iksarfighter

[iksarfighter]

Pour en revenir aux regrets de Iksarfighter sur les cubes, ils pourrait être intéressant de ce poser la question suivante:

Existe-t-il un (ou plusieurs tétraèdres) vérifiant la somme des cubes de 3 de ses faces est égale au cube de la 3e ?

De deux chose l'une , ou il en existe et dans ce cas à quoi ressemblent-t-ils ? Ou il n'en existe pas. Dans les deux cas le résultat est original et intéressant et peut être élevé au rang de théorème.

A ce moment-là si on parle de cubes de faces, ben on part dans des hypertrucs de dim 5 !!!

 

Ce ne sont pas les puissances de 3 que je regrettais, mais les "cubes" en tant que figures géométriques qui auraient pu être représentés géométriquement pour faire un beau dessin ou une belle animation 3D. Les hypertrucs de dim4 qui semblent être finalement en jeu ne sont pas directement représentables.

Modifié 7 juillet 2011 par iksarfighter

['Bruno]

Ils ne sont pas représentables, mais ils sont calculables, comme je l'indiquais l'autre jour (j'avais choisi un cas particulier afin de ne pas avoir trop à consommer d'aspirine... )

[iksarfighter]

Pour faire une petite pause , la base (triangle) des tétraèdres trirectangles délimite bien un cercle qui délimite à son tour une sphère qui est parcourue par tous les sommets possible de l'angle trirectangle ?

La distance au centre de la sphère de tous les sommets trirectangles possibles est donc donc constante ?

L'équivalent de Pythagore 2D donc ? Ou bien est-ce que je me plante lourdement ?

 

Arf ! Contrairement à Pythagore 2D où l'on a une seule base possible pour l'objet = diamètre du cercle (segment), on a en 3D une infinité de bases (triangles) possibles pour délimiter le même cercle donc la même sphère !